Simulazione d'esame

Geometria - Prof. Mario Marietti

Esame

Il candidato è invitato a redigere l’elaborato con ordine e completezza, dando breve indicazione dei calcoli eseguiti e giustificando le risposte. Nel giudizio sarà tenuto conto della chiarezza dell’esposizione. È vietato tenere con sé calcolatrici, testi, appunti e fogli diversi da quelli ricevuti dalla Commissione. Chi non si attenga scrupolosamente a queste norme, o comunichi con altri candidati, sarà escluso dall’esame.

Esercizio 1

Si dia la definizione di matrice simmetrica reale di ordine n. Si dimostri che l’insieme delle matrici simmetriche reali di ordine n forma un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n.

Sia L l’operatore lineare su cui viene associata, nelle basi canoniche, la matrice ^R:

• (a) Trovare la controimmagine del vettore ^R: (-1, -2).
• (b) Trovare gli autovalori di L e, per ogni autovalore, il relativo autospazio.
• (c) Si dica se L è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una forma diagonale e una base di autovettori.

Esercizio 2

Sia F l’applicazione lineare da R a R tale che:

• (a) Scrivere la matrice associata a F nelle basi canoniche.
• (b) Trovare una base di Im(F).
• (c) Trovare equazioni cartesiane dell’immagine di F.
• (d) Trovare 5 vettori appartenenti a Im(F) che generino Im(F).
• (e) Trovare 2 vettori appartenenti a Im(F) che siano linearmente dipendenti.

Esercizio 3

Nel piano, con riferimento cartesiano RC(O, i, j), si considerino i quattro punti: P = (2, 0), Q = (1, 0), R = (0, 1) ed S = (0, 2).

• (a) Verificare che P, Q, R ed S appartengono ad una stessa circonferenza e scrivere l’equazione cartesiana di C.
• (b) Trovare il centro e il raggio di C.
• (c) Trovare il perimetro e l’area del quadrilatero PQRS.

Esercizio 4

Nello spazio, con riferimento cartesiano RC(O, i, j, k), si considerino le rette:

r: x - z + 1 = 0, y - z = 0

s: x + z - 2 = 0, y - 3z = 0

• (a) Verificare che le rette r e s sono sghembe.
• (b) Determinare dei versori direttori di r e s.
• (c) Scrivere equazioni parametriche di r e s.
• (d) Trovare un vettore perpendicolare sia a r che a s.
• (e) Determinare la distanza tra le rette r e s.