Serie numeriche sulla convergenza assoluta e condizionata

Esercizi serie

numeriche sulla

convergenza assoluta e

condizionata.

Determinare se la convergenza delle seguenti serie è assoluta o condizionata:

+∞ n -

1

−

( 1)

∑

a) 2 +

n 1

=

1

n

+∞ n

−

( 1)

∑

b) nlogn

= 2

n

+∞ n

−

( 1) n

∑

c) n

+

(n 1)e

=

n 1

+∞ −

n 1

−

( 1) n

∑

d) 2 +

n 1

=

1

n

Studiamo la convergenza semplice e assoluta delle serie date:

a) La serie dei moduli è:

+∞ 1

∑ ;

2 +

n 1

=

1

n 1 1

<

essendo 2 2

+

n 1 n

la serie dei moduli converge(per il criterio del confronto) per cui la serie data è assolutamente

convergente.

La serie dei moduli è:

b) +∞ 1

∑ .

nlogn

= 2

n

Tale serie per il criterio dell'integrale diverge, infatti:

1 1

> ≥

per ogni n 2

+ +

nlogn (n 1)log(n 1)

e 1

+ ∞

+∞ dx x

∫

∫ = +∞

= dx

xlogx logx

2 2 1 =

Per il criterio di Leibniz, essendo anche lim 0

→ +∞ nlogn

n

la serie data converge.

Allora la serie b) è condizionatamente convergente.