Risoluzione di un telaio generico con il metodo matriciale

il vettore deformata nodale può essere visto come somma dei vettori elementari D :

i

D=D D D

+ +

1 2 3

Matrice di rigidezza delle aste disarticolate può essere scritta assemblando le matrici di rigidezza

delle singola aste:

k 0 0

[ ]

AB

K 0 k 0

= BC

0 0 k CD

4⋅EI 2⋅EI 6⋅EI

ij ij ij

[ ]

2

l l l

ij ij ij

2⋅EI 4⋅EI 6⋅EI

ij ij ij

k =

ij l l 2

l

ij ij ij

6⋅EI 6⋅EI 12⋅EI

ij ij ij

2 2 3

l l l

ij ij ij

il vettore delle deformazioni interne:

θ AB

[ ]

θ BA

δ AB

θ BC

d= θ VB

δ BC

θ CD

θ DC

δ CD

Mentre il vettore delle reazioni interne vale:

M AB

[ ]

M BA

T AB

M BC

q= M CB

T CB

M CD

M DC

T DC 3

Perché il problema sia univocamente risolvibile bisogna scrivere la matrice di congruenza che

associa ad ogni vettore deformata esterna nodale il corrispondente vettore deformata interna del

telaio disarticolato. La matrice di congruenza può essere costruita per colonne ricordando:

d=A D

La sue colonne saranno rispettivamente i vettori d corrispondenti agli schemi di deformata

elementare Di, la prima colonna di A

a a a

11 12 13

0 [ ]

a a a

1

( ) 21 22 23

a a a

0 31 32 33

a a a

1 1

41 42 43 ( )

0 a a a 0

= 51 52 53

0 0

a a a

61 62 63

0 a a a

71 72 73

0 a a a

81 82 83

0 a a a

91 92 93

La seconda e la terza colonna valgono rispettivamente

a a a

11 12 13

0 [ ]

a a a

0

( ) 21 22 23

a a a

0 31 32 33

a a a

0 0

41 42 43 ( )

1 a a a 1

= 51 52 53

0 0

a a a

61 62 63

1 a a a

71 72 73

0 a a a

81 82 83

0 a a a

91 92 93

a a a

11 12 13

0 [ ]

a a a

0

( ) 21 22 23

a a a

α

−1/sin 31 32 33

a a a

0 0

41 42 43 ( )

0 a a a 0

= 51 52 53

2/ tan 1

a a a

α 61 62 63

0 a a a

71 72 73

0 a a a

81 82 83

α

−1/sin a a a

91 92 93 4

In definitiva la matrice di congruenza vale:

0 0 0

[ ]

1 0 0

0 0 α

−1/sin

1 0 0

A= 0 1 0

0 0 2/ tan α

0 1 0

0 0 0

0 0 α

−1/sin

Il vettore dei carichi nodali risulta essere :

0

( )

Q= m

0

A questo punto noti tutti i vettori e le matrici il problema è risolvibile in termini di sollecitazione

interna mediante l’equazione:

−1

t

q=k A A k A Q

( )

E in termini di deformazione interna mediante al

−1

t

d=A A k A Q

( )

Sostituendo nelle equazioni precedenti i rispettivi valori numerici otteniamo esprimendo tutto in N e

mm: 9,90E+08 4,95E+08 2,10E+05 0 0 0 0 0 0

4,95E+08 9,90E+08 2,10E+05 0 0 0 0 0 0

2,10E+05 2,10E+05 5,94E+01 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1,40E+09 7,00E+08 4,20E+05 0 0 0

k = 0 0 0 7,00E+08 1,40E+09 4,20E+05 0 0 0

0 0 0 4,20E+05 4,20E+05 1,68E+02 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1,98E+09 9,90E+08 8,40E+05

0 0 0 0 0 0 9,90E+08 1,98E+09 8,40E+05

0 0 0 0 0 0 8,40E+05 8,40E+05 4,75E+02

0 0 0

1 0 0

0 0 -1,41E+00

1 0 0

A = 0 1 0

0 0 2

0 1 0

0 0 0

0 0 -1,41E+00 5

M = -9,06E+02

AB

M = -1,50E+03

BA

T = -3,41E-01

AB

M = 1,50E+03

q = BC

M = 4,67E+03

CB

T = 1,23E+00

BC

M = 5,33E+03

CD

M = 2,05E+03

DC

T 2,09E+00

DC=

= 0,00E+00

θ

AB = -1,21E-06

θ

BA

= -1,47E-03

δ AB

= -1,21E-06

θ

BC = 3,32E-06

θ

CB

d = = 2,08E-03

δ

BC = 3,32E-06

θ

CD = 0,00E+00

θ

DC

= -1,47E-03

δ

CD

di seguito si riportano i diagrammi qualitativi delle caratteristiche della sollecitazione e della

deformata: 6