Radicali in R, il trasporto dei fattori dentro la radice con discussione sul parametro x

Complementi di algebra

I radicali in R

• Trasportare dentro al segno di radice con discussione al variare di x
  1. a. ₁⁄^x+1 √^x²-1⁄_x+3
  2. b. -^x⁄_x-4 √²⁄_x

Complementi di algebra

I radicali in R

• Trasportare dentro al segno di radice con discussione al variare di x

a. ¹/_{x + 1} √^{x2 - 1}/_{x + 3}

b. ^x/_{x - 4} √²/_x

Esercizio 1

Trasporta dentro al segno di radice i fattori possibili, discutendo al variare di x in R.

a. ¹/_{x + 1} ^{√x2 - 1}/_{x + 3}

Svolgimento

Determiniamo le condizioni di esistenza.

¹/_{x + 1} √^{x2 - 1}/_{x + 3} ➡ C.E.: x + 1 ≠ 0 ∧ ^{x2 - 1}/_{x + 3} ≥ 0.

Risolviamo la disequazione ^{x2 - 1}/_{x + 3} ≥ 0.

x² - 1 ≥ 0 ➡ x ≤ -1 ∪ x ≥ 1

x + 3 > 0 ➡ x > -3

Riportiamo nel quadro dei segni:

Le condizioni di esistenza sono: -3 < x ≤ -1 ∪ x ≥ 1

Il segno del fattore dipende solo dal suo denominatore:

¹/_{x + 1} ≥ 0 ➡ x > -1

Riportiamo su grafico segno e C.E.:

Distinguiamo due casi

Se -3 < x < -1:

¹/_x+1 √(x+3) - ¹/_√(x+1) √(x+3) = ^x²-1/_{√(x-1)²(x+3)} = ^x-1/_{√(x+1)(x+3)}

Se x ≥ 1:

¹/_x+1 √(x+3) - ^x²-1/_{√(x+1)²(x+3)} = ^x-1/_{√(x+1)(x+3)}

Abbiamo allora:

¹/_x+1 √(x+3) = ^x-1/_{√(x+1)(x+3)}, se -3 < x < -1

¹/_x+1 √(x+3) = ^x-1/_{√(x+1)(x+3)}, se x ≥ 1

Esercizio 2

b. ^x/_x-4 √²/_x

Svolgimento

Determiniamo le condizioni di esistenza.

^x/_x-4 √²/_x → C.E.: x-4 ≠ 0 ∧ 2√x ≥ 0 → x ≠ 4 ∧ x ≥ 0

Le condizioni di esistenza sono: x ≠ 4 ∧ x ≥ 0.

Studiamo il segno del fattore ^x/_x-4

^x/_x-4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x > 4

Nel quadro dei segni, riportiamo anche le C.E.: