Paniere domande aperte Teoria delle strutture

εR

deformazione ad essa corrispondente

Si possono osservare due fasi: una fase elastica e una fase softening.

La fase softening è marcatamente decrescente e corrisponde al rapido danneggiamento

del materiale dopo che è stata raggiunta la tensione di rottura.

All’aumentare della deformazione, si ha un primo tratto crescente, poi la curva

diminuisce improvvisamente la sua pendenza per raggiungere un massimo seguito da un

tratto rapidamente decrescente.

La tensione corrispondente al massimo della curva è la tensione di rottura fR, detta anche

resistenza del materiale.

Il tratto crescente con pendenza ridotta è assai poco esteso

Se si ricomponessero i frammenti del provino dopo la rottura si otterrebbe una lunghezza

del provino circa uguale a quella di prima della prova.

07. Considerare un materiale duttile. Riportare, descrivere e commentare il suo diagramma σz-εz

Nel caso dei materiali duttili la prova monoassiale consente la valutazione della tensione di

εy εR

snervamento fy e della resistenza fR, e delle deformazioni ed corrispondenti a tali

tensioni.

Si possono osservare due fasi: una fase elastica e una fase plastica. Esse sono separate

dalla tensione di snervamento fy.

La fase plastica è caratterizzata da un andamento quasi costante della forza (leggermente

crescente o leggermente decrescente) e dal fatto che uno scarico a partire da uno

stato della fase plastica lascia grandi deformazioni residue al provino.

La fase elastica è marcatamente crescente e caratterizzata dal fatto che uno scarico a

partire da uno stato della fase elastica non lascia deformazioni residue al provino (o le

lascia molto piccole)

Per alcuni materiali duttili la tensione di snervamento non è univocamente determinabile

perché il cambio di pendenza del diagramma avviene in modo graduale; in questi

casi si adotta una definizione convenzionale. Ad esempio si assume frequentemente come

tensione di snervamento la tensione che una volta raggiunta e scaricato il provino

lascia una deformazione residua dello 0.2%

All'aumentare della deformazione, si ha un primo tratto crescente, poi la pendenza della

curva diminuisce e si ottiene un tratto a pendenza quasi nulla, cioè quasi parallelo

εz.

all’asse delle Il massimo della curva è raggiunto in questo tratto a pendenza quasi

nulla, dopo che la curva ha manifestato un esteso tratto a tensione poco crescente o

costante.

La tensione corrispondente al massimo della curva è la tensione di rottura fR, detta anche

resistenza del materiale

Alla rottura del provino il suo stato non è più elastico: se si scaricasse il provino a partire

εR

da una deformazione poco più piccola di quella di rottura (ramo di scarico) si

εres

otterrebbe una grande deformazione residua ed al rimuovere della forza il provino

risulterebbe molto allungato rispetto alla sua configurazione di prima della prova.

Lezione 033

06. Spiegare il criterio di Von-Mises

il potenziale elastico associato al deviatore di deformazione è

Si hanno le seguenti espressioni equivalenti del potenziale elastico associato al deviatore di deformazione:

Lezione 037

03. Spiegare il postulato della massima dissipazione e illustrarlo nel caso monoassiale formulandolo sia per uno stato di

tensione relativo ad una fase incrudente sia per uno stato di tensione relativo ad una fase softening

σ

Consideriamo un punto di un solido uno stato di tensione appartenente alla attuale

superficie di snervamento. Sia dε p la deformazione plastica prodotta da un incremento

(siccome l’incremento di tensione dσ

dσ dello stato di tensione a partire da dσ produce

σ+dσ

deformazioni plastiche, lo stato di tensione è fuori dalla attuale superficie di

snervamento nel caso di un materiale incrudente ed ancora sulla superficie di

snervamento nel caso di un materiale perfettamente plastico) Il postulato della massima

σ

dissipazione plastica afferma che per ogni stato di tensione ammissibile a nel

punto risulta la deformazione plastica dε

Prima conseguenza: ha direzione ortogonale

p

nel punto σ.

alla superficie di snervamento

Seconda conseguenza: la superficie di snervamento è convessa.

Lezione 038

01. Spiegare il potenziale elastico associato

Per una fase incrudente di un materiale che rispetta il postulato della

massima dissipazione l’incremento di deformazione plastica è ortogonale alla

superficie di snervamento

Lezione 039

01. Spiegare il Postulato di Drucker

Lezione 040

01. Spiegare il significato di "campo staticamente ammissibile" e farne un esempio

Lezione 043

01. Spiegare il significato di "campo cinematicamente ammissibile" e farne un esempio

All’aumentare delle deformazioni corrisponde un incremento nullo del momento M 0

presente in corrispondenza delle cerniere e di conseguenza un incremento nullo

del carico applicato. equilibrio alla rotazione del tratto DB rispetto al polo B

Lezione 045

01. Spiegare il teorema statico

Lezione 046

01. Spiegare il Teorema Cinematico

Lezione 047

06. Considerare il solido di De Saint Venant elastico perfettamente plastico e analizzare il problema della flessione retta – sezione

con un asse di simmetria. Si considera il caso in cui vicino ad entrambi i lembi si ha una zona plasticizzata, come illustrato in figura.

Analizzare e commentare lo scenario osservato e e i suoi effetti sulla posizione dell'asse neutro e sul legame momento-curvatura.

“progredisce”

Superata la fase elastica, la plasticizzazione in modo simmetrico rispetto

χx

all’asse x, all’aumentare del momento Mx e della curvatura

ulteriore incremento della curvatura e del momento flettente si hanno deformazioni

plastiche vicino ad entrambi i lembi della sezione

07. Considerare il caso di flessione del Solido di De Saint Venant elastico perfettamente plastico. Elencare e commentare le ipotesi

assunte per la trattazione del problema.

08. Considerare il solido di De Saint Venant elastico perfettamente plastico e analizzare il problema della flessione retta – sezione

con un asse di simmetria. Si considera il caso in cui un lembo della sezione inizia a plasticizzarsi, come illustrato in figura.

Analizzare e commentare lo scenario osservato, condizione di snervamento, momento al limite elastico, curvatura al limite elastico.

L’asse neutro non è più baricentrico e il legame tra momento e curvatura non è più

lineare εy,

Nella parte non-campita della sezione si hanno deformazioni in modulo inferiori ad

tensioni in modulo inferiori ad fy e deformazioni elastiche

La sezione risulta allora suddivisa in due parti da una retta distante dall’asse neutro

Lezione 048

08. Nell'ambito del problema della flessione elastoplastica, considerare il caso illustrato in figura di flessione retta – sezione con un

asse di simmetria. Assegnato il momento Mx, spiegare come ricavare le due incognite yn (distanza dell’asse neutro da un lembo) e

χ (curvatura) usando le equazioni di equilibrio.

Considerare la seconda equazione. Essa può essere scritta assumendo come polo

qualunque punto. Frequentemente è vantaggioso assumere come polo il punto

intersezione

tra l’asse neutro e l’asse y (punto P in figura).

Considerare la seconda equazione. Essa è equazione di equilibrio alla rotazione del

sistema.

Considerare la seconda equazione. E' possibile riscriverla nella forma:

R·h0 = Mx

dove Rc = Rt = R è la risultante delle tensioni di compressione (o trazione) agenti sulla

sezione, e dove h0 è la distanza tra le loro rette di azione (braccio della coppia interna).

09. Nell'ambito del problema della flessione elastoplastica, considerare il caso di flessione retta – sezione con un asse di simmetria.

Illustrare le principali fasi di plasticizzazione della sezione; spiegare e commentare i vari tratti del diagramma momento-curvatura.

χx

La curvatura è:

χx(y) = Mx/(E·Ix)

dove E è il modulo elastico del materiale.

Essa può interpretarsi come la rotazione relativa tra due sezioni infinitamente vincine.

Vicino ad un lembo nell’intervallo

consentono la determinazione per ogni M x

Entrambi i lembi nell’intervallo

onsentono la determinazione per ogni M x

χ→∞).

Completa plasticizazzione (εz→∞,

L’estensione della zona elastica si riduce fino a tendere a zero mentre l’estensione

della parte di sezione sulla quale è stata raggiunta la condizione di snervamento si

espande fino ad interessare l’intera sezione

La condizione di snervamento si raggiunge quando:

|σ| = fy

Il primo punto nel quale si ha il soddisfacimento della condizione di snervamento è il lembo

della sezione più distante dall’asse neutro.

Per Mx compreso nell'intervallo [Mxe, Mxp] si ha un tratto non lineare in cui la diminuzione

della pendenza diventa molto pronunciata. Asintoticamente, si tende al

momento di completa plasticizzazione Mx0

Per Mx< Mxe, si ha un tratto lineare di pendenza E·Ix

10. Considerare il beneficio plastico, in dettaglio: riportare la sua definizione; spiegare (anche con esempi) la sua dipendenza dalla

forma della sezione; commentare la sua rilevanza progettuale.

11. Nell'ambito del problema della flessione elastoplastica, considerare il caso di flessione retta – sezione con un asse di simmetria,

in condizione di completa plasticizzazione con tensione di snervamento uguale a trazione ed a compressione. Analizzare e

commentare lo scenario osservato e spiegare come ricavare la posizione dell'asse neutro e il momento di completa plasticizzazione

Lezione 049

01. Considerare la sezione con un asse di simmetria riportata in figura. Calcolare il momento al limite elastico, il momento di

completa plasticizzazione e il beneficio plastico. Commentare i risultati ottenuti.

LA CURVATURA AL LIMITE ELASTICO è

Momento elastico

Momento di completa plasticizzazione

Equilibrio alla traslazione Equilibrio alla rotazione

02. Considerare la sezione con un asse di simmetria riportata in figura e il suo diagramma momento - curvatura. Illustrare le

principali fasi di plasticizzazione della sezione; spiegare e commentare i vari tratti del diagramma momento-curvatura.

Lezione 050

02. Considerare la sezione con due assi di simmetria riportata in figura e il suo diagramma momento - curvatura. Illustrare le

principali fasi di plasticizzazione della sezione; spiegare e commentare i vari tratti del diagramma momento-curvatura.

03. Considerare la sezione con due assi di simmetria riportata in figura e il suo diagramma momento - curvatura. Illustrare le

principali fasi di plasticizzazione della sezione; spiegare e commentare i vari trat