Stability of Structures - Appunti

STABILITY OF STRUCTURES

• CRISI PER PERDITA DI RIGIDEZZA

Il collasso di una struttura avviene generalmente quando uno o più elementi raggiungono il valore limite di sforzo, determinato da un carico esterno agente. Il collasso può essere di tipo LOCALE (fratture nei materiali fragili) o GLOBALE (per sviluppo plastico nei materiali duttili). Ogniqualvolta alcuni meccanismi in cui il collasso avviene dopo un certo numero di cicli di carico con ritorni a soggetti inferiori rispetto al carico di collasso di uno stato statico. Ma possono capitare situazioni in cui il collasso avviene per il raggiungimento della CONDIZIONE DI INSTABILITÀ in esempio è quello di una torre molto snella e comunque, con capacità portante ridotta per la presenza di imperfezioni, permette di indicare un MOTI FLESSENTE ADDOTTE alle strutture non può fare altro che riguarda deformandoci in maniera elastica.

1) PICCOLI SPOSTAMENTI - PICCOLE DEFORMAZIONI, quindi è l’ipotesi delle deformazioni può essere rappresentato da un solo termine lineare del campo deformativo:

ε = ε_L = ε_EL + ε_NL ⇒ ε_NL → 0

2) EQUILIBRIO VALIDALE NELA CONDIZIONE INDEFORMATA in questa grave all’ipotesi: 1) le condizioni indipendenti e deformante corrotte e possa confondersi.

3) MATERIALE IPERELASTICO; pliabile e lo ripensa e alle loro condizioni può essere una fiura adotta detto EN SPERIE de i piebili da bisogna geradea per certain seri initarie. Le 3 HF condurrono ad una FORMAZIONE LINEARE CON ENERGIA CONSTA per la quale vale il TH. di UNITÀ di KIRCHERHOFF.

14 nei problemi legati allo studio dell'instabilità, il parametro può essere considerato in quanto:

INSTABILITÀ SI E' IN CONDIZIONE DEFORMATA, ovvero dif. non puo più piccole.

ESE 1 TRAVE INFINITAMENTE RIGIDA APPOGGIA AD UN'ESTREMO, CON RIGIDEZZA

CONCENTRATA ALL'ESTREMO STESSO TRAMITE UNA MOLLA ROTANTE DI K,

CON CARICO CONCENTRATO ALL'ESTREMO LIBERO, SIA TRASVERSALE ALL'ASSE

CHE PARALLELO ALLO STESSO.

a) SOLO CARICO TRASVERSALE F = αP + COND. PICCOLI DEF.

CONFRONTO ENERGETICO EQL

_KΦP = PL Фcos θ

k

b) CARICO TRASVERSALE F = αP E FORZA ASSIALE N = βP in equilibrio nella

condizione indeformata.

EQL

come prima P×b = β

d

quindi dati le piccole deformazioni non si ha nessun

anticipo normale

c) CARICO TRASVERSALE F = αP; FORZA ASSIALE N = βP equilibrio nella

condizione deformata.

KΦθ = PL cos θ + P(sin θ + dcos θ)

k

= PC

su θ

(sin θ + d cos θ)

Le considerazioni precedenti che riguardano la stabilità all'equilibrio, in realtà riguardano un concetto che ha radici dinamiche.

Infatti → problemi dinamici possono non equivalenti in statica solo per particolari classi di problemi → conservativi o pseudo-conservativi.

Definizione:

Configurazione di equilibrio stabile se piccole perturbazioni provocano piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio.

-kθ + Pcosθ – ∫_θ⁰ gL²(θε̇²) ndi = 0

Forse lo: -kθ + Pcosφ – L³φ̇²/3 θ = 0

∝ θ 0

λ = ±iw Eql. Stabile (k > PL)

che ha come soluzione:

θ = A sin wt + B sin wt   B = φ₀

θ̇ = wA cos wt - wB sin wt   A = 1_wθ₀

θ = 1/2 θ₀ sin wt + θ₀ cos wt

Oscilla attorno alla congfig. di eq. bilancio

∝ ρ > 1 → w² < 0

λ = iw Eql. Instabile (k < PL)

che ha come soluzione:

θ = A e^wt + B e^-wt   A +φ = θ₀

θ̇ = wA e^wt - wB e^-wt   A-B = θ₀

θ = 1/2(θ₀ + 1_wθ₀)e^wt + 1/2(θ₀ – 1_wθ₀)e^-wt

Diverge estremamente per t → ∞

CASO 2

FORZA CENTRALE CHE DIRETTA VERSO S_c, pt. in cui si trova la carrucola a fune.

P₁:

• µ=0

P

• W_p1=0
• Po

non ho spostamento alla forcella, ma rimango sempre tra loro.

SISTEMA È CONSERVATIVO

• ω₂,1 = P L (2 - √2)

• ω₂,2 = PL(2-√2)
• W_Z (2P)

ω₂,2 = PL (2 - √2)

CASO 3

FORUMAR FORCE, ovvero la forza segno la configurazione dell'ostacolo su cui si proietta.

P₁:

• µ=0

• centrale

SISTEMA NON È CONSERVATIVO

• ω₂,1 = PL

• W_e = PL
• W_e ≠ W_e

• ω₂,2 = 0
• SP spostamento inclinato

• ω_e

Quindi: gli unici casi di sistemi conservativi in funzione dei carichi esterni sono quelli dati da FORZE PARALLELE o FORZE CENTRALI; altro amma, o pure danno sistemi non conservativi.

• TH. EN. CINETICA ⟹ ΔT = W_tot in cui W_tot = lavoro interno al sistema
• inte. conservativo ⟹ ΔT = -ΔV = conv. eu.mecanica

PT MINIMO

SWALOS: con più condizioni di equilibrio.

constanti al variare di θ₀

b)

considerando solo il carico trasversale a P = F

con α = π ρ = F

0 < θ₀ < π/2 ⇔ 0 < φ < ρ

Nota che: ¹/₂ k (θ = ± π)² = ²/₂ h² > 0,5

SEMPRE STABILI

ES 5

Il sistema gode Ѳ₁, Ѳ₂

Si studia in condizione d'equilibrio diverse da quelle banale.

Valuto direttamente l'energia potenziale totale come:

ΔV = ¹⁄₂ k (Ѳ₂² + Ѳ₁² - 2Ѳ₁Ѳ₂) - ^P2⁄_k (2 - cos Ѳ₁ - cos Ѳ₂) - ^F⁄_E(sin Ѳ₁ + sin Ѳ₂)

Introduco l'approssimazione del potenziale per individuare le posizioni di equilibrio:

• ¹⁄_{k Ѳ1} = 2Ѳ₁ - Ѳ₂ - P sin Ѳ₁ - F cos Ѳ₂ = 0 -> 2 - P cos Ѳ₁ + F sin Ѳ₂ = ^∂V⁄_∂Ѳ2 1
• ¹⁄_{k Ѳ2} = -Ѳ₁ + Ѳ₂ - P sin Ѳ₂ - F cos Ѳ₁ = 0 = ¹⁄_{k Ѳ2}^∂V⁄_∂Ѳ1 1

Da cui, calcolo le derivate secondo e scrivo la matrice dei coefficienti k =

• 2 - P cos Ѳ₂ + F sin Ѳ₂ -1
• -1 2- P cos Ѳ₁ + F sin Ѳ₂
  • 1 - P cos Ѳ₂ + F sin Ѳ₂

Dato dei coeff assente, discendo dei valori derivanti l e E, se suppone i valori essenziali quali Ѳ₁, Ѳ₂ ricercano per quella particolare condizione di carico:

L'energia ritenuta soddisfatta per le seguenti condizioni di valori:

EDL:

3Ve |_e0 = 0 ⇒ 0 =

PL

K - αPL

STAB:

3Ve |_e0 = 0 ⇒ 0 = K - J2P > 0

K

dL

Allora qui neccessariamente per le seguenti considerazioni:

I)

V(E)@ = 1/2 K

0 - PL²

LAVORO DEL

1^O Ordine

- PL² /

2

LAVORO DEL

2^O Ordine

RILUCE LA CAPACITÀ PORTANTE DEL SISTEMA IN

QUANTO LA RIDUZIONE DI ENERGIA INTERNA COMPORTA

UNA PERDITA DI RIGIDEZZA CHE AUMENTA CON IL CARICO P.

2) L’AZIONE TRASVERSA F DA UN CONTRIBUTO DEL 1^O ORDINE, PERTANTO

NON INFLUENZA LA CONDIZIONE DI STABILITÀ.

3) QUANDO P

K

dL

⇒ Dɸ ∞ CONDIZIONE DI INSTABILITÀ, OVVERO

DI PERDITA DI RIGIDEZZA, QUINDI

EQUILIBRIO NON GARANTITO.

Concludo che:

EDL:

P →

K

dL

SI ANNULLA LA RISPOSTA PERDITA DI EQ.

STAB:

P →

K

dL

δ²V_e → 0 PICOLO QUINDI RAGGIO

RIITETTO ALLE COFI DI EQUILIBRO SPIECCHIARE

PIÙ QUESTIONELI PERDITA DI STABILITÀ.

VANTAGGIO → SPLINGO IN ERA LINEARITÀ IL SISTEMA RISOLVENTE FACENDO

RISPIRECERIE QUESTIONI PIÙ QUESTIONELI.