Prove d'esame di didattica, epistemologia e storia della matematica, prof.ssa Veronica Gavagna

I X C M

essere ripetuti consecutivamente solo una volta, i simboli , , e possono essere ripetuti

3

consecutivamente al massimo volte, che a un simbolo (diverso da un’unità) è possibile sottrarre

10

il simbolo in base immediatamente più piccolo e che, tenendo presente che i numeri romani si

leggono da sinistra a destra, il simbolo che sta a sinistra si sottrae e quello che sta a destra si

MMCDL X X I X

somma. Possiamo quindi scrivere duemilaquattrocentosettantanove come .

Per scrivere un numero in simboli babilonesi bisogna ricordarsi che la numerazione babilonese è

60 10

additiva, posizionale e a base sessagesimale ( ) e decimale ( , all’interno di ogni posizione).

2479 : 60 = 41 2479

Duemilaquattrocentosettantanove quante sessantine sono? . Nel c’è una

1 1 0

2479 = 41 × 60 + 19 = 41 × 60 + 19 × 60 2479

sessantina. . Possiamo quindi scrivere

;

come .

490 CCCCL X X X X X C

- non si scrive perché i simboli e possono essere ripetuti

3 490 CDXC

consecutivamente al massimo volte. si scrive .

1999 MCMIC I C

- non si scrive perché il simbolo non può precedere il simbolo . Siccome a un

1

I 99

simbolo (diverso da ) non è possibile sottrarre simboli minori di , il numero non si scrive

10

IC XCI X 1999 MCM XCI X

ma si scrive . si scrive quindi .

874 DCCCL X X I V

- si scrive .

2. Determinare il numero di spigoli, facce e vertici del poliedro in figura che ha per facce 2

pentagoni regolari e 10 triangoli equilateri. E’ un poliedro regolare? Perché? Verificare se

vale la relazione di Eulero.

12 10 20

Il poliedro in figura ha facce, vertici e spigoli. Il poligono non è un poliedro regolare

perché:

1. le facce di un poliedro regolare sono tutti poligoni regolari, le facce di un poliedro regolare

sono tutti congruenti tra loro e in ogni vertice deve arrivare lo stesso numero di facce. Il

poliedro in figura non soddisfa la seconda condizione dell’elenco precedente;

2. i poliedri regolari sono il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro e il poliedro

in figura non rientra nell’elenco.

3. Eseguire la moltiplicazione tremilaquattro per duemilacinquanta

a) con la tecnica cinese;

b) con i bastoncini di Nepero. a) Disponiamo i bastoncini secondo le cifre del moltiplicando e

del moltiplicatore in modo che, incrociati, formino dei “nodi”. I

nodi vanno raggruppati a fasce e secondo l’ordine di

grandezza. Ogni fascia ha un ordine di grandezza che deriva

dall’incrocio. Per ottenere le cifre del prodotto cominciamo a

contare i nodi che stanno nella parte in basso a destra che

derivano dall’incrocio delle unità del moltiplicando con le unità

del moltiplicatore. Siccome non ci sono nodi, le unità del

0

prodotto finale saranno . Vediamo poi i nodi che stanno nella

seconda fascia che derivano dalla somma dell'incrocio tra le

20

unità del moltiplicando per le decine del moltiplicatore ( ), le

0

decine del moltiplicando per le unità del moltiplicatore ( ) e un

12

20 20 + 0 = 20

eventuale riporto del calcolo precedente. Siccome i nodi sono ( ) e non ci sono

0 2

riporti, le decine del prodotto finale saranno e concorrerà a formare le centinaia del prodotto

finale. Vediamo poi i nodi che stanno nella terza fascia che derivano dalla somma dell’incrocio tra

0

le unità del moltiplicando per le centinaia del moltiplicatore ( ), le decine del moltiplicando per le

0 0

decine del moltiplicatore ( ), le centinaia del moltiplicando per le unità del moltiplicatore ( ) e un

2

eventuale riporto del calcolo precedente. Siccome non ci sono nodi ma c’è il riporto del del

2

calcolo precedente, le centinaia del prodotto finale saranno . Vediamo poi i nodi che stanno nella

quarta fascia che derivano dalla somma dell’incrocio tra le unità del moltiplicando per le migliaia

8 0

del moltiplicatore ( ), le centinaia del decine per le centinaia del moltiplicatore ( ), le centinaia del

0

moltiplicando per le decine del moltiplicatore ( ), le centinaia del moltiplicando per le unità del

0 8

moltiplicatore ( ) e un eventuale riporto del calcolo precedente. Siccome i nodi sono

8 + 0 + 0 + 0 = 8 8

( ) e non ci sono riporti, le migliaia del prodotto finale saranno . Vediamo poi i

nodi che stanno nella quinta fascia che derivano dalla somma dell’incrocio tra le decine del

0

moltiplicando per le migliaia del moltiplicatore ( ), le centinaia del moltiplicando per le centinaia

0 15

del moltiplicatore ( ), le centinaia del moltiplicando per le decine del moltiplicatore ( ) e un

15 0 + 0 + 15 = 15

eventuale riporto del calcolo precedente. Siccome i nodi sono ( ) e non ci

5 1

sono riporti, le decine di migliaia del prodotto finale saranno e concorrerà a formare le

centinaia di migliaia del prodotto finale. Vediamo poi i nodi che stanno nella sesta fascia che

derivano dalla somma dell’incrocio tra le centinaia del moltiplicando per le migliaia del

0 0

moltiplicatore ( ), le migliaia del moltiplicando per le centinaia del moltiplicatore ( ) e un eventuale

1

riporto del calcolo precedente. Siccome non ci sono nodi ma c’è il riporto dell’ del calcolo

1

precedente, le centinaia di migliaia del prodotto finale saranno . Vediamo infine i nodi che stanno

nella settima fascia che derivano dalla somma dell’incrocio tra le migliaia del moltiplicando per le

6 6

migliaia del moltiplicatore ( ) e un eventuale riporto del calcolo precedente. Siccome i nodi sono

6

e non ci sono riporti, i milioni del prodotto finale saranno . Il prodotto della moltiplicazione è

6158200

quindi .

b) Per risolvere la moltiplicazione tremilaquattro per duemilacinquanta accostiamo, a partire da

3

sinistra, il bastoncino del poi, procedendo verso destra, il

0 0

bastoncino dello , un altro bastoncino dello , il bastoncino

4 index.

del e infine il bastoncino Riportiamo di seguito solo le

caselle utili per trovare il prodotto della moltiplicazione, cioè le

2 5 0

righe in corrispondenza dei numeri , e del bastoncino

index; i bastoncini devono essere posizionati in modo da

rispettare gli ordini di grandezza. A questo punto partiamo dal

primo triangolo in basso a destra e sommiamo seguendo le

fasce in diagonale spostandosi verso sinistra. Infine scriviamo

il prodotto finale seguendo il verso della freccia, cioè dall’alto

6158200

verso il basso e da sinistra verso destra: è il prodotto

della moltiplicazione tremilaquattro per duemilacinquanta.

1

A BC A D

4. Considerare la sezione triangolare in figura; il segmento è pari a dello spigolo

3

6cm A BC

del cubo, che misura . Che tipo di triangolo è ? Qual è il suo perimetro? E la sua

area?

CD = 6cm

6

A D = cm = 2cm

3 A BC ACD

Per capire che tipo di triangolo è , calcoliamo quanto misurano i lati. Essendo un

AC

triangolo rettangolo, per trovare la lunghezza del lato è possibile applicare il Teorema di 13

Pitagora, la cui definizione aritmetica è: “la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti di un

triangolo rettangolo è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa”.

2 2 2 2 2 2 2 2

AC = A D + CD = (2cm) + (6cm) = 4cm + 36cm = 40cm

2 2

AC = 40cm = 2 × 10cm = 2 10cm

AC = A B BC

Per trovare la lunghezza della base è possibile applicare il Teorema di Pitagora perché è

l’ipotenusa di un triangolo rettangolo.

2 2 2 2 2 2 2 2

BC = CD + BD = (6cm) + (6cm) = 36cm + 36cm = 72cm

2 2

BC = 72cm = 6 × 2cm = 6 2cm

A BC 2

Il triangolo è isoscele perchè ha lati della stessa lunghezza.

A P = AC × 2 + BC = 2 × 2 10cm + 6 2cm = 4 10cm + 6 2

ABC BC × Ah

A =

ABC 2 Ah

Per trovare la lunghezza dell’altezza è possibile applicare il Teorema di

ACh

Pitagora perché il triangolo è un triangolo rettangolo.

2 2 2

B C Ah = AC − Ch

h 6 2

Ch = cm = 3 2cm

2

2 2 2 2 2 2 2 2

Ah = (2 10cm) − (3 2cm) = 4 × 10cm − 9 × 2cm = 40cm − 18cm = 22cm

2

Ah = 22cm = 22cm

6 2cm × 22cm 2 2

A = = 3 2cm × 22cm = 3 44cm

ABC 2

5. È possibile realizzare il seguente disegno senza staccare la matita dal foglio? Perché? In

caso affermativo, indicare un punto di partenza, un percorso (indicato con freccette) e un

punto di arrivo.

Per capire se è possibile realizzare il seguente disegno senza staccare la matita dal foglio,

trasformiamolo in un grafo dove gli incroci si chiamano nodi ed assegnamo a ciascun nodo delle

lettere. Inoltre colleghiamo i nodi con degli archi. Il grafo è euleriano (o percorribile) perché i vertici

del grafo sono tutti pari. Siccome i vertici sono pari, il grafo è percorribile partendo da un punto

qualsiasi. Il percorso è

A → L → F → G → E → F → D → E → H → D → C → L → B → C → I → H → G → A → I → B → A

A

. Il punto di partenza e di arrivo è . 14

15

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

1. Dividi il numero per secondo la tecnica egizia.

Rispondi brevemente:

a) A quale punto è opportuno interrompere il raddoppio del divisore? Perché?

b) Per quale motivo non è sempre possibile fare in modo che la somma di opportuni

addendi della colonna di destra sia uguale al dividendo?

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∩ ∩ ∩ ∩

diviso

∣ ∩∩∩∩

∣∣ ∩∩∩∩∩∩∩∩

∣∣∣∣ ∩∩∩∩∩∩

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∩∩ 40

Nella colonna di destra si eseguono i raddoppi del divisore ( ) fermandosi prima di superare il

456 2

dividendo ( ). Nella colonna di sinistra si eseguono le potenze del , formando lo stesso

numero di righe che si sono formate a destra. A questo punto cerchiamo di scrivere il dividendo

come somma dei termini della colonna di destra (usando la tecnica dello svuotamento): bisogna

individuare le righe i cui numeri sommati danno come risultato il numero che più si avvicina ad

dividendo. Ci serviamo quindi della tecnica dello svuotamento che prevede una serie di sottrazioni

456

a partire dal dividendo ( ):

456 − 320 = 136

136 − 80 = 56

56 − 40 = 16 . 0

Se, come in questo caso, il risultato dell’ultima sottrazione è un numero maggiore di , la

16 11

divisione ha un resto. In questo caso, il resto è . Il quoziente è dato dalla somma dei numeri

della