Soluzione esame Giugno 2022 di Statistica e calcolo delle probabilità

Calcoli matematici complessi

Operazioni con insiemi e probabilità

Q \ (A ∪ B) = Q - (A + B - A ∩ B) == 1 - (1/4 + 3/2 - 3/4) = 1 - (4 + 6 - 3) / 4 = 7/4 - 1/4

P(la somma è 6) = 1/2 * 5/36 + 1/2 * 1/6 = 5 + 6 / 72 = 11/72

U ~ Unif(0,1). X = 1/U

F_X(x) = P(X ≤ x) = P(1/U ≤ x) = P(U ≥ 1/x) = 1 - P(U < 1/x)

P(A|E^c) = P(A ∩ E^c) / P(E^c) = 3/50, 3/50 = 3/50 3/50 + 80/100 * 60/100 * 40/100 3/50 + 2/50 + 20/50 = 3/47

Calcoli di probabilità

Q \ (A ∪ B) = Q - (A + B - A ∩ B) == 1 - (1 + 3/2 - 3/4) = 2 - (4 + 6 - 3)/4 = 2 - 7/4 = 1/4

P(la somma è 6) = 1/2 * 5/36 + 1/2 * 1/6 = 5 + 6/72 = 11/72

U ~ Unif(0,1). X = 1/U

F_x(x) = P(X ≤ x) = P(1/U ≤ x) = P(U ≥ 1/x) = 1 - P(U < 1/x) = 1 - F̅_x(x) = 1 - 1/x

Assunzioni e calcoli geometrico-probabilistici

E = {esposto}, A = {accaduto}

P(A ∣ E^c) = ?

Concludiamo l'ove tratteggiate ove in verde

P(A ∣ E^c) = P(A ∩ E^c) / P(E^c) = 3/50 / (3/50 + 80/100 * 60/100 * 40/100 / 3/50 = 2/50 + 20/50 = 3/47

Problemi combinatori

4 lettere in 16 buchi, A: {2 buchi ristretti contengono 1 lettera}

ASSUNZIONE: ogni buco può contenere al massimo una lettera

P(A) = ₁₄C₂ / ₁₆C₂ = 14.13 / 16.15 = 1/20

Calcoli geometrici

AREA CERCHIO = πr²

AREA QUADRATO = e² = 2P = 2/π

H² = 2 e² ⇒ e² = H₂² = 4/2 = 2

P(A₃₀)=...=P(A₁₀₀)=0.06

Distribuzioni di probabilità

X ~ Bin(m=100, p=0.06) siccome m >> p

X ~ Poiss(np=6)

P(X=k) = λ^k / k! e^-λ

P(X=∞) = e^-6 = 1/(e⁶) = 1/(20³) ≈ 1/400 ≈ 0.0025

Calcoli di correlazione e varianza

Corr(X,X²) = Cov(X,X²) / √Var(X)Var(X²)

E[X] = 0

Var(X) = E[X²] - E[X]² = E[X²]

Cov(X,X²) = E[X·X²] - E[X]E[X²] = E[X³] - E[X]E[X²] = 0

OPPURE: se X è simmetrico ⇒ f(x) = f(-x) cioè X = -X

Cov(X,X²) = Cov(X,(-X)²) ⇒ Cov(X,X²) = -Cov(X,X²) ⇔ Cov(X,X²) = 0

P(|X−μ| ≥ α) ≤ Var(X)/α²

X = # teste

P(X)