Controlli automatici - soluzione

ESAME CONTROLLI AUTOMATICI (10/04/2014)

ESERCIZIO 1 - SISTEMI DI CONTROLLO

Si consideri il sistema di controllo a ciclo chiuso in figura e se ne calcoli l'errore di velocità per K=2 e K=20. Si tenga presente che l'errore di velocità è definito come:

e_v = lim (t→∞) t⋅[y_r(t) - y(t)]

ESERCIZIO 2 - LUOGO DELLE RADICI

Si consideri la seguente funzione di trasferimento a ciclo aperto:

G(s) = 1/(s⋅(s+3))

Si progetti un sistema di controllo come in figura, in maniera tale da garantire un errore di velocità inferiore al 10% e tempo di assestamento inferiore a 2 sec.

Trovata la C(s), si calcoli la funzione di sensibilità del controllo.

ESERCIZIO 3 - SINTESI IN FREQUENZA

Si utilizzi il criterio di Nyquist per studiare la stabilità del sistema a ciclo chiuso con funzione di anello.

L(s) = K L'(s) al variare di K > 0 e con L'(s) = 10 (s-1) / s(s+1)

Si calcoli la fase critica di L'(s), ossia la fase in corrispondenza della pulsazione di attraversamento L'(s).

ESERCIZIO 4

Si determini il valore di K affinché la funzione d'anello L(s) = K / (s+2)

abbia un margine di fase di 135°

4,6 < 2 => _T > ^4,6/₂ = 2,3

Quindi _T, in modulo, deve essere maggiore di 2,3 ma affinché il sistema sia asintoticamente stabile deve essere negativo.

Controllo con il luogo delle radici se soddisfa la specifica variato _C1(s).

x_A = -¹/₂ (-3) = ³/₂

Affinché il sistema sia asintoticamente stabile dobbiamo spostare tutto a sinistra dell'asse immaginario.

Aggiungo al controllore precedente una rete:

C₂(s) = ^{1 + T_s}/_{1 + Ts}

Scelgo T_s piccolo in modo da avere il polo in alta frequenza.

C₂(s) = ^{1 + 0,33s}/_{1 + 0,05s}

Ho scelto la rappresentazione in costanti di tempo per evidenziare il guadagno unitario della rete, così facendo il guadagno del

Il sistema retroazionato è sempre instabile per ogni K>0

Andiamo a calcolare la fase critica

|L'(jω_c)|=1 ⇒ 10√(ω_c²+1)= ω_c√(ω_c²+1) ⇒ ω_c=10

Φ_c=-270°-2arc_tg(ω_c)=-270-168,57=-438,57