Relazioni Macchine Elettriche

CCA CCB

determinino:  

a. il  contributo  di  ciascun  trasformatore  quando  la  potenza  richiesta  dalla  rete  è  pari  a  P  =  250  kW;  

b. il  contributo  di  ciascun  trasformatore  quando  la  potenza  richiesta  dalla  rete  è  pari  a  P  =  300  kW;  

c. la   più   elevata   potenza   che   la   rete   può   richiedere   senza   che   nessuno   dei   due   trasformatori   vada  

in  sovraccarico.  

Nelle  ipotesi  che  le  tensioni  percentuali  di  cortocircuito  siano  invece  V %  =  3%  e  V %  =  3,5%,  si  

CCA CCB

determinino:  

d. la  nuova  ripartizione  del  carico  di  300  kW;  

e. la   più   elevata   potenza   che   la   rete   può   richiedere   senza   che   nessuno   dei   due   trasformatori   si  

sovraccarichi.  

LEGENDA  DEI  SIMBOLI:  

V  =  tensione  elettrica  [V]  

R  =  resistenza  elettrica  [Ω]  

I  =  corrente  [A]  

Z  =  impedenza  [Ω]  

E  =  forza  elettromotrice  [V]  

A  =  potenza  apparente  [VA]  

P  =  potenza  attiva  [W]  

!"#$  =  fattore  di  carico  

I  pedici  “1”  e  “2”  si  riferiscono  al  primario  e  al  secondario  

Il  pedice  “N”  indica  un  valore  nominale  

Il  pedice  “cc”  indica  che  il  valore  è  stato  trovato  attraverso  la  prova  in  corto  circuito  

Il  pedice  “0”  indica  che  il  valore  è  stato  trovato  attraverso  la  prova  a  vuoto

Il  pedice  “L”  caratterizza  il  carico  (L=load)  

I  pedici  “A”  e  “B”  si  riferiscono  rispettivamente  al  trasformatore  A  e  B.  

DATI:  

k =  kN2  

N1  

A =  200kVA  

NA  

A =  100kVA  

NB  

cos! =  cos!  

cc,1   cc,2

V %  =  3,5%  

CCA

V %  =  3%  

CCB

SVOLGIMENTO:    

Figura  1:  schema  circuitale  unifilare  dei  secondari  dei  due  trasformatori  in  parallelo  e  relativo  carico.  

Partendo  dalla  condizione  di  parallelo,  si  può  scrivere:  

! ∙ ! = ! ∙ !

!!,! ! !!,! !

Essendo  i   !"#$  uguali  per  entrambi  i  trasformatori,  impedenze  e  correnti  saranno  in  fase  tra  loro.  

  ! !

!!,! !  

= !

! !

!!,!

Questo  rapporto  è  direttamente  il  rapporto  tra  i  moduli.  

  ! ! ∙ ! ∙ 3 ! ∙ !

!!,! !!,! !"! !!,! !"!  

! = = =

!!,! !

3 ∙ ! 3 ∙ ! !"!

!"! !"!

  ! ∙ !

!!,! !"!  

! =

!!,! ! !"!

Sostituendo  i  valori  nell’espressione  del  rapporto  tra  le  correnti,  si  ricava:  

  ! ∙! ∙! ! ∙!

! !!,! !"! !"! !!,! !"!

!  

= =

! ! ∙! ∙! ! ∙!

! !!,! !"! !"! !!,! !"!

Semplificazione  possibile  essendo  k  uguale  per  entrambi  i  TR.  

N

Il  rapporto  tra  le  potenze  si  ricava  moltiplicando  il  rapporto  delle  correnti  per  V  e  V  (uguali  tra  

2A 2B

loro   per   la   condizione   di   parallelo)   e   per   i   rispettivi   fattori   di   carico   (anch’essi   uguali   essendo   i  

cos!  uguali  e  essendo  il  carico  alimentato  lo  stesso):  

cc

  ! ! ∙ ! ∙ cos ! !

! ! !! ! !  

= =

! ! ∙ ! ∙ cos ! !

! ! !! ! !

  ! ! ∙ ! ! % ∙ ! ∙ 100 ∙ ! ! % ∙ !  

! !!,! !"! !!,! !!" !"! !!,! !"!

= = = = 1,71

! ! ∙ ! ! % ∙ ! ∙ 100 ∙ ! ! % ∙ !

! !!,! !"! !!,! !!" !"! !!,! !"!

a. Il   primo   caso   chiede   come   i   due   trasformatori   si   ripartiscono   la   potenza   P=250   kW   richiesta   dal  

carico;  per  risolvere  il  quesito  si  ricorre  a  un  sistema  di  2  equazioni:  

  !

! ! = 1,71 ∙ !

= 1,71 ! !  

⟹

!

! 1,71 ∙ ! + ! = 250  !"

! !

! + ! = 250  !"

! !

  ! = 157,75  !"

!  

! = 92,25  !"

!

Nessuno  dei  due  trasformatori  risulta  sovraccaricato.  

b. Nel   secondo  caso  la  potenza  richiesta  è  300  kW  che  si  suddividerà:  

  !

! ! = 1,71 ∙ !

= 1,71 ! !  

⟹

!

! 1,71 ∙ ! + ! = 300  !"

! !

! + ! = 300  !"

! !

  ! = 189,3  !"

!  

! = 110,7  !"

!

Si   nota   che   il   trasformatore   B   risulta   sovraccaricato   perché   il   suo   dato   di   targa   riporta  

AN =100kVA  

B

c. È  possibile  ricavare  la   più  elevata  potenza  che  la  rete  può  richiedere   senza  che  nessuno  dei  due  

trasformatori  vada  in   sovraccarico  sempre  attraverso  la  risoluzione  di  un  sistema  di  equazioni:  

  !

! ! = 1,71 ∙ ! ! = 271  !"

= 1,71 ! !

! 1,71 ∙ ! + ! = ! ! = 171  !"

!  

⟹ ⟹

! ! !

! + ! = !

! ! ! = 100  !" ! = 100  !"

! !

! = 100  !"

!

La  massima  potenza  che  il  parallelo  dei  due  trasformatori  può  sopportare  è  di  271  kW.  

Si  può  notare  come  il  trasformatore  B,  pur  avendo  A  minore,  si  carica  di  più  perché  la  ! %  è  

N !!,!

minore   di   conseguenza   I   maggiore.   Questa   analisi   può   essere   fatta   anche   notando   che   la   potenza  

B

di   ogni   trasformatore   è   proporzionale   alla   propria   A   e   alla     dell’altra   macchina;   cioè   il  

!

N !!

trasformatore   A   in   proporzione   alla   A   fornisce   una   P   “ridotta”   da   un   fattore   ,   mentre   il  

!

NA A !!,!

trasformatore  B  ha  la  propria  potenza  apparente  “aumentata”  da   .  Il  ragionamento  è  analogo  

!

!!,!

nel  caso  delle  correnti.  Si  riporta  l’equazione  a  cui  si  fa  riferimento:  

  ! ! % ∙ ! !

! !!,! !"! !  

= =

! ! % ∙ ! !

! !!,! !"! !

Si  ricalcola  il  rapporto  tra  le  potenze  e  il  massimo  carico  sopportabile  scambiando  i  valori  delle   .  

!

!!

I  passaggi  logici  sono  gli  stessi  e  sono  dunque  tralasciati.  

d. Quando  la  potenza  richiesta  dal  carico  è  P=300  kW,  essa  è  ripartita  tra  i  due  trasformatori  nel  

seguente  modo:  

  ! ! ∙ ! ! % ∙ ! ∙ 100 ∙ ! ! % ∙ !

! !!,! !"! !!,! !!" !"! !!,! !"!

= = = = 2,33  

! ! ∙ ! ! % ∙ ! ∙ 100 ∙ ! ! % ∙ !

! !!,! !"! !!,! !!" !"! !!,! !"!

  ! ′

! ! ′ = 2,33 ∙ ! &