Statistica

Statistica Descrittiva

Variabili Statistiche:

• Quantitative (Discrete o Continue)
• Qualitative (Ordinali o Nominali)

Questionario - Intervista strutturata

• Età: Quantitativa Discreta (anni interi continua)
• Genere: Qualitativa Discreta
• Ore di cui hai a disposizione: Quantitativa Continua
• Ore che dedichi allo studio: Quantitativa Continua
• Luogo dove studi: Qualitativa Nominale
• Mezzo con cui viaggi: Qualitativa Discreta

Sintesi delle variabili osservate mediante

• Tabelle (Distribuzioni di Frequenza)
  • Semplice
  • Doppia
• Rappresentazioni Grafiche

Frequenza

• Assoluta: Conteggio del numero di volte con cui una certa modalità si presenta

Frequenza Relativa:

• f_i = m_i / N

Frequenza Cumulata

Frequenza Relativa o Assoluta in quella modalità più quelle precedenti, quindi corrisponde alla somma delle frequenze di quella modalità e delle modalità che precedono quella.

Ampiezza Classi

Differenza fra l'estremo superiore di classe e l'estremo inferiore di classe

Operatore Sommatore

Σ = un modo di rappresentare la somma di tanti addendi

• N = Σ m_i ; m_i = m₁ + m₂ + ... + m_k

Rappresentazioni Grafiche

• Variabili Qualitative
  • Diagramma a Barre
  • Diagramma a Torta
• Variabili Quantitative
  • Istogramma
  • Diagramma a Punti

Densità di Frequenza

d_i = m_i / a

Variabili quantitativi discreti - Diagramma a punti

È possibile verificare anche in questo tipo di grafico forme di simmetria o asimmetria

Misure di sintesi

Misure di tendenza centrale

• Media (aritmetica) = X media campionaria / μ media di popolazione
• Mediana (n + 1 / n è la posizione della mediana)
• Moda

Media > Mediana = Asimmetria positiva

Media < Mediana = Asimmetria negativa

Media = Mediana = Simmetria

Range o campo di variazione

R = X_max - X_min

Varianza

σ² varianza di popolazione / s² varianza campionaria

1. σ²= 1/N ∑(x_i - μ)²
2. s²= ∑(x_i - x̄)² / (m-1)

Deviazione standard

σ = √σ² / s = √s²

Standardizzazione

Z = (X_i - μ) / σ

La differenza tra il valore effettivo (y_i) e il valore teorico che si trova sulla retta di regressione (y_i) si chiama errore o residuo.

(ȳ = ȳ)

(ȳ)

y

(y - ȳ)

• Devianza Totale
• Devianza Residua (o dell'Errore)
• Devianza di Regressione (o Spiegata)

In caso di assenza di correlazione lineare (pendenza nulla) la devianza di regressione (o spiegata) è nulla R = zero,

perciò la devianza totale è uguale alla devianza residua.

In caso di correlazione lineare perfetta (R = ± 1) non c'è devianza residua, infatti è uguale a zero,

perciò la devianza totale è uguale alla devianza di regressione.

Indice di determinazione lineare

R² = ^{Devianza di Regressione}/_{Devianza Totale}

Assume valore 1 in caso di correlazione lineare perfetta.

Assume valore zero in caso di assenza di correlazione lineare.

0 ≤ R² ≤ 1

R² = r²

Coefficiente di correlazione lineare

INDIPENDENZA IN MEDIA

DUE VARIABILI X E Y SONO INDIPENDENTI IN MEDIA (_Y IN PARTICOLARE UNA VARIABILE Y QUANTITATIVA E INDIPENDENTE IN MEDIA DA X) SE TUTTE LE MEDIE (_Y)-(CONDTIONATE(X AL Y) SONO UGUALI FRA LORO

SE HO INDIPENDENZA IN MEDIA NON NECESSARIAMENTE AVRO INDIPENDENZA STATISTICA

MA SE HO INDIPENDENZA STATISTICA HO INDIPENDENZA IN MEDIA

EVENTI DISGIUNTI E EVENTI INDIPENDENTI

SE DUE EVENTI SONO DISGIUNTI SONO FORTEMENTE DIPENDENTI QUINDI LA PROBABILITÀ CHE SI VERIFICHINO CONGIUNTAMENTE È ZERO

• P(E ∩ F) = 0
• P(E|F) = 0
• P(F|E) = 0

SE DUE EVENTI SONO INDIPENDENTI, LA PROBABILITÀ DI P(E ∩ F)

• P(E ∩ F) = P(E) · P(F)
• P(E|F) = P(E)
• P(F|E) = P(F)

Distribuzione campionaria della frequenza relativa (o proporzione)

La proporzione di unità statistiche che nella popolazione presentano una certa caratteristica (parametro π)

Statistica campionaria: Proporzione di unità con certe caratteristiche nel campione (P)

1. π media: valore del campione selezionato

Formula

• Proporzione di occupati: π = 2/3 (0,67)
• Proporzione di non occupati: (1 - π) = 1/3 (0,33)

m = 3

P P(P)

1. Si può utilizzare l'approssimazione normale quando il prodotto fra la dimensione del campione e la proporzione ed il suo complemento sia maggiore o uguale a 10

mπ(1-π) >= 10

Osservazione al contrario

Fissato il margine di errore E e il livello di confidenza per capire quanto dovrebbe essere il campione (m) per garantire l'uguaglianza

E = _Zα/2. √ [(P (1-P)) / m]

E = 0.03

(1 - α) = 0.95 → z_α/2 = 1.96

Quindi

m = [(Z_α/2)² . P (1-P)] / E²

P = non sarebbe nota quindi cosa faremmo? Ci mettiamo nella situazione "peggiore" possibile e si pone P = 0.5

m = [(1.96)² . 0.25] / 0.03² = 1067.1112 si approssima a 1068

Lo possiamo fare anche per l'intervallo di confidenza della media

m = [(Z_α/2)² . σ²] / E²

con deviazione standard nota

(Bisogna sostituire qualcosa a ; ma non esiste una regola generale come con la proporzione)

Esempio di test bilaterale

Spese medie mensili per telefonia mobile

M = 50,64

σ = 12

n = 12

z = 1,96

t = 2,69

x = 65,014

α = 0,05

H₀ = 50,64

Rifiuto l'ipotesi nulla

Approccio del P-value:

Area a destra di 2,69 = 0,0036

Area a sinistra -2,69 = 0,0036

Percentuale molto bassa = quindi rifiutol'ipotesi nulla

Collegamento con costruzione di un intervallo diconfidenza per M:

n-1=12-1=11

z = 1,96

t₁₁(0.025)=2,201

x = 65,014

α = 0,05 (1-α = 0,95)

Non potremmo utilizzare l'intervallo di confidenza per “effettuareuna verifica di ipotesi.Posso confrontare un'ipotesi nulla con i valori plausibili:H₀ : μ = 50,64

L'ipotesi nulla non E' compresa nell'intervallo quindi rifiutol'ipotesi nulla

Ovviamente questo collegamento tra intervallo di confidenzae verifica di ipotesi non vale per test unilaterali