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STABILITY OF STRUCTURES
La classica analisi strutturale è basata su 2 ipotesi fondamentali
- MATERIALE ELASTICO LINEARE
- "PICCOLI" SPOSTAMENTI
Con piccoli spostamenti si intudono spostamenti tali da non influire sul modo in cui la struttura trova il suo equilibrio. In questo caso è dunque possibile scrivere le equazioni di equilibrio con riferimento alla struttura indeformata.
In molti casi però, il trascurare l'effetto degli spostamenti può portare a notevoli errori.
- Esempio:
1) EQUILIBRIO NELL'IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI
A:\( \alpha P l + P \varTheta = K \varTheta \)
\( \varTheta = \frac{\alpha P l}{K} \)
θ = \( \alpha \frac{P}{K} \) => \( \varTheta = \alpha P \)
ipotesi di piccoli spostamenti: non varta la posizione della forza orizzontale P
2) EQUILIBRIO SENZA IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI
A:\( \alpha P l cos \varTheta + P l sen \varTheta = K \varTheta \)
\( \beta = \alpha cos \varTheta + \frac{p}{k} \)
per valori di \( \beta = 0 \) le soluzioni coincidono
3) È possibile considerare una situazione INTERMEDIA ai due casi,
mediante un'APPROSSIMAZIONE di TAYLOR.
- TAYLOR EXPANSION
sin θ ≈ θ -
cos θ ≈ 1 -
consideriamo solo i termini di PRIMO ORDINE
→ P ≈
Riportando i risultati ottenuti su un grafico abbiamo:
- per θ ≪ θ1 → 2 ≈ 3
- per ogni θ > θ1 → l'ipotesi di piccoli spostamenti delle aste rimossa
- per θ ≈ θ1 < θ2 → 2 ≈ 3 per cui è possibile sfruttare il
- uso ottenuto per mezzo dell'APPROSSIMAZIONE
- per θ > θ2 → bisogna usare la soluzione 2
➃ tale approssimazione può essere fatta in quanto per la maggior parte
delle strutture la RIGIDEZZA è tale da garantire spostamenti
geometricamente piccoli.
1) FORZA PARALLELA:
L₂₁: P·2ℓ = L₂₂: P·ℓ + P·ℓ = 2Pℓ
2) FORZA CENTRALE
L’asse della forza è vincolato a passare sempre per il punto di applicazione
L₂₃ = 0
L₂₂: (2ℓ - 1,5ℓ)·P - (1,5ℓ·2)·P = 0
3) FOLLOWER FORCE
La forza è applicata sempre nello stesso punto e ruota con la struttura
Non conservativo
L₂₂: P·ℓ
Teoria del Secondo Ordine
- Assumendo l’ipotesi di piccoli spostamenti, è possibile approssimare la TPE per mezzo di una serie di Taylor nell’intorno della configurazione indeformata z0 = 0
z = z0 + zx + zx piccoli spostamenti
V1(z) ≈ V0(zx) - ∂V/∂z|0 z + 1/2 zT ∂2V/∂z2|0 z + O(||z3||)
→ esaurdo
∂V/∂z|0 = -FT
∂2V/∂z2|0 = K
⇒ |Vz(x) = 1/2 zT K z - FT x|
- imponendo stazionarietà
δVz = 0 → ∂Vz/∂x = 0
→ K x - F = 0
da cui è possibile determinare le configurazioni di equilibrio
- imponendo stazionarietà:
1/2 δVz > 0
| 1/2 δzT K δz > 0 ∀ δz
affinché tal condizione sia soddisfatta K deve essere definita positiva!
* a questo punto scriviamo la TPE rispetto allo spostamento u:
cosθ = √1 - sen²θ = √1 - u'²
V(u) = λ/2 uc/u0 EJ u'²/1 - u'² dx - P uc/u0 (λ - √1 - u'²) dx
= λ/2 uc/0 EJ u'²/1 - u'² dx - P uc/0 √1 - u'² dx
* Volendo utilizzare la TEORIA del SECONDO ORDINE è necessario introdurre una approssimazione per mezzo della SERIE di TAYLOR
√1 - x² ≃ 1 - x² / 2
cosθ ≃ 1 ⟹ dx ≃ 0'1
V₂(u) = λ/2 uc/0 EJ u'² dx - P uc/0 (λ - x + u'²/2) dx
= 1/2 uc/0 (EJu'² - Pu'²) dx
A + B - C
0 1
1 cos(α)
cos(α) 0
A = 0
D = 0
A + B2 + Dcos(α)2 = 0
Dcos(α)l = 0
A, D, B = 0 ∀C
parametro di governo
il modo critico
NON è possibile il modo critico in modo univoco ma
è possibile determinare la FORMA
ϕn = C sen (nπx/l)
- n = 1
- n = 2
* CURVA DI STABILITÀ
- il CARICO CRITICO è stato definito come:
Pe = π2EI/l02
- è anche possibile definire lo STRESS CRITICO EULERIANO come:
σE = Pe/A = π2EI/A l02
- ritorniamo la definizione di RAGGIO GRAZORE D'INERZIA:
ρ2 = J/A → J = ρ2A
σE = π2E ρ2/Al02 = π2E/l02
- rileviamo la definizione di SNELLEZZA:
λ = l0/ρ
σE = π2E/λ2
- λ̄ è un proprietà del materiale
σE = σC + π2E/λ2
λ̄ ↔ 1/σC
lo stress massimo che la struttura può sostenere senza deformarsi è σC
σE
La soluzione generale è:
U(x) = A + Bx + Csen(ax) + Dcos(ax)
A + D = 0
D = -O
Csen(al) + Dcos(al) = 0
A + B (l - PE/k) + C sen(al) + Dcos(al) = 0
- 0 1 0 1 [A]
- 0 0 1 1 [B] = 0
- 0 0 sen(al) cos(al) [C]
- 1 L-PE/k sen(al) cos(al) [D]
det(M) = 0 ⇒ (l - PE/k) sen(al) = 0
2 casi in funzione di k:
- k→∞ : molla = carrello ⇒ trave semplicemente appoggiata
- sen(al) = 0 ⇒ Pcr1 = π2EI/l2
- (l - PE/k) = 0 ⇒ Pcr2 = kL
Il carico critico euleriano è dunque
PE = min {π2EI/l2, kL}
L U(1)(β) + U"(β) + k/EI.∂(β) = 0
a2 = P/EI {δ + P/E [3] δ}
Timoshenko Beam - Effetti del taglio del 1st ordine
Nel caso di travi tozze l'ipotesi che la sezione rimanga ortogonale all'asse della sezione deformato non è più valida in quanto non è più possibile trascurare la deformazione a taglio.
Campo Cinematico
- Sx = u - yφ
- Sy = v
Ex = Sx,x = 0; Ey = Sy,y = 0
Ƴxy = Sxy = Syx = φ'y + v', t
Hp: Trave Inestensibile
⇒ mz = 0 ; N = 0
Energia potenziale totale:
Vz(υ, φ) = 1/2 ∫v0l(EIφ+GA(φ+υ)'x) dx - 4/2 Pυ2 dx
= - 1/2 ∫v0l(EIφ+GA(φ'+υ')'x) dx - 1/2 ∫v0l Pυ 2 dx
Imponendo stazionarietà:
δVz = 0
= ∫v0l [ EIφ'δφ' + GAx (υ'-φ) δυ' - GA t (υ'-φ) δφ ] dx
0 = ∫v0l [ EIφ'δφ' + GAx (υ'-φ) δυ' - Pυt δΥ' - ∫etl Pυ ] dx
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