Soluzione degli esercizi Microeconomia Pt 2

Teoria dell'Equilibrio Generale

Curve dei Contratti

_{U^A(s, y^A) = (x^A)^1/2 (y^A)^1/2  U^B (s, y^B) = (x^B)^1/2 (y^B)^1/2  E(4, 3)    eA (3, 1)}

a) Rappresenta tale economia in una scatola di Edgeworth

• Blu: curva indifferenza di A
• Rosso: curva indifferenza di B
• (Dopo la disegnata) Verde: curva contratti
• Arancione: allocar equilibrio

le funzioni dei consumatori sono di Cobb-Douglas. Sommando le dotazioni di X e di y si ottiene la grandezza della scatola.

b) Si adeschi la curva dei contratti

La curva dei contratti è l'insieme delle allocazioni Pareto efficienti ossia realizzabili tali che x^A + x^B = e^X e y^A + y^B. = e^y tal che non esiste un'altra allocazione realizzabile dei beni (x^A; y^A), (x^B; y^B) tale da migliorare la situazione di alcuni consumatori senza peggiorare quella di altri. Le condizioni per la pareto efficienza sono

• - Abissibilità è   _{MRS^A = MRS^B}
• MUX^A = (y^A)^1/2
• MUY^A = (x^A)^1/2
• MUX^B = (y^B)^1/2
• MUX^B = (x^B)^1/2
• MRS^A = y^A/x^A
• MRS^B = y^B/x^B

Per la realizzabilità: x^A + x^B = e^X, e^X = 4 x^B = 4 - x^A MRS^B = MRS^A => y^A/x^A = y^B/x^B x^A => (y^Ax^B) = (y^Bx^A) Y = 4    8Y^S

Curve dei contratti è    y^B = x^B

C) Calcolo dell'equilibrio competitivo per tale economia

Un equilibrio competitivo è walarasiano e è un sistema di prezzi Px, Py ≥ 0 e un'allocazione (x⁵, y⁵), (x^j, y^j) tale che per ogni agente h (x^h, y^h) massimizza U(x^h, y^h) sotto il vincolo P_xx^h+ P_yy^h ≤ P_xe^h_x + P_ye^h_y e tutti i mercati sono in equilibrio: x⁵ + x^j = e⁵ + e^j y⁵ + y^j = e⁵ + e^j

Solo i prezzi relativi hanno importanza e possiamo fissare Py = 1 due agenti hanno la loro utilità. Consideriamo un agente h con dotazione iniziale...

max U(x^h, y^h) = (x^h)^(1/2) (y^h)^(1/2) sotto il vincolo P_xx^h + y^h = P_xe^h. Dato equilibrio MRS^h = y^h/_x^hP_y...uniciando di convergenza Soluzione...ritroviamo x^h(P_ie^h_x, R^h) = e^h_x più e^h_y...I mercati devono essere in equilibrio. (X^h = e^h_x +e^j_x)

Arrivando per i agenti consumatori: x⁵ + x^j = e^j_x + e^j_x = 4 y^j + y⁵ = e⁵_y e^j_y = 4 Per la legge di Walras si può ignorare uno dei mercati

per esempio Y⁵ + Y^j= P_x / 2 => 3P_x + 2 => per 7 P_x + 5/2 per il P_x + 4 = 8 Y^j = 3P_x + 3 / 2

x = P_x + 1 / P_x il prezzo di equilibrio Px

Le funzioni di domanda dei consumatori diventano

x^B(p₁, p₂, e^B) = p^-1₁ ep^B X(p₁, r_X, q_Y)

y^B(p₁, p₂, e^B) = p^-1₂ e^B Y(p₁, r_Y, q_X + e^B -

I mercati devono essere in equilibrio: x^S + x^B + e^X = 6

2y^S + y^B + e^Y + C = 5 Per la legge di Walras posso y

x^S + x^B = 12

p_X + e = 2p_X

p_X = 2

Il mercato è in equilibrio per p_X = ¹√₃

x^S = x^S = ¹√₁₂ + √₁₂

x^B = x_S

x^B = 3

y^S = ¹√₁₂ + 2 C

y^S = √₁₂

y_B = ¹√₃

(x_S, y_S) = (3, 2, 3) ←

5) U(X X^R)

a) Si rappresenti tale economia in una scatola di Edgeworth

La funzione sono questi laterali

• ...

b) Si calcoli la curva dei contratti

Per la profonda efficenza occorre MRS_L MRS^S e l'inclinabilità:

MUX = _X

MU^R = _X

MRS_R = X^A

MUX^R = MUX^S = = MRS^S = x^A

Per la realizzabilità

R + X_R + B = C^X c G a

x^B 6-X = C

y^B = A - X

Sostituisco au y_CPS

MRS_R MRS_S = 3 - X^A

X^L = 4

X^L = 3

X^M = X^N

La curva dei contratti e X = 3

Teoria dell'equilibrio generale

Curve dei contratti

a) Rappresenta l'economia in una scatola di Edgeworth

Le funzioni sono:   per S: Cobb-Douglas   per S: Curves lineari

b) Calcola la curva dei contratti

MU^x = (x^S)^1/2   MU^y = 2(x⁵)^1/4   MRS⁵ = x⁵/y⁵

MU^x = 2(y^S)^1/2   MU^y = 1   MRS⁶ = x⁶/y⁶

Per la realizzabilità: x^S + x⁶ = e^A + e^S = 6

Da cui: x⁴ = 6 x⁵ y⁶ = 6 y⁵   MRS⁸ = MRS⁷ =>

y⁵ = 6 - y⁶   y⁶ = 6 - y⁵

x⁵/x⁶ = x⁸/x⁵   La curva dei contratti è x⁸/x⁵ = x⁶

c) Calcola l'equilibrio competitivo

Solo i prezzi relativi contano. Fisso p₉ = 1

Per Smith: max U⁵ (x⁵)^1/2 (y⁶)² sotto il vincolo p₅x⁵ + p₆y⁵ ≤ p_x⁸ e^x + p_y⁹ e^y

MRS⁵ = x⁵ / y⁵

Ampliamo y⁵/S   y⁵ = p_x x⁵ sul vincolo

P_xx₅ + P_{x5 + c^e => y⁹ Py⁸/e^y}

Per Jones: max U⁵ ln(x⁵ + y^x) sotto il vincolo p_xx⁵ + y⁵ - e^x = p_x⁸ e^x

MRS⁶ = k⁷ x⁵   Px: x⁵ - x⁹

Sul vincolo: P_x(x⁸) = P_x⁸e^x + e^y

=> Y = y P_x⁵ e^x + e^y = 1

Partecipazione non vi siano valori di