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Funzioni di piu' variabili

f(x) x ∈ ℝ

f(x₁,...,xₙ) = x ∈ ℝm

x =( x₁,...,xₙ)

⨯ ⨯ ⨯ ℝm ⨯ ℝ ... ⨯ ℝ = ℝm

x,y ∈ ℝm

dist(x, y) = ρ(x, y) = | x - y | = √Σ(xᵢ-yᵢ)²ni=1

  • Distanza euclidea → Stessa cosa
  • La norma di x - y

- Sfera aperta di centro x₀:

(x₁₀,...,xₘ₀) Br (x₀) = { x ∈ ℝm | dist(x, x₀) < r }

bordo = { x ∈ ℝm | ||x-x₀|| = r } = Cr (x₀)

Br (x₀) ∪ Cr (x₀) = { x₀ ∈ ℝm | ||x-x₀|| <= r }

- Sfera chiusa di centro x₀.

A ⊆ ℝm

  • A è aperto se tutti i suoi punti sono interni
  • x₀ ∈ A x₀ è interno ad A se ∃r > 0 t.c. Br (x₀) ⊆ A
  • Un insieme è chiuso quando il suo complementare è aperto

- A ⊂ ℝm

  • La frontiera di A si indica con ∂A
  • x0 ∈ ∂A se ∀r > 0 Br (x₀) contiene sia punti di A che di AC

∂A = ∂AC

∀ r > 0 Br (x₀) ∩ A ≠ ∅ ∧ Br (x₀) ∩ AC ≠ ∅

x0 è di frontiera

- A ⊆ ℝm

x0 ∈ A

si dice isolato se:

∃ r ∈ ℝ, Br(x0) \ {x0} ∩ A = ∅

Quindi se tolto x0 che appartiene ad A non ci sono altri punti nella sfera di centro x0 appartenenti ad A

Un punto isolato è necessariamente di: frontiera

- x0 si dice di accumulazione se:

∀ r Br(x0) \ {x0} ∩ A ≠ ∅

x0 ∈ A'

Quindi se qualunque sia la sfera intorno ad x0, il punto stesso la sfera contiene ancora punti di A

  • I punti isolati non sono di accumulazione, ma di frontiera.
  • I punti interni sono di accumulazione.
  • Gli unici insiemi sia aperti che chiusi sono ∅, ℝm.

f: A ⊆ ℝm → ℝ

Limiti:

LF: funzione reale di più variabili reali

x0 punto di accumulazione di A (x0 ∈ A')

limx→x0 f(x) = l ⇔ ∀ ϵ ∃ ε0 ∃ x ∈ B φ(u, v) ≠ φ(u', v')

=( u, v ) ∈ Do

    • αu 1
    • βu 0
    • δu
    = (xu, βu, δu) Lpφu = (αu, βu, δu)
    • αv 0
    • βv 1
    • δv
    = (xv, βv, δv) Lpφv = (αv, βv, δv)

Equazione del piano tangente:

  • x - xo
  • y - yo
  • z - zo
  • u1 u2 u3
  • v1 v2 v3

DET = (x - xo) ⋅ (u ∧ v) = 0

  • Tutti i vettori tangenti sono combinazione lineare dei due vettori pu e pv

⇒ (x - φ(uo,vo)) ⋅ (φu(uo, vo) ∧ φv(uo, vo)) = 0

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Publisher
nicco2303
A.A. 2021-2022
90 pagine
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SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher nicco2303 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma Tor Vergata o del prof Perfetti Paolo.