Stability of structures - Appunti

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Author: Elebi1

Revisionato il 12/07/2026

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Appunti presi durante il corso Grade: 30/301.General introduction to the topic with the analyses of the consequences of relaxation of the classical “small displacement hypothesis”. …

Esame Stability of Structures

Facoltà Ingegneria civile ambientale e territoriale

Dal corso del Prof. Capsoni Antonio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2021-2022

137 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

STABILITY OF STRUCTURES

La classica analisi strutturale è basata su 2 IPOTESI FONDAMENTALI

MATERIALE ELASTICO LINEARE
"PICCOLI" SPOSTAMENTI

- con piccoli spostamenti si intendono spostamenti tali da NON INFLUIRE sul modo in cui la struttura trova il suo equilibrio in questo caso è dunque possibile scrivere le EQUAZIONI di EQUILIBRIO con riferimento alla STRUTTURA INDEFORMATA

- in molti casi però, il TRASCURARE L’EFFETTO degli SPOSTAMENTI può portare a notevoli errori

Esempio:

_K dαP

1) EQUILIBRIO NELL’IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI

A: dαP + PΦ = KΘ
Θ = αp
K
being dαp
PΘ
K
Θ = αp →

2) EQUILIBRIO SENZA IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI

^l+

αPcosΘ + PsinΘ = KΘ

l^αPcosΘ sin

STABILITY OF STRUCTURES

La classica analisi strutturale è basata su 2 IPOTESI FONDAMENTALI

MATERIALE ELASTICO LINEARE
"PICCOLI" SPOSTAMENTI

- Con piccoli spostamenti si intendono spostamenti tali da NON INFLUIRE sul modo in cui la struttura trova il suo equilibrio.

In questo caso è dunque possibile scrivere le EQUAZIONI di EQUILIBRIO con riferimento alla STRUTTURA INDEFORMATA.

- In molti casi però, il TRASCURARE L'EFFETTO degli SPOSTAMENTI può portare a notevoli errori.

Esempio:

1) EQUILIBRIO NELL'IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI

A_x: αPl + PΦ = Kϑ

ϑ = αPl / K

- Essendo p: Pℓ / K

⇒ ϑ = αp ⇒

L'ipotesi di piccoli spostamenti: non conta la presenza della forza attuatore P

2) EQUILIBRIO SENZA IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI

A_x: αPlcosϑ + Ppsenϑ = Kϑ

⇒ αpsenϑ + pcosϑ = ϑ

sinϑ - p/cosϑ =

per valori di p ≈ ϑ le soluzioni: (αinsi de

3) È possibile considerare una situazione INTERMEDIA e, dire così, mediante un APPROSSIMAZIONE di TAYLOR

TAYLOR EXPANSION

\[\begin{array}{l} \sin \Theta = \Theta - \frac{\Theta^3}{3!} + \dots \\ \cos \Theta = 1 - \frac{\Theta^2}{2!} + \dots \end{array}\]

\[P = \frac{\Theta}{\cos \Theta + \sin \Theta} \Rightarrow P = \frac{\Theta}{\alpha + \Theta}\]

Ripotando i risultati ottenuti su un grafico abbiamo:

\[- \, \text{per} \, \Theta < \Theta_1: \, (2) = (3)\]

\[- \, \text{per ogni} \, \Theta > \Theta_1 \, \text{l'ipotesi di piccoli spostamenti deve essere rimossa}

\[- \, \text{per} \, \Theta_1 < \Theta < \Theta_2: \, (3) = (5) \, \text{per cui è possibile utilizzare il}\]

\[\text{modo ottenuto per mezzo dell'APPROSSIMAZIONE}\]

\[- \, \text{per} \, \Theta > \Theta_2: \, \text{bisogna usare la soluzione } (2)\]

Nota: Tale approssimazione può essere fatta in quanto per la maggior parte delle strutture la RIGIDEZZA è tale da garantire spostamenti geometricamente piccoli

1) Caso con solamente FORZA ASSIALE

P sen θ = kθ

p sen θ - θ = 0

2 soluzioni:

θ = 0 ∀ p
p = θ/sen θ

Il punto p = 1 è chiamato PUNTO DI BIFORCAZIONE

e può essere ottenuto anche mediante l'approssimazione di TAYLOR

p sen θ - θ = 0

⇒ pθ - θ = 0

2 soluzioni:

θ = 0 ∀ p
p = 1 ∀ θ

STRUTTURE DISCRETE:

Per definire la CONFIGURAZIONE di un sistema è necessario definire un SISTEMA di COORDINATE definito rispetto a un sistema DI RIFERIMENTO FISSO.

Vengono definite COORDINATE LAGRANGIANE il minimo set di parametri necessari a descrivere la configurazione del sistema.

SISTEMI CONSERVATIVI

Un sistema si definisce CONSERVATIVO se è sia:
1. ESTERNAMENTE CONSERVATIVO:
  - \(\dot{e} = \int_0^T \dot{F} \, dx = 0\)
2. INTERNAMENTE CONSERVATIVO:
  - \(\dot{i} = \int_0^T \dot{F} \, dk = 0\)
Proprietà:
1. Se \(\dot{e} = 0\), il sistema si dice soggetto a FORZE CONSERVATIVE e si ha:
  - \(\Delta \Omega = - \mathcal{L}_e (x_0, X_0)\): ENERGIA POTENZIALE delle FORZE ESTERNE
2. Se \(\dot{i} = 0\), il sistema si dice ELASTICO e si ha:
  - \(\Delta U = - \mathcal{L}_i\): ENERGIA di DEFORMAZIONE
3. Ad ogni sistema conservativo è associata un'ENERGIA POTENZIALE TOT

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