Stability 21.06.18

Problem 1

Evaluate the 2^nd order features of the beam problem in figure:

1. exact solutions f and M_A (0 < P < P_cr) for bending deformation only;
2. extimates of fed M_A obtained through the Amplification Factor Method;
3. exact solution f calculated also considering shear deformation.

1) Individuare la soluzione esatta di f e M_A con carico agente entro il limite critico per deformazione flessionale soltanto.

La soluzione del problema consiste nella curva di equilibrio ricavabile a partire dall'equazione per l'asta di Euler-Bernoulli.

Inoltre l'imposizione delle condizioni al contorno consente di determinare le costanti di integrazione.

EQB EIv^IV + Pv'' = 0 il cui integrale generale vale:

Soluzione v(x) = A + Bx + Csen αx + Dcos αx con v^IV + α²v'' = 0 α² = ^P/_EI

Condizioni al Contorno

• v (0) = 0 - rotazione nulla al pattino in x=0
• EI v'''(0) + Pv'(0) - F - taglio nel pattino in x=0
• v (L) = 0 - deformata nulla del carrello in x=L
• EI v''(L) = 0 - momento flettente nullo in x=L

Si arriva a derivate dell'integrale generale necessarie all'imposizione

delle condizioni al contorno:

νʺ(x) = B t_α < cos(αx) > - D < sin(αx) >

νʹʺ(x) = - α² < cos(αx) > + α² D cos(αx)

ν˺˺˺(x) = - α³ t_α < sin(αx) > + α³ D sin(αx)

ν⁽⁴⁾(x) = α⁴ < cos(αx) > + α⁴ D cos(αx)

quindi sostituendo ottengo il valore delle costanti di integrazione {A,B,C,D}

νʺ(0)= 0 → B + α t_α (0) - D α < sin >(0) = 0 B + Cα = 0 da cui:

C = -^F/_Ejα²

ν˺˺˺(0) + α² νʺ(0) = ^F/_Ej → - C α³ (0) + D α³ < sin >(0) + α³ C cos(0) - α³ D α² (0) + α² B = ^F/_Ej

da cui: B = ^F/_Ejα²

ν˺(ϑ)= 0 → A + Bϑ + C< sin >(αϑ) + Dcos(αϑ) = 0 A + ^F/_Ejα² - ^F/_Ejα² < sin >(αϑ) + Dcos(αϑ) = 0 da cui:

A = - ^F/_Ejα²

νʺ(ϑ) = 0 → - C α² (ϑ) - D α² cos(αϑ) = 0 do cui: ^F/_Ejα² < sup(ϑ) = D < sup(αϑ)

D = ^F/_Ejα³ < ϑ/α(αϑ) >

Note le costanti, si sostituiscono dentro l’espressione di ν(t) ed si perciobene in ν(0) in modo da calubare le alluminio esatta di f:

3) Soluzione esatta di ϑ comprendendo anche la deformazione a taglio

La risoluzione della resiliente ha origine dell'applicazione del modello di trave di Timoshenko in punte già usato da Eulero - Bernoulli, ma tenendo in considerazione norma deformazione tofolati. Il sistema risolubile per Timoshenko, ottenuto dall'impostazione delle stienze risolute del potenziale rilevato ai recuardi, è dato da:

1. \( GA^r (\Theta' - v''') + P v''' = 0 \)
2. \( EJ \Theta'' - GA (\Theta' - v''') = 0 \)

quindi si hanno due equazioni.

accoppiate in n°8 con n° deformazione verticale; Θ = rotazione della generica sezione.

Dallo stesso proseguimento, si sono ottenute le equ. risolventi, ovvero rispondendo lo storicamente del potenziale, è possibile anche scrivere delle condizioni al contorno generale, che vanno poi specializzato al nostro caso.

\[\delta(\Theta)'^{L}_{0}=0\]

\[\int [GA(\Theta'-v'')-Pv''']^{L}_{0}=0\]

Nel nostro caso, avendo un pattino ed un cavallo, possono essere specializzate come:

1. \( \Theta(0) = 0 \) → massimo rotazione al pattino, della massa rispetto alla linea media
2. \( \Theta(l) = 0 \) → momento flessione nullo al cavallo
3. \( v'(l) = 0 \) → abbassamento il cavallo nullo.
4. \( GA (\Theta'_0 - \Theta_0) - PV'_1 = F \) → condizione al conturino nel foro in l.

Il sistema risolubile può essere semplificato in quanto → può soluzione lo dipende da Θ o da v'' come segue:

dalla ₄, \( GA^r \Theta' - GA^r \Theta - PV'_1 = F \) → \( \Theta(x)= \frac{F}{GA} + (1- \frac{x}{GA^r}) V'(1) \)

Problem 2

Evaluate the critical load of the internally continuous frame below by means of:

1. Newmark's formula;
2. One finite element on right column;
3. Two finite elements on right column;

Formula di Newmark

Il modello di Newmark consiste nella risoluzione di una soluzione approssimata per il caso di una trave semplicemente appoggiata soggetta ad un carico di compressione concentrato P a cui sono applicate molle rotazionali agli estremi. La rigidezza delle molle dipende della configurazione strutturale.

k₂

P_e = c π² 2EJL

con

c = (Q₁ + λ₁)(Q₂ + λ₂) / (0,2 + λ₁) (0,2 + λ₂)

= parametro che consente di valutare la corretta lunghezza libera di inflessione al variare della rigidezza dei vincoli.

Quindi nel nostro caso, h₂ = k = 2EJL, mentre k₂ sostituisce la rigidezza della molla equivalente al sistema dato da trave e pilastro di k.

k₂ può essere risultata con il metodo degli spostamenti, leggendo dalle tabelle i valori dei coeff elastici e rotazionali.

det k∞ = ∞ ➔ (10-4p)(4f + 9f) - (4 + t)² = 0 quindi, si ottengono due soluzioni:

P₁ = 1,36

P₂ = 4,37

da cui; P_ER = 1,36·30 = 90,θ_ET = P_ER

come si può riscontrare, la soluzione ottenuta è maggiore rispetto a quella di Neumark in quanto relativa ad un basso grado di approssimazione. L'approssimazione è inoltre molto grossolana in quanto l'aver considerato un solo EF ha portato una semplificazione di tipo elevato.

De' elementi finiti sulla colonna di destra

In questo caso globalmente occor da considerare due ulteriori gradi di libertà assegnati in modo noto in ± π/2.

Di conseguenza lo schema da utilizzare corrispondente è il seguente:

• P _{R/2 R/4}
• 2 eT _p2

Il singolo elemento finito invece è lo stesso risolto nel punto (B), con le medesime funzioni di forma.

Si differenzia però nella lunghezza degli elementi, disassate rispetto al centro di massa di π/2.

Di conseguenza la matrice di rigidità risulta e parametrica.

Si vuole procedere ad una adimensionalizzazione delle uno limite:

\[ \frac{N}{N_0} + \frac{M^I}{M_0} = 1 \]

\[ N_0, N_{10} = \text{valori di attimo delle azioni intorno dell'elemento} \]

\[ N_I = \text{azioni interne oggetto, dipenduli da concio/estanci e dalle superfetani} \]

Curva limite astruito calcolata con le nottese.

\[ S = \frac{P}{P_0}, \quad \frac{P}{N_0} = \frac{P}{N_E} = \frac{N_0}{N_E} = S( \frac{1}{\lambda_0})^2 ≤ S \Delta^2 \]

\[ \text{con } \Delta = \frac{1}{\lambda_0} \]

\[ \omega = \frac{W}{M_0} \]

Procedo alla sostituzione ed ottengo:

\[ \frac{P}{N_0} + \frac{M^I}{M_0}·\frac{1}{1-ι} = 1 \rightarrow \Rightarrow S + \frac{W + P_E}{M_0} \frac{1}{1-ι} = 1 \]

\[ \Rightarrow S + \left(\frac{\omega + \frac{P_E}{M_0}}{1 - ι}\right) = 1 \rightarrow \omega = (1-S)(1-ι) - \frac{P_E}{M_0} \]

e astilindo ι ottengo: \[ \omega = (1-S)(1-S\Delta^2) - \frac{P_E}{M_0} \]

Si supoa ora ω=0 per caludere il ponoroto di superfetione ι, ritai quella maxcura; ma χ e ε es masocus, allora S divrentia

\[ S_c = \frac{P_c}{N_0} \]

\[ o = (1-S_c)(1-S_c\Delta^2) - \frac{P_E}{M_0} \rightarrow \overline{ε} = \frac{M_0}{P_c}(1-S_c)(1-S_c\Delta^2) \]

Ritinendo della precuditi formolaze di ω, si ottiona per ιι:

\[ \omega = (1-S)(1-S\Delta^2) - \frac{S}{S_c}(1-S_c)(1-S_c\Delta^2) \]

Curva limite al II ordine