Simulazione d'esame

Geometria

Prof. Mario Marietti

1Esame

Il candidato è invitato a redigere l’elaborato con ordine e completezza dando breve indicazione dei calcoli eseguiti e giustificando le risposte. Nel giudizio sarà tenuto conto della chiarezza dell’esposizione. È vietato tenere con sé calcolatrici, testi, appunti e fogli diversi da quelli ricevuti dalla Commissione. Chi non si attenga scrupolosamente a queste norme, o comunichi con altri candidati, sarà escluso dall’esame.

Esercizio 1. Si dia la definizione di matrice simmetrica reale di ordine n. Si dimostri che l’insieme delle matrici simmetriche reali di ordine n forma un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n.

Sia L l’operatore lineare su cui viene associata, nelle basi canoniche, la matrice

R

(a) Trovare la controimmagine del vettore

(b) Trovare gli autovalori di L e, per ogni autovalore, il relativo

autospazio.(c) Si dica se L è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una forma diagonale e una basedi autovettori.

Esercizio 2. Sia F l'applicazione lineare da a tale che

R R

1 0 0 0

1 1 3 2

0 1 1

-1 -1

(a) Scrivere la matrice associata a F nelle basi canoniche.

(b) Trovare una base di Im(F ).

(c) Trovare equazioni cartesiane dell'immagine di F .

(d) Trovare 5 vettori appartenenti a Im(F ) che generino Im(F ).

(e) Trovare 2 vettori appartenenti a Im(F ) che siano linearmente dipendenti.

Esercizio 3. Nel piano, con riferimento cartesiano RC(O, i, j), si considerino i quattro punti P =(2, 0), Q = (1, 0), R = (0, 1) ed S = (0, 2). C,

(a) Verificare che P , Q, R ed S appartengono ad una stessa circonferenza e scrivere

L'equazione cartesiana di C.

Trovare il centro e il raggio di

Trovare il perimetro e l'area del quadrilatero P QRS.

Esercizio 4. Nello spazio, con riferimento cartesiano RC(O, i, j, k), si considerino le rette -x z +1=0 x + z 2=0r : e s :-y z =0 y 3z = 0.

(a) Verificare che le rette r e s sono sghembe.

(b) Determinare dei versori direttori di r e s.

(c) Scrivere equazioni parametriche di r e s.

(d) Trovare un vettore perpendicolare sia a r che a s.

(e) Determinare la distanza tra le rette r e s.

Esercizio 5. Si consideri il seguente sistema lineare:

 -x + y + (3 k)z = 1

 kx + y + kz = 2

 kx + kz = 2

di tre equazioni nelle tre incognite x, y e z, dipendente dal parametro reale k.

(a) Scrivere la matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema.

(b) Calcolare il determinante della matrice dei coefficienti in funzione di k.

(c) Dire per quali valori del parametro k il sistema ammette nessuna, solo una, infinite soluzioni.

Per ogni valore del parametro k, determinare le soluzioni del sistema.