Appunti di didattica, epistemologia e storia della matematica (Parte 1), prof.ssa Veronica Gavagna

MDX L I X 1549

è uguale a .

49 X L I X IL

Ma allora perché il si scrive e non ?

99 XCI X IC I XC L X L I X

Perché si scrive e non , oppure ? 10

A un simbolo (diverso da un’unità) è possibile sottrarre il simbolo in base immediatamente più

1

piccolo. In altre parole, non è possibile sottrarre numeri più piccoli di .

10

→.

La freccia indica che quel numero romano è possibile sottrarlo a

Inoltre, si può sottrarre un simbolo solo. MMMCM XCI X

Il numero più grande che è possibile costruire con la numerazione romana è

3000 + 900 + 90 + 9 3999

( ), ovvero .

Per riassumere, in un sistema additivo i simboli hanno un valore assoluto, cioè mantengono lo

stesso valore indipendentemente da dove vengono posti. Viceversa, in un sistema posizionale i

simboli hanno valore relativo, cioè rappresentano un valore diverso a seconda della posizione che

444 4 4

occupano. Ad esempio, nel numero , la stessa cifra ha tre significati diversi: (da destra)

4 4

unità, decine e centinaia. Questo consente al sistema posizionale di poter usare pochi simboli

per rappresentare numeri qualsiasi. In un sistema additivo, che si basa sulla giustapposizione dei

simboli (il cui valore viene sommato) non serve introdurre un segno come lo zero. In un sistema

posizionale occorre evidenziare l’assenza di certi ordini di grandezza attraverso un apposito

segno, lo zero. Per esempio avendo trenta bastoncini e cominciando a raggrupparli in gruppi di

dieci (la base) si otterranno 3 gruppi di bastoncini e non avanzerà alcuna unità, ovvero nella

rappresentazione del numero occorre indicare che vi sono 0 unità.

Quali sono le differenze tra rappresentazioni additive e rappresentazioni posizionali?

Rappresentazione additiva Rappresentazione posizionale

La notazione puramente additiva presenta lo Nella notazione posizionale basta un piccolo

svantaggio di richiedere sempre nuovi simboli a insieme di simboli per rappresentare qualsiasi

mano a mano che i numeri diventano più grandi. numero.

Gli algoritmi di calcolo, in presenza di grandi numeri Gli algoritmi di calcolo sfruttano la posizionalità

non sono molto efficienti. della rappresentazione tramite l’incolonnamento

delle cifre che rappresentano lo stesso ordine di

grandezza. Gli algoritmi di calcolo sono più

efficienti. 15

La numerazione babilonese

I Babilonesi vivevano in Mesopotamia, una fertile pianura tra i fiumi Tigri ed Eufrate. La regione

aveva visto già fiorire la civiltà dei Sumeri attorno al 3500 a.C. Si trattava di una civiltà molto

avanzata, che aveva costruito città, sistemi di irrigazione per sviluppare l’agricoltura, un

complesso sistema legale e amministrativo e persino un servizio postale. Attorno al 2300 a.C. gli

Accadi invasero la regione e per un certo periodo la civiltà evoluta dei Sumeri dovette mescolarsi

con quella più rozza degli Accadi. Gli Accadi inventarono le tavolette di conto e svilupparono

un’aritmetica primitiva. I Sumeri finirono per ribellarsi agli Accadi e dal 2100 a.C, ripresero il

controllo della regione. I Babilonesi sconfissero i Sumeri attorno al 1900 a.C. e invasero il territorio

stabilendo come capitale Babilonia.

La numerazione babilonese è additiva, posizionale e a due basi. Essa ha solo due simboli. Il

60

sistema di numerazione babilonese è a base sessagesimale, cioè a base . Ad oggi, nella

60

numerazione del tempo e degli angoli, ad esempio, usiamo la base .

La tavoletta Plimpton 322 è un esempio di incisione di numeri babilonesi.

I numeri cuneiformi erano scritti usando una combinazione di due soli simboli: l’impronta verticale

10

di un cuneo per 1 e quella orizzontale per . I numeri da 1 a 59 sono scritti secondo un

principio additivo: 0

Agli inizi non esisteva un simbolo che indicasse lo e, se i babilonesi sapevano riconoscere se

1 60

era oppure , noi abbiamo molta difficoltà. Viene poi introdotto un simbolo per indicare la

posizione vuota che è .

61

Per scrivere abbiamo: ;

Per scrivere una notazione babilonese con la notazione polinomiale, è necessario ricordarsi che la

60

base è . 1 0

61 1 × 60 + 1 × 60 = 60 + 1 = 61

Il numero si scriverebbe con la notazione scientifica .

35; 22; 12

Vediamo un altro esempio: il numero babilonese significherà

2 1 0

35 × 60 + 22 × 60 + 12 × 60 = 126000 + 1320 + 12 = 127332

.

Il seguente numero babilonese, quale numero arabo rappresenta?

In questa immagine sono state volutamente isolate 4 posizioni. L’ultima a destra contiene 4 cunei

40

orizzontali, e rappresenta unità. 16

La penultima a destra rappresenta il numero 46 e non sono unità ma sessantine, perché la base di

questo sistema di numerazione è sessagesimale. Se consideriamo solo le ultime due posizioni, il

46 × 60 + 40

numero rappresentato diventa allora .

La terzultima posizione rappresenta il numero 57 e sono sessantine di sessantine (così come in un

sistema decimale abbiamo in terzultima posizione le decine di decine, ovvero le centinaia). Se

consideriamo solo le ultime due posizioni, il numero rappresentato diventa allora

2

57 × 60 + 46 × 60 + 40

.

Infine, la prima cifra a sinistra rappresenta un’unità, ovvero sessantine di sessantine di sessantine.

Alla fine dunque il numero che abbiamo scritto in cuneiforme possiamo rappresentarlo in questo

1; 57; 46; 40

modo: e in notazione polinomiale diventa:

3 2

1 × 60 + 57 × 60 + 46 × 60 + 40 = 424000 .

Come trasformare un numero arabo in un numero babilonese?

100 100

Prendiamo il numero e scriviamolo con i simboli babilonesi. In ci sta una sessantina e

100 − 60 = 40

quindi se calcoliamo . Quindi possiamo scrivere: ;

347

Prendiamo il . In questo numero ci stanno 5 sessantine e quindi

1 0

60 × 5 + 47 = 5 × 60 + 47 × 60 . ;

Quindi scriviamo in numeri babilonesi:

Per ricapitolare, il sistema di numerazione babilonese è molto complesso perché:

1. usa solo due simboli;

2. è contemporaneamente additivo e posizionale nel senso che dentro ogni posizione la

rappresentazione additiva;

60

3. è a base sessagesimale ( ) ma anche decimale (all’interno di ogni posizione). 17

Leonardo Pisano e l’aritmetica medievale

Il sistema di numerazione romano sopravvive nell’Occidente latino. Quando l’Europa si risveglia

dal sonno commerciale attorno alla metà del 1100 d.C., diventa una terra di commercio marittimo.

Nasce quindi l’esigenza di una matematica diversa, in cui il calcolo doveva essere più rapido e la

numerazione più efficace.

Pisa è repubblica marinara del XIII secolo. La matematica araba è estremamente più sofisticata di

quella dell’Occidente latino. Ci furono stati tentativi di introdurre la matematica araba anche in

precedenza ma andranno a vuoto.

Leonardo Pisano, detto anche Fibonacci, è stata una figura importante perché ha scritto un

volume che veicola il sistema di numerazione indo-arabico nell’Occidente latino e gli algoritmi di

calcolo relativi. Di Fibonacci non si conosce molto e ci dobbiamo basare in larga parte di quello

che racconta nei suoi libri di sé stesso. La sua data di nascita non è conosciuta ed è stata oggetto

Liber

di varie congetture. Oggi si tende a situarla poco dopo il 1170. Nel 1202 Fibonacci scrisse il

Abaci, dove l’abaco non è la tavola di calcolo romano ma il calcolo in generale. Nel 1220 sarà a

Pisa dove avrà un incontro con l’imperatore Federico II: il risultato del contatto con questo

Liber Abaci,

ambiente sarà una nuova edizione del 1228 del del quale è ben noto l’incipit.

Nell’incipit Fibonacci racconta che suo padre voleva che per alcuni giorni andasse a studiare i

calcoli. A Fibonacci piacque tanto quella scienza e la cominciò a studiare. Nel 1241 il comune

attribuisce a Fibonacci una pensione. Dopo non si hanno più notizie di Fibonacci.

Liber Abaci

Il verrà pubblicato a stampa nel 1800 ma prima era scritto a mano perché non c’era il

sistema a stampa. In esso sono contenuti argomenti quali le cifre indo-arabiche e la notazione

posizionale, gli algoritmi di calcolo delle operazione elementari e l’algebra delle equazioni di primo

Liber Abaci

e di secondo grado. Il è scritto in latino e si divide in 15 capitoli. Il fatto di essere

scritto in latino è un problema perché i mercanti di quel tempo non lo conoscevano e quindi ci

Liber Abaci

vorrà la traduzione in volgare per una diffusione del libro. Il è stato scritto in latino

perché era quello il pubblico di Fibonacci.

Fibonacci è ricordato per il problema dei conigli che consiste nel come si popola un orto di conigli

supponendo che i conigli si riproducano con una certa regolarità. La successione di Fibonacci in

natura è molto presente e secondo essa si contavano vari problemi naturali. La successione

consiste nel sommare gli ultimi due numeri e avremo quindi la successione:

1,1

2 1 + 1 = 2

perché

3 2 + 1 = 3

perché

5 3 + 2 = 5

perché

8 5 + 3 = 8

perché

13 8 + 5 = 13

perché

21 13 + 8 = 21

perché

e così via.

La successione è anche detta “successione di Fibonacci”.

1,2,3,4,5,6,7,8,9 0

Fibonacci elenca le cifre degli Indi e chiama il segno “sifr”. Da questa parola

discendono due parole: “cifra” e “zefiro”. “Zefiro” è anche detto “zero”. Fibonacci sottolinea che

con questo sistema di numerazione si scrive qualunque numero, a differenza dei numeri romani

3999

che si fermano a . La diffusione dell’opera di Fibonacci sarà lenta ma importante. Passerà

almeno un secolo e mezzo affinché il sistema indo-arabico sia veramente diffuso.

L’opera è però troppo ponderosa perché quando sarà stampato il volume aveva più di 800

pagine. I centri di diffusione di questa nuova dottrina saranno delle scuole, o anche dette

botteghe d’abaco. Le scuole d’abaco sono delle istituzioni scolastiche che nascono a Firenze. In

queste scuole si imparano i mestieri osservando i maestri. Le scuole d’abaco si sviluppano poi in

tutte le regioni in cui c’è un’attività commerciale piuttosto fiorente. Un documento del 1283

certifica l’esistenza di una bottega d’abaco, ma probabilmente ne sono esistite altre molto prima.

Per l’epoca c’erano molti maestri e molte botteghe d’abaco. Nelle scuole si insegnava ai bambini<