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Serie ai potenze
∑(n=0) (an (x-x0)n)
Raggio di Convergenza
limn→∞ |an|1/n
+∞ se ρ=0
0 se ρ=∞
Intervallo di Convergenza
-c < t < c
se converge x è
se converg x e
Somma della Serie
Sviluppo in serie di Maclaurin
- ex = ∑∞n=0 xk / k!
- sin(x) = ∑∞n=0 (-1)x x2k+1
- cos(x) = ∑∞n=0 (-1)k x2k / (2k)!
- sinh(x) = ∑∞n=0 x2k+1 / (2k+1)!
- cosh(x) = ∑∞n=0 x2k / (2k)!
- arctg(x) = ∑∞n=0 (-1)k x2k+1 / 2k+1
- ln(1+x) = ∑∞n=0 xn / n
- (1-x)-k = ∑∞n=0 ak xk
- ax = 1 / (1-x)
tan(x) = x + x3/3 + x5/5
Sviluppi di Taylor (solero t = x-x0)
f(a) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)(x-x0)2 / 2!
Derivate Direzionali
Viene associata una funzione, un punto e una direzione v
- f funzione
- f funzione nel punto
- f funzione nel punto
Piano tangente in + variabili
Ricordando che z = f(x,y), z0 = f(x0,y0,z0), (x = x0, y = y0, z = z0)
Studio massimi e minimi
- Porre il gradiente = 0 e trovare i punti
- Fare l'analisi hessiana nei punti
In generale (n=2) z = f(x,y)
- Se DetH>0 2xx(x0,y0)>0 Minimo locale forte
- DetH>0 2xy(x0,y0) arctg x/y - 1/y2
L (F fl) = V(B) - V(A) = - arctg x/y - 1/y2 | x=1 = π/4, 1/2 - π/4,
13-6-16 ESERCIZIO A3 risolto
A3. Calcolare il lavoro del campo F(x,y) = (ylog|1+x2y|, -2x2y2/(1+x2y) · xlog|(1+x4y| - xy/(1+x2y)) lungo arco di cerchio crc(1) riscosso 1 e centro (0,0) che va dal punto
(1√2, 1√2) a (- 1√2, 1√2).
Parametrize l’arco di circonferenza con una curva () definita come
∈ [π/4, 5π/4]
crc(t) = (1√2cos, 1√2sin) ∈ [0,0] ([-log|(1+x2y)| · y, - 4x2y2/(1+x2y) · 3x2y(1+x2y) · x(y-2xy)])
{ (1+x2y)2) - (0,0,0) }
Il campo e irrotazionale definito sul dominio x=-y che e semplicemente
connesso percio ammette un potenziale (u) per f
∫N(x,y) fy: dx I = ∫ydx |√|1+x2y| + ∫
2x2y2/1+x2y :
Allora Π: ∫ ylog|(1+x2y)|dz · ∫ 2xx
∫ ∫ ygad: ∫ 2x)
∫ log|(1+x2ydx)|dz · xlog|(1+x2y)|:
∫ ( y . 1+x2y )
Seconda componente: xlog|(1+x4y)| · a(y)
- 2xlog: Da(yL) / a(y) = c
μ(x,y) = xlog|(1+x2y)|+c
Poiche il potenziale μ e definito convenzionalmente a meno di una costante C, e f.e e:
sostitui nel valore del potenziale
L = -Δμ = ∫r(y(π)/7)) – μ(π))
= 1/2 log|(1- 1)/v2) :
- 1/2 log|(1+2√/v2) : 2/√v2, - 1)
Serie di potenze
∑ k=0 ∞ k2 (x-1)k
∑ k=1 ∞ k2 tk
limk-> ∞ (cosθ)
Diverge
non converge perché lim k-˃∞ (-1)k k2 =/O0 < x < 2 = (0, 2)
Sviluppi di Taylor
Sviluppi in serie di MacLaurin
f(x) = ex - √(1-2x)
Ordin2 2
riconducibile a quellabinomiale
2√(1-2x)= (1+(-2x)) 1/2 = ∑ k=0 ( 1 ) ( - 2x )k k2
(1/2, 0) (2x)0 x1/2 x2 (1+ x2
f(x) = - √(1+2x)= - x+ x2 2 x2
f(x) = 2 (1-x)
Grado 2⁺
- x = (x(m2))m/M!
X
Ʊ
2
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