Quaderno preparazione esame - Biomeccanica

Biomeccanica

Definition of Engineering

• According to the Accreditation Board for Engineering and Technology (ABET)
• "Engineering is the profession in which a knowledge of the mathematical and natural sciences gained by study, experience, and practice is applied with judgment to develop ways to utilize economically the materials and forces of nature for the benefit of mankind"

Definition of Mechanics

• From Collins English Dictionary
• "The branch of science divided into statics, dynamics, and kinematics, concerned with the equilibrium or motion of bodies in a particular frame from reference"

Definition of Biomechanics

• From Collins English Dictionary
• "The application of the principles and techniques of mechanics to the structure, function, etc. of living organisms."
• From Mosby's Medical Dictionary
• "The study of mechanical laws and their applications to living organisms, especially the human body and its locomotor system."
• Dall'enciclopedia medica italiana USES
• "La biomeccanica è la scienza che si occupa degli effetti di forze interne ed esterne sull'organismo degli umani e degli animali, sia in movimento che a riposo."

Esercizio (Notazione)

• Scrivere la matrice H (tensore del secondo ordine) in notazione ingegneristica

[H] = H₁₁H₁₂H₁₃H₂₁H₂₂H₂₃H₃₁H₃₂H₃₃

Esercizio (Notazione)

• Calcolare in notazione ingegneristica [H] = [A] + [B]

[H] = [A] + A₁₁A₁₂A₁₃A₂₁A₂₂A₂₃A₃₁A₃₂A₃₃B₁₁B₁₂B₁₃B₂₁B₂₂B₂₃B₃₁B₃₂B₃₃A₁₁ + B₁₁A₁₂ + B₁₂A₁₃ + B₁₃A₂₁ + B₂₁A₂₂ + B₂₂A₂₃ + B₂₃A₃₁ + B₃₁A₃₂ + B₃₂A₃₃ + B₃₃

Calcolate in rotazione componete la stessa somma

R = A + B

Calcolate in rotazioni indiciali la stessa somma

R_j = A_j, B_j

ESERCIZIO (VINCOLI)

Disegnate una nuova configurazione per le coppie tipo cerniera con vincoli

Quanti gradi di libertà ha il sistema vincolato? Fare due possibili scelte di coordinate d'acquaggio.

Il sistema ha 2 gradi di libertà

Due scelte possibili sono:

1. S_c, φ_c
2. S_c, S_b

Disegnate le seguenti configurazioni

ESERCIZIO (VINCOLI)

Disegnare una possibile configurazione ed effettuare qualche scelta di coordinamenti.

ESERCIZIO (VINCOLI)

Dimostrare scrivendo le equazioni che questi tre disegni rappresentano la stessa cosa.

• d: movimento bloccato; escluso dislocazione
• y: movimento bloccato; Asse di spostamenti verticali
• d: movimento bloccato; Spostamenti

ESERCIZIO (VINCOLI)

Dimostrare scrivendo le equazioni dei vincoli che i tre disegni sono equivalenti.

Degrado di vincoli e vincolo interno.

3t < 6

3t - 6

3t - s > 0 s vincolo labile

NON CI SONO VINCOLI SUPERFLUI e l = 1

Quale vincolo dovrei inserire nella struttura iniziale al posto del doppio pendolo se volessi consentire il movimento verticale e orizzontale ma continuare a bloccare le rotazioni?

Un doppio pendolo

Esercizio _(cinetica)

Risolvere dal punto di vista cinematico la seguente struttura

• A
• L
• B
• 3t < 6

• 3t - s > 0 l = 1
• C
• s . 6
• II

Se ometto il vincolo interno l può ruotare in A e quindi Δr_C ϵ 0, ma in D può ruotare in D, quindi M_C ϵ 0.

Quando inserisco il doppio pendolo blocco le rotazioni relative tra B e C.

Equazioni ai vincoli

u_A = 0

φ_A = 0

v_A = 0

stessi già espressi in coordinarci orizzontali

L₁ da matrici ha rango massimo 3

x = 0: unico schema

l = 0 (isostatica)

Studio di struttura dal punto di vista statico:

1. L
2. A
3. B
4. FL

Riscopri la struttura e verifica l’equilibrio:

• ∑F_x = 0
• ∑F_y = 0
• ∑m_A = FL • L = 0

Metodo ispetivo

Equiamo il vincolo in B.

L. di reazione più scarica solo verticalmente

Aggiungendo il corretto blocco anche gli spostamenti verticali. l = 0 (isostatica)

Metodo analitico

A B y

x orizzontale coordinata orizzontale

Equazioni dei vincoli:

u_A = 0

φ_A = 0

v_B = 0

stessi già espressi in coordinarci orizzontali

H_A = 0

V_B + (-MB + F * L/2) / L = 0

V_A - F = (F * L/2) / L

H_D = 0

V_D - (F/2) = 0

H_B - H_L = 0

Verifica equilibrio corpo I

F/2 F F/2

• R_Y = 0
• R_Y = -F + F/2 + F/2 = 0
• m^h = F * L/2 - F * L/2 = 0

Se corpo I è in equilibrio.

Verifica equilibrio corpo II

F/2

C

F/2

D

• R_Y = 0
• R_Y = F/2 - F/2 = 0
• m^C = 0

Se corpo II è in equilibrio

Verifica equilibrio intero sistema

F/2 F F/2

A L/2 L/2 B

C

L

D

F/2

• R_Y = 0
• R_Y = F/2 + F/2 + F/2 - F = 0
• m^B = -F * L/2 + F * L/2 = 0

Anche l'equilibrio dell’intero sistema è verificato.

Disegnare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione della seguente struttura:

Dall'analisi statica di questa struttura ho già ricavato:

• Prendo una sezione S muovo vicina a B

Poiché _T ≠ 0 posso scrivere applicando le eq indefinite di degrazione:

• T' = 0 → T(x) = C
• M' = T → M(x) = C₁ x + C₂ (funzioni lineare)

Considero il tratto SB e disegno prima solo le aree verticali:

Ora disegno anche i momenti:

Considero ora una sezione S molto vicina ad A

• M_s ≠

VERIFICA

Se considero una sezione S posta ad 1/2 mi aspetto di trovare:

• momento H_s < 0 con modulo FL/2
• taglio T _S > 0 con modulo f

(segno siehe riferiti alle convenzioni di riferimento).

Calcolo esplicitamenti le sollecitazioni.

3) Verifico l'equilibrio sull'intero sistema (rampone su ordini interni)

R_x + F = 0

R_y - F = 0^{--> equilibrato verificato}

m_A = -FL + F 3L = 0

4) Verifico equilibrio considerando 3 eq. di equilibrio globale e 3 eq.

di equilibrio dell'aria AB e BC

ESERCIZIO (CINEMATICA/STATICA)

Risolvere la seguente struttura

SOLUZIONI:

F + HB = 0

VA - VC= 0

FL + VAL - VC 2L = 0

HB = -F

VA = VC

VA1/2 VC = F ^-> VC = F/3

HB = -F

VA = F/3

VC = F/3

Dal punto di vista cinematica 3t = 3 ^-> 3t - s = 0 ^-> t = i

s = 3

METODO ISPITIVO La semplicità mostrata è O perché k manca posto il vincolo in B

La struttura potrebbe però rinverso cinematicamente,

da B si cadere B + ci bloccato è ^[incompleto] una unica freccia e

possiamo ammettere quindi la verifica