Statistica e Teoria dell Informazione Esercizi tipo svolti

PARZIALE I

1 ESERCIZIO

1) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) un tris di re, (b) un full in cui il tris sia formato da re [1344/201376 168/201376]

2) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) una sequenza di carte di soli cuori o soli quadri, (b) una scala massima senza carte di cuori, (c) Un poker ma

non di assi. [(a) 112/201376 (b) 243/201376 (c) 196/201376]

3) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) una scala massima, (b) un tris formato da J,Q o K [1024/201376 4032/201376]

4) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) un full in cui il tris sia formato da assi o re, (b) una sequenza di carte di cuori [(a) 336/201376 (b)

56/201376]

5) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) una coppia di 10, (b) tre carte di cuori [13440/201376 15456/201376]

6) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) un full, (b) una scala reale massima, (c) colore [(a) 1344/201376 (b) 4/201376 (c) 224/201376]

7) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) 4 assi e un 10, (b) una scala minima con semi non necessariamente uguali, (c) 5 carte di valore diverso

[(a) 4/201376 (b) 1024/201376 (c) 57344/201376]

8) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) un full con un tris di re, (b) un poker di re [168/201376 28/201376]

9) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) una doppia coppia in cui una coppia sia formata da assi, (b) un tris di assi o re [3024/201376

2688/201376]

10) Si consideri una partita di poker con un mazzo di 32 carte, che hanno valori 7,8, 9,10,J,Q,K e A nei 4 semi.

Trascurando l’ordine di arrivo delle carte, calcolare la probabilità che, dopo aver preso 5 carte dal mazzo si abbia

(a) un full in cui la coppia sia formata da regine, (b) un poker di 4 regine e una carta con valori compresi tra 7 e

10 [168/201376 16/201376]

2 ESERCIZIO mentre il suo valore è

1) Sia X una variabile casuale continua, la cui funzione di densità è f(x)= x^2 /24 con -2≤x≤4,

(d) la probabilità che 0≤x≤2

zero altrimenti. Calcolare (a) la media di X, (b) la varianza di X, (c) la mediana di X,

√

[(a) 5/2 (b) 51/20 (c) (d) 1/9 ] mentre il suo valore è

2) Sia X una variabile casuale continua, la cui funzione di densità è f(x)= cx^2 con 1≤x≤4,

zero altrimenti. Calcolare (a) costante c, (b) media di X, (c) la varianza di X, (d) la mediana di X, (e) la

√

probabilità che 2≤x≤3 [(a) 1/21 (b) 85/28 (c)2067/3920 (d) (e)19/63 ]

con 0≤x≤1, mentre il suo valore è

3) Sia X una variabile casuale continua, la cui funzione di densità è f(x)= cx(1-x)

zero altrimenti. Calcolare (a) la costante c (b) la media di X, (c) la moda di X (d) la varianza di X, (e) la

probabilità che 1/4≤x≤1/2 [(a) 6 (b) ½ (c) ½ (d) 1/20 (e) 11/32 ]

cui funzione di densità è f(x)= cx^2 con 0≤x≤2, mentre il suo valore è

4) Sia X una variabile casuale continua, la

zero altrimenti. Calcolare (a) la costante c (b) la media di X, (c) la varianza di X, (d) la mediana (e) la probabilità

√

che 1/2≤x≤1 [(a) 3/8 (b) 3/2 (c) 1/15 (d) (e) 7/64 ]

X una variabile casuale continua, la cui funzione di densità è f(x)= cx^2 con 0≤x≤3, mentre il suo valore è

5) Sia

zero altrimenti. Calcolare (a) la costante c (b) la media di X, (c) la varianza di X, (d) la mediana (e) la probabilità

che 1≤x≤2 [(a) 1/9 (b) 9/4 (c) 27/80 (d) 3 /√ (e) 7/27 ] con 0≤x≤1, mentre il suo valore

6) Sia X una variabile casuale continua, la cui funzione di densità è f(x)= 4x(1-x^2)

è zero altrimenti. Calcolare (a) la media di X, (b) la moda di X, (c) la mediana di X, (d) la varianza di X (e)

√

√ √

Valutare l’asimmetria della funzione (d) 11/225 (e) α3 < 0

[(a) 8/15 (b) 1/ (c)

(lieve asimmetria a sinistra) ]

Sia X una variabile casuale continua, la cui funzione di densità è f(x)= 3x^2 con 0≤x≤1, mentre il suo valore è

7) zero altrimenti. Calcolare (a) la media di X, (c) la varianza di X, (d) la mediana di X [(a) 3/4 (b) 3/80 (c)

√ ]

Sia X una variabile casuale continua, la cui funzione di densità è f(x)= x^2 /9 con 0≤x≤3, mentre il suo valore è

8) zero altrimenti. Calcolare (a) la media di X, (c) la varianza di X, (d) la mediana di X [(a) E(X)=9/4 (b)

√

Var(X)=27/80 (c)Mediana= 3/ ]

3 ESERCIZIO

1) La funzione di probabilità congiunta di due variabili casuali X e Y è f(x,y)=cxy per x=1,2,3 y=1,2,3 e zero

altrimenti. Mediante l’ausilio della tabella delle probabilità congiunte, si determini (a) la costante c, (b) P(Y<2) e

(c) P (X=3). [(a) 1/36 (b) 1/6 (c) 1/2]

Siano X e Y variabili casuali, la cui funzione di densità congiunta è f(x,y)= 2/3(x+2y) con 0≤x≤1, 0≤y≤1, mentre

2) il suo valore è zero altrimenti. Calcolare (a) la media di X, (b) la media di Y (c) la varianza di X (d) la varianza di

‐1/162]

Y, (e) la covarianza di X e Y. [(a) 5/9 (b) 11/18 (c) 13/162 (d) 23/324 (e) con 0≤x≤1, 0≤y≤2,

3) Siano X e Y variabili casuali, la cui funzione di densità congiunta è f(x,y)= c(x+y) mentre il

suo valore è zero altrimenti. Calcolare (a) la costante (b) la media di X, (c) la media di Y (d) la varianza di X (e)

la varianza di Y, (f) coefficiente di correlazione di X e Y. [(a) 1/3 (b) 5/9 (c) 11/9 (d) 13/162 (e) 23/81 (f) -

0.08] x+y con 0≤x≤1, 0≤y≤1, mentre il suo

4) Siano X e Y variabili casuali, la cui funzione di densità congiunta è f(x,y)=

valore è zero altrimenti. Calcolare (a) la media di X, (b) la media di Y (c) la varianza di X (d) la varianza di Y, (e)

‐

la covarianza di X e Y (f) coefficiente di correlazione di X e Y. [(a) 7/12 (b) 7/12 (c) 11/144 (d) 11/144 (e)

1/144 (f) -1/11]

Siano X e Y variabili casuali, la cui funzione di densità congiunta è f(x,y)= (2x+y)/4 con 0≤x≤1, 0≤y≤2, mentre il

5) suo valore è zero altrimenti. Calcolare (a) la media di X, (b) la media di Y (c) la varianza di X (d) la varianza di

‐1/72]

Y, (e) la covarianza di X e Y [(a) 7/12 (b) 7/6 (c) 11/144 (d) 11/36 (e)

4 ESERCIZIO

1) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 9% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 25

bulloni, quelli difettosi siano tra 3 e 5. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a) 0.37

(b) 0.42 (c) 0.36]

2) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 9% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 25

bulloni, quelli difettosi siano tra 3 e 5. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a) 0.54

(b) 0.5 (c) 0.531]

3) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 9% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 25

bulloni, quelli difettosi siano tra 1 e 3. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a)

0.722 (b) 0.697 (c) 0.704]

4) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 11% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 35

bulloni, quelli difettosi siano tra 2 e 4. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a) 0.57

(b) 0.5348 (c) 0.555]

5) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 12% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 40

bulloni, quelli difettosi siano tra 2 e 4. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a)

0.428 (b) 0.387 (c) 0.429]

6) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 8% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 40

bulloni, quelli difettosi siano al più 2. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a)

0.3694 (b) 0.3255 (c) 0.38]

7) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 10% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 50

bulloni, quelli difettosi siano 2,3 o 4. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a)

0.3974 (b) 0.3557 (c) 0.4001]

8) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 10% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 40

bulloni, quelli difettosi siano al massimo 3. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binomiale, (b) con

l’approssimazione fornita dalla distribuzione normale e (c) con quella della distribuzione di Poisson. [(a)

0.4231 (b) 0.4079 (c) 0.4357]

9) Una fabbrica produce bulloni, di cui il 10% sono difettosi. Determinare la probabilità che, in un campione di 30

bulloni, quelli difettosi siano tra 1 e 3. Eseguire il calcolo (a) con la distribuzione binom