Quaderno delle esercitazioni di Pianificazione dei trasporti

Media geometrica ponderata:

x = √g

dove n1,n2,…,nk rappresentano la frequenza

N=n1+n2+…+nk rappresenta la numerosità del campione

25 studenti

6 22 6 25 10 27 3 30

media geometrica ponderata: 25,55566001

Media armonica:

Indicatore statistico che fornisce un particolare tipo di media, ed è per definizione il rapporto tra il numero di valori considerati e la somma tra i reciproci dei valori numerici.

velocità Automobile

x1 100

x2 50

x3 60

x4 120

media armonica: 72,72727273

Media armonica ponderata:

velocità automobile x f/xfrequenza f

15 0,125

120 40 0,4

100 25 0,192307692

30

somma 80 0,717307692

media armonica ponderata: 111,5281501

Percentile:

Viene definito come il dato relativo al valore h che divide un insieme assegnato di n dati ordinati linearmente, in modo che il numero dei valori inferiori a h costituisca una data percentuale di n dati

31 28 116 2 78 89 25 34 29 13

10° percentile 25

50° percentile 29

70° percentile 89

90° percentile 89

20° percentile

1330° percentile 2525° percentile 19

Moda: è la classe di modalità caratterizzata dalla massima frequenza e viene spesso rappresentata con la simbologia V. In altre parole, è il valore che compare più frequentemente.

0 valori frequenza

125 1600 1750 1419 1312 1600 2989 1123 1600 3

Mediana: In statistica, in particolare in statistica descrittiva, data una distribuzione di un carattere quantitativo oppure qualitativo ordinabile, si definisce la mediana come il valore/modalità eta eta ordine crescente n 104 n/2 426 n/2+1 533 37 43 mediana 4,544 58 62 75 860 60

Campo di variazione: In statistica, il campo di variazione è il più semplice indice di variabilità ed è dato dalla differenza tra il valore massimo di una distribuzione ed il valore minimo. Esso può essere definito anche come intervallo di variabilità o gamma. C = X – Xmax minV 2 50 60 21 23 43c 58

ESERCIZIO

Oggetto: Calcolare SQM, media, mediana,

varianza e coefficiente di variazione dato il seguente vettore SS 1 3 4 4 5 6 7 9 9 12media x 6 n componenti 10mediana 5,5Sx^2 10,8888889SQM 3,29983165Cv 181,827458

La covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un numero che fornisce una misura di quanto Sxy=le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.

Altezza Peso N 6170 67174 76180 82 media peso 78,5168 64 media192 102 177altezza178 80Sx 8,65 Rxy 1,325549Sy 13,53Sxy 155,135

Esercitazione del 17-11-2016

È Distribuzione Normale : una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come campana di Gauss . Assumendo certe condizioni, la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione

normale al tendere di n all'infinito. La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana: φ(x) = √(2π) * e^(-x^2/2)

Funzione densità di probabilità o funzione di ripartizione: non abbiamo una classe e non avremo una sommatoria ma un integrale. F(x) = P(x ≤ x) = ∫ φ(t) dt

Con F(x) funzione di ripartizione; per calcolare F(x) bisogna rifarsi ad un calcolatore o ad un manuale di statistica. Per passare da distribuzione normale a distribuzione normale standardizzata, si passa da una f(x) a f(z) dove z vuol dire che la media è 0 e che lo SQM=1. F(-z) = 1 - F(z)

Oggetto: Data l'altezza di un gruppo di ragazzi è distribuita normalmente con media μ = 174cm e SQM(Ϭ) = 15cm. Calcolare la probabilità che un ragazzo scelto a caso abbia statura > 190cm.

μ = 174
SQM = 15
Altezza = 190
m ± Ϭ→ 69%
z = 1.0666667
P(z > 1.066667) = 0.1423
P(z < 1.066667) = F

(z< 1,066667)

ESERCIZIO

Oggetto: Considerando la popolazione data calcolare la probabilitàμ 175SQM 5P(X)> 170P(X)> 190<P(X)< 165 180

Svolgimento:

170 P(x> )= 1-P(x<a questo punto passiamo allavariabile z 1-P(z≤- 1-P(z≤ -1 1)= P(z>1)= 1-(1-P(z>1))= P(z<1)= 0,8413 = 84,13 %

P(x> 190 P(x> 190 )= 1-P(z< 3 )= 0,0013 = 0,13

P ( 165 <x< 180 cm) P(x< 180 )-P(x< 165 )standardizziamo P(z< 1 )-P(z< -2 )=)-(1-P(z< 1 P(z< -2 ))= 0,8185 81,85

Esercitazione 21-11-2016

Oggetto: Sono stati calcolati i tempi di attesa in una stazione ferroviaria. Determinare la probabilità che il tempo di attesa superi i valori riportati in tabella.

P Tempo (min)> 25 P Tempo (min)< 16 18 <p< 21μ 20 Ϭ^2= 9 Ϭ 3

P Tempo (min)> 25z=(x- z 1,666666667μ)/Ϭ 1-P(x>25)= P(x<25)= 1-P(z< 1,666666667 )= 0,0475

P(x>25) 4,75%

P Tempo (min)< 16z=(xμ)/Ϭ z -1,333333333 -P(x<16) P(z< 1,333333333P(x<16) =

P(z<1,3333) = 1-P(z<1,333333) = 1-0.9082 = 0.0918 = 9.1818%

21P(z<(21-20)/3) - P(z<(18-20)/3) - P(z<0.33333333) - P(z<0.666666667) = 0.6293

1-P(z<0.666667) = 0.6293 - 1 + 0.7454 = 0.3747 = 37.47%

ESERCIZIO

Oggetto: Un processo produce cuscinetti i cui diametri sono distribuiti normalmente. Affinché un cuscinetto sia utilizzato, il suo diametro deve essere compreso tra 2.49 e 2.51. Calcolare la percentuale che non può essere utilizzata.

μ = 2.5, σ = 0.008

2.49 < p < 2.51 che può essere scritto come P(x<2.49) + P(x>2.51)

ESPLICITANDO

Z = (x-μ)/σ

Z = (1.25-2.49)/0.008

P(z<1.25) = 0.1056 = 10.56% VERO

P(z>-1.25) = 0.1056 = 10.56%

Distribuzione di Gumbel: La distribuzione di Gumbel si basa sulla teoria del metodo Logit. Essa è un metodo statistico distributivo non simmetrico che viene definito attraverso il valore dell'indice di posizione e di dispersione Ѳ. La legge è:

m ( )( ) =

Dove:

costante di Eulero = 0.577

Ponendo poi F(x) = P(x<x)

quindi ( )=Doveϑ: controlla la forma della nostra distribuzione. Più ϑ è piccolo, più la funzione è addensata. ESERCIZIO Oggetto: I tempi di arrivo di un treno in una stazione sono distribuiti con Gumbel. Calcolare le probabilità che il treno arrivi dopo le 9.40 e prima delle 9.20. Ϭ = 5 μ = 30 P ( t < 9.40) F(9:40) = e^(-e^-(9.40-9.30)/ϑ) + 0.577 var (t) = (π^2/6)*ϑ^2 ϑ^2 = 6*var(t)/π sostituisco ϑ = 3.9 ϑ = ((6)^1/2)/π*var(t)^1/2 = (6)^1/2/π*Ϭ 3.9 F(9:40) = e^-e^(10/3.9+0.577) = 0.958 prob (t > 9.4) = 1 - prob (t < 9.4) = 1 - 0.958 = 0.042 = 4.2% P ( t < 9.2) = e^(-e^-(9.20-9.30)/3.9) + 0.577 = 0.1% facendo aumentare Ϭ a 6.41 min Ϭ 6.41 ϑ^2 = 6*var(t)/π^2 ϑ = 6.12420382 e^(-e^-(9.40-P ( t < 9.4) F(9:40) = 9.30)/6) + 0.577 = 0.920,073 = 7.30% prob (t > 9.4) = 1 - prob (t < 9.4) = 0.016 P ( t < 9.2) Variabile di soddisfazione: La varibile di soddisfazione è il valore di massima

utilità percepita dagli utenti. Essa è sempre ≥ alle massime unità sistematiche. S(v) ≥ max {v} S(v): variabile di soddisfazione; max {v} : max unità sistematica. U=V+ε Per studiare la variabile di soddisfazione si studia il modello LOGIT perché gode di una proprietà: il max din variabili indipendenti è sempre una variabile di GUMBEL di variabilità.

= ∑ Un’altra proprietà è di tipo analitico: se aumenta l’unità sistematica V di un’alternativa, aumenta S. Altra proprietà: all’aumentare dell’alternativa, aumenta S(V).

ESERCIZIO

Oggetto: Determinare S(v) utilizzando il modello LOGIT in un percorso da A a B con due alternative: Va e Vb σ 1 σ 5. Va 5 Vb 7 ϑ^2=(π^2/6)*ϑ^2 6*Ϭ^2/π^2 ϑ= (6)^1/2/π*Ϭ ϑ1 0,95541401 ϑ2 4,77707006 S(v)=ϑ1*ln(exp(Va/ϑ1)+exp(Vb/ϑ1) S1(v) 7,11106592 VEROS2(v)

9,4151237 VEROportando Va e Vb ad 8S1(v) 0,66224253S2(v) 3,31121265Vc 2la sommatoria va fatta su 3 alternative.S1(v) 2,2105547S2(v) 6,01166624

ESERCIZIOOggetto : Si Calcolino le variabili di soddisfazione per ogni coppia O/D, e per ogni generico kSQM 2 Vk=-4* tempo k -3*distanza k..O-D PERCORSO TEMPO(h) DISTANZA(Km)1-2 K1 22 31 Vk1 -1,55967K2 16 25 Vk2 -1,141671-3 K3 17 24,5 Vk3 -1,20683K4 11 18,5 Vk4 -0,78883ϑ 1,91082803 Vk1S(v)(1-2) -0,0147745 -0,014774464 > verificatoS(v)(1-3) 0,33805887 Vk2Vk30,338058869 > verificatoVk4

Esercitazione 19-12-2016modelli di assegnazione ad una rete di trasporto simulano l’interazione domanda-Modelli di assegnazione :Iofferta e consentono di calcolare i flussi di utenti e le prestazioni per ciascun elemento del sistema di offertacome risultato dei flussi di domanda Origine-Destinazione, dei comportamenti di scelta del percorso e dellereciproche interazioni tra domanda e offerta. Differenti modelli di assegnazione possono essere

classificati in relazione alle ipotesi:

• Sulle funzioni di costo-flusso sugli archi che esprimono la dipendenza delle prestazioni del sistema di trasporto dal flusso degli utenti che impegna i diversi elementi.
• Sui comportamenti di scelta del percorso

In particolare, se si assume che i costi non dipendono dai flussi sugli archi, si ottengono i modelli di assegnazione a costi costanti (reti non congestionate), o di carico della rete (NL). Se invece i costi dipendono dai flussi sugli archi si hanno i modelli di assegnazione a reti congestionate. Relativamente al di solito i modelli basati sulla teoria dell'utilità comportamento della scelta del percorso, si utilizzano aleatoria; in particolare, nel modello di scelta deterministico l'utilità percepita è considerata deterministica, e tutti gli utenti scelgono un itinerario di massima utilità, ossia di minimo costo, mentre nei modelli di scelta probabilistici o stocastici l'utilità.niscono la probabilità di scelta di un determinato itinerario in base a diversi fattori, come ad esempio il costo, la durata, la distanza, la comodità, le preferenze personali degli utenti, ecc. Questi modelli possono essere utilizzati per ottimizzare la pianificazione dei percorsi, ad esempio nel caso di sistemi di navigazione GPS o di pianificazione dei trasporti pubblici.