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Calcolo delle probabilità
P(A) P(B) P(B) P(S|A) P(S|B)= 0.7 = 0.3 = 0.3 = 0.8 = 0.7
Grazie alla formula della probabilità totale abbiamo quindi
P(S) P(S|A)P(A) P(S|B)P(B) · ·= + = 0.8 0.7 + 0.7 0.3 = 0.77
Calcolo del numero medio di studenti che superano l'esame
Se il numero totale degli studenti è 200, quanti supereranno l'esame in media?
Soluzione: Considerando la variabile aleatoria X che indica il superamento dell'esame o meno, convenzionalmente diciamo X = 1 (risp. X = 0) se lo studente supera (risp. non supera) l'esame e supponendo che i X siano indipendenti, il numero N di studenti che superano l'esame risulta essere una variabile aleatoria N con densità B(200, 0.77). Pertanto, il numero medio di studenti che superano l'esame è E[N ·] = 200 · 0.77 = 154.
Calcolo della probabilità che almeno 144 studenti superino l'esame
Qual è la probabilità che almeno 144 studenti superino l'esame almeno 170 studenti?
Soluzione: Il numero di studenti 200 è grande e la probabilità 0.77 non è né troppo piccola né troppo vicina a 1 quindi, grazie
All'approssimazione normale, la variabile N ha approssimativamente densità normale con media 154 e varianza 35.42. Abbiamo quindi, con la correzione di continuità, N ≈ 154, P(N ≤ 143.5) = P(N ≤ 154) = P(Z ≤ 1) = 0.8413. Quindi P(N > 144) = 1 - P(N ≤ 144) = 1 - P(Z ≤ 1.764) = 1 - 0.9608 = 0.0392.
03 Luglio 2020 - Esercizi
Domanda A
In una busta ci sono 10 monete. Di queste monete, 8 su una faccia portano il simbolo di una testa (T) e sull'altra faccia il simbolo di una croce (C), mentre 2 monete sono truccate e presentano da entrambi i lati il simbolo di testa (T). Si estrae a caso (con probabilità uniforme) una moneta dalla busta e la si lancia due volte.
Domanda A.1
Calcolare la probabilità che esca testa al primo lancio.
Soluzione: T = testa primo lancio, E = moneta non truccata
P(T|E) = P(T|E) · P(E) + P(T) · P(E') = 1 · 8/10 + 1 · 2/10 = 0.8 + 0.2 = 1
Domanda A.2
Calcolare la probabilità che escano due teste.
Soluzione: T = testa primo lancio, T = testa secondo lancio
secondo lancio, E =moneta non truccata1 2 1 8 2 2c c\ \ |E)P \ |E ·P (T T ) = P (T T (E) + P (T T )P (E ) = +1 =1 2 1 2 1 2 4 10 10 5
Domanda A.3 Condizionatamente all'ipotesi che sia uscita testa al primo lancio calcolare la probabilità (condizionale)che al secondo lancio esca ancora testa.
Soluzione: \P (T T ) 2 5 21 2|TP (T ) = = =2 1 P (T ) 5 3 31
Domanda BUn sistema informatico è costituito da due componenti. Il funzionamento dei componenti è soggetto a guasti aleatori.Lo stato dei due componenti in un determinato giorno è descritto da un vettore aleatorio (X, Y ) con densità discretaY =0 Y =1X =0 0.05 0.05X =1 0.05 0.85dove si indica con 0 se il componente X (rispettivamente Y ) non funziona e con 1 se il componente funziona.Si supponga che il sistema funzioni se almeno uno dei due componenti è in funzione.
Domanda B.1 Calcolare la probabiltà che il sistema sia funzionante.
Soluzione: P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1) = 0.95
Domanda B.2
Si supponga che un'azienda possieda 50 sistemi del tipo descritto. Alla fine della giornata di lavoro, qual è il numero medio di componenti guasti? Soluzione: X + Y è il numero di componenti funzionanti in un singolo sistema, quindi 2(X + Y) è il numero di componenti guasti. 50(2E[X + Y]) = 50(2 * 1.8) = 10 Domanda B.3 Determinare la covarianza di (X,Y) e dire se X e Y sono indipendenti. Soluzione: E[XY] = 1.8, E[X] = E[Y] = 0.9 quindi Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0.85 - 0.81 = 0.04 Domanda CC.1 Sia X una variabile aleatoria con funzione di ripartizione: F(x) = 0 per x ≤ 0 3x per 0 < x ≤ 1 1 per x > 1 Allora la funzione di densità f(x) di X è: Soluzione: f(x) = 3x per x ∈ (0, 1) 0 altrove C.2 La mediana di X è: Soluzione: 1/32 Domanda DL'azienda Polidrink produce la bibita energetica Polipower venduta in piccole lattine da 100 ml. Il direttore della produzione sospetta che il valore medio di Polipower inserita nelle lattine non corrisponda alvalore nominale. Vengonoraccolte 100 lattine a caso e misurato il loro contenuto ottenendo una media campionaria di 101.669 ml. Si assumadeviazione standard nota = 2 ml.
D.1 Si costruisca un intervallo di confidenza 95% per il contenuto medio della singola lattina. Soluzione: (101.277; 102.061) ml.
D.2 Un intervallo di confidenza al 99% risulterà più ampio o meno ampio di quello costruito al punto D.1? Soluzione: più ampio
D.3 Un comitato di garanzia vuole verificare che il contenuto nominale dichiarato dall'azienda corrisponda al reale contenuto medio delle lattine. Specificare ipotesi nulla e alternativa e trarre una conclusione in merito con α = 5% Soluzione: Poiché 100 non è contenuto nell'intervallo di confidenza costruito al punto 1 si rifiuta l'ipotesi nulla H₀: µ = 100 in favore dell'ipotesi alerantva H₁: µ ≠ 1000 117 Gennaio 2020 — Esercizi
Esercizio 1 La quantità d'acqua (misurata in ettolitri) consumata in una
La settimana in un dato edificio è modellata da una variabile aleatoria X assolutamente continua con densità:
f(x) =
- 0, se x < 0
- 0.1x0.1e^(-x), se 0 ≤ x ≤ 1
- 1.1, se x > 1
1. Determinare la richiesta media di ettolitri d'acqua in una settimana.
Soluzione: E[X] = 1/0.1 = 10.
2. Assumendo che l'edificio si approvvigioni da una cisterna riempita con 5 ettolitri d'acqua all'inizio della settimana, determinare la probabilità che alla fine della settimana nella cisterna rimanga almeno 1/4 dell'acqua che vi era contenuta all'inizio.
Soluzione: La probabilità cercata è 0.1 * 3/4 * 5 = P(X ≤ 5/4) = P(3/4 ≤ X ≤ 5) = 1 - 0.312 = 0.688.
3. Si supponga che 100 abitazioni abbiano tutte il fabbisogno distribuito come X e che siano indipendenti. Approssimare la probabilità che l'acqua consumata in una settimana dalle 100 abitazioni ecceda i 1010 ettolitri.
Soluzione: P(X > 1010) = P(X > 10) = 1 - P(X ≤ 10) = 1 - (10/100) = 0.9.
⇠ {Z ⌘P X 1010 P 1/10} 0.46ii=1con Z normale standard.
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