Appunti di didattica, epistemologia e storia della matematica (Parte 1), prof.ssa Veronica Gavagna

Indice

Parte 1

• La numerazione egizia, la somma egizia e la sottrazione egizia ……………………………………… 2
• La moltiplicazione egizia ………………………………………………………………………………… 4
• La divisione egizia senza resto, differenza tra multiplo e potenza …………………………………… 7
• La divisione egizia con resto ……………………………………………………………………………… 8
• Le frazioni unitarie ………………………………………………………………………………………… 11
• L’algoritmo del goloso e scomposizione in frazioni egizie …………………………………………… 12
• La divisione egizia con le frazioni ………………………………………………………………………. 13
• La numerazione romana ……………………………………………………………………………………. 14
• La numerazione babilonese ……………………………………………………………………………… 16
• Leonardo Pisano e l’aritmetica medievale ………………………………………………………………….. 18
• La moltiplicazione per gelosia …………………………………………………………………. 19
• La moltiplicazione per crocetta (o fulminea) …………………………………………………………. 21
• La moltiplicazione cinese ………………………………………………………………………………. 23
• La moltiplicazione con le dita …………………………………………………………………………… 25
• La moltiplicazione con i bastoncini di Nepero ………………………………………………………… 26
• La moltiplicazione con i bastoncini di Genaille-Lucas ……………………………………………….. 26
• La divisione con i bastoncini di Nepero ……………………………………………………………….. 28
• La divisione con i bastoncini di Genaille-Lucas ………………………………………………………. 29
• Analisi dei principali quadri teorici e costrutti per l’apprendimento della matematica: il comportamentismo e il costruttivismo …………………………………………………………………. 31

Parte 2

• Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij …………………………………………………………………………………………………… 35
• I problemi ………………………………………………………………………………………………….. 37
• La dimensione narrativa di un problema ………………………………………………………………. 39
• Problemi con variazione dalla pratica matematica cinese …………………………………………… 40
• Contare …………………………………………………………………………………………………….. 42
• Il modello dei coniugi di van Hiele ……………………………………………………………………… 43
• Le frazioni …………………………………………………………………………………………………. 45
• Geometria e didattica ……………………………………………………………………………………. 47
• Le tassellazioni ……………………………………………………………………………………………. 48
• I poliedri regolari ……………………………………………………………………………………………….. 51
• Il rapporto tra geometria solida e geometria piana attraverso le sezioni dei solidi ……………….. 57
• Esercizi svolti ……………………………………………………………………………………………… 611

Oggi usiamo il sistema decimale posizionale

Oggi usiamo il sistema decimale posizionale a cifre indo-arabiche. Con questo sistema si svolgono le operazioni elementari, cioè la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Esistono però altri “modi” per fare operazioni, in particolare per quanto riguarda la moltiplicazione. Gli scopi sono due:

• Capire che la matematica cambia nel tempo: la matematica è l’espressione della cultura di un popolo e cambia in risposta a delle esigenze che sono diverse a seconda delle esigenze
• Capire che gli algoritmi di calcolo dipendono da efficienze diverse e la loro efficacia dipende dal sistema di numerazione che usiamo

La matematica ha una lunga storia che nasce con il linguaggio. Quando si studia una civiltà del passato, si studia solitamente la storia politica, ma raramente si studia la storia scientifica, cioè che tipo di scienza e di matematica hanno espresso. La matematica non è statica ma cambia nel tempo in risposta alle esigenze culturali di una società. Capire la genesi della matematica può favorirne un migliore apprendimento.

Per studiare la storia della matematica, gli storici si basano sulle fonti primarie, quando esistono, e sulle fonti indirette, quando le fonti primarie non esistono. Le fonti possono essere i testi, come un frammento di papiro, o gli strumenti, come un compasso.

Studiare la numerazione e gli algoritmi di calcolo delle società antiche ha anche degli obiettivi più strettamente legati alla didattica della matematica: è così possibile far vedere che non c’è un unico modo per rappresentare i numeri.

Il problema di contare le quantità è legato ad una nostra predisposizione innata al conteggio, chiamata subitizing. La percezione di piccole quantità è legata anche ad un fattore di conservazione della specie. Se però vediamo insiemi più numerosi, abbiamo bisogno di contare le quantità che ci sono all’interno e attiviamo quindi delle tecniche per contare gli elementi. Il modo più naturale per contare è quello di usare il nostro corpo, ad esempio contando grazie all’aiuto delle dita. Prendendo in considerazione le dieci dita di due mani, esistono parecchie varianti del sistema digitale. Sono molti i modi per contare con le dita delle mani e ciò è possibile farlo presente e valorizzarlo in classi multiculturali. L’uso delle dita non può sopperire a tutte le necessità, ma è stato necessario trovare un modo di rappresentare i numeri.

La numerazione egizia

Il sistema di numerazione egizio è una numerazione geroglifica. Esso non è l’unico modo con il quale gli egizi scrivevano i numeri. Con Antico Egitto si intende la civiltà sviluppatasi in quella sottile striscia di terra fertile che si distende lungo le rive del Nilo a partire dalle sue cateratte (al confine col Sudan) fino allo sbocco nel Mediterraneo. Il periodo storico egiziano va dal 3300 a.C. fino al 31 a.C., quando ci fu la conquista romana.

Le fonti della matematica egizia comprendono pochi testi di contenuto matematico arrivati fino a noi, perché il supporto scrittorio era il papiro. Non sappiamo se i pochi testi superstiti fossero il vertice delle conoscenze egiziane o raccogliessero conoscenze ben condivise. I papiri matematici più importanti che conosciamo oggi sono quello di Rhind e quello di Mosca. Il papiro di Rhind è stato scritto durante il Secondo Periodo Intermedio dallo scriba Ahmose. Esso era una raccolta di esercizi a carattere commerciale. Il papiro di Mosca è stato acquistato da Golenischev nel 1893 ed era scritto in ieratico con inchiostro nero. Tutti i testi giunti in nostro possesso sono manuali per studenti. Più precisamente sono raccolte di esercizi.

Le numerazioni egizie prendono in prestito alcuni simboli della vita quotidiana.

• L’1 è un pezzettino di bambù.
• Il 10 è una corda piegata.
• Il 100 è una corda arrotolata.
• Il 1.000 è un fior di loto.
• Il 10.000 è un dito.
• Il 100.000 è un girino.
• 1.000.000 è uno scriba.

Questo è un sistema additivo che consiste nell’affiancare dei simboli e sommare il loro valore. In un sistema additivo, l’ordine dei simboli è irrilevante. Nel nostro sistema che è posizionale, invece, l’ordine dei simboli non è irrilevante. Nel sistema additivo l’ordine è assoluto, mentre nel sistema posizionale l’ordine è relativo.

Il sistema egizio è un sistema additivo decimale. L’unica cosa che abbiamo in comune con il sistema egizio è il sistema decimale dato che le unità di misura cambiano di dieci in dieci. Col sistema egizio, manca l’ordine di grandezza e per questo è difficile scrivere un numero troppo grande perché non c’è un simbolo oltre il milione. Non serve un simbolo che esprime lo zero perché nel sistema additivo è già presente, mentre nel nostro posizionale serve perché non c’è. Il simbolo zero non è un simbolo che va bene per qualsiasi tipo di numerazione ma è legato alla sistemalità.

Vediamo alcuni esempi di addizione:

Per le sottrazioni cancelliamo le cifre uguali nel primo e nel secondo numero. Anche qui l’ordine è irrilevante.

∩∩∩∣∣ ∩∩∣ meno ∩∩∩∣∣ ∩∩∣ meno ∩ ∣ otteniamo

Vediamo un altro esempio: risultato

Moltiplicazione egizia

Per le moltiplicazioni non serve sapere le tabelline, è particolarmente adatto ad un sistema additivo e si basa su uno schema diverso. Prendiamo la moltiplicazione e risolviamola come se fossimo in una classe primaria:

27 × 13 = 81 27 × 3 ➙ 27 27 × 10 ➙ 351

Scriviamo questa operazione in linea. 27 × 13 = 27 × (10 + 3) 13

In questo modo abbiamo usato la proprietà associativa, cioè la possibilità di scrivere come 10 + 3 somma di. Poi scriviamo 3 27 × 10 + 27 × 3 usando la proprietà distributiva. Eseguiamo quindi i prodotti parziali: 270 + 81 = 351

Tutti questi passaggi vengono riassunti nella prima moltiplicazione. I principi base su cui si basa la moltiplicazione sono quindi la proprietà associativa e distributiva.

Esempio 1: 27 × 13

Proviamo a scrivere la moltiplicazione con i simboli egizi. 27 × 13 ∩∩∣∣∣∣∣∣∣×∩∣∣∣

Dividiamo il foglio in due parti. Nella prima parte mettiamo i simboli in successione: si comincia dalle unità e si raddoppia successivamente. La prima colonna è fissa e comprende le potenze del 2:

• 0² = 1 ∣ ∩∣∣∣ 13
• 1² = 2 ∣∣ ∩∩∣∣∣∣∣∣ 13 × 2 = 26
• 2² = 4 ∣∣∣∣ ∩∩∩∩∩∣∣ 26 × 2 = 52
• 3² = 8 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 52 × 2 = 104
• 4² = 16 ∩∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 104 × 2 = 208

Mi fermo a scrivere le potenze del 2 quando il raddoppio successivo supera il moltiplicando. In questo caso, mi fermo a 4² = 16 perché 2² = 32 supera il 27. In generale, si dice che ci si ferma quando il raddoppio successivo nella prima colonna supera il fattore che non ho ancora utilizzato.

Vediamo se è possibile scrivere il moltiplicando come somma di termini che compaiono nella colonna di sinistra. Scriviamo 27 come somma di termini che compaiono nella colonna di sinistra.

27 = 16 + 8 + 2 + 1

Per vedere se ciò è possibile applichiamo la tecnica dello “svuotamento”. La strategia è togliere via via il numero più grande che possiamo togliere.

Andiamo ora ad evidenziare i numeri che abbiamo preso:

• 0² = 1 ∣ ∩∣∣∣ 13
• 1² = 2 ∣∣ ∩∩∣∣∣∣∣∣ 13 × 2 = 26
• 2² = 4 ∣∣∣∣ ∩∩∩∩∩∣∣ 26 × 2 = 52
• 3² = 8 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 52 × 2 = 104
• 4² = 16 ∩∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 104 × 2 = 208

Andiamo nella colonna di destra e vediamo a cosa corrispondono questi termini:

• 0² = 1 ∣ ∩∣∣∣ 13
• 1² = 2 ∣∣ ∩∩∣∣∣∣∣∣ 13 × 2 = 26
• 2² = 4 ∣∣∣∣ ∩∩∩∩∩∣∣ 26 × 2 = 52
• 3² = 8 ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 52 × 2 = 104
• 4² = 16 ∩∣∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 104 × 2 = 208

13 + 26 + 104 + 208 = 351

In corrispondenza del numero 27 × 13

Riprendiamo 27. Il 27 è stato scritto come somma di alcuni addendi poiché lavoriamo con un sistema decimale. Vediamo cosa abbiamo scritto quando abbiamo fatto il calcolo con il sistema egizio:

27 × 13 = (16 + 8 + 2 + 1) × 13

È stata quindi usata la proprietà associativa, poi

= 16 × 13 + 8 × 13 + 2 × 13 + 1 × 13 = 4

È stata quindi usata la proprietà distributiva, poi

= 13 + 26 + 104 + 208 = 351

Con questo tipo di operazione stiamo cercando di scrivere il prodotto come multiplo secondo le potenze di 2 del numero 13. Scriviamo quindi una serie di multipli di 13 secondo delle potenze di 2. Per questo, dato che dobbiamo scrivere questi multipli in modo da arrivare a 27, andare oltre la metà di 27 non avrebbe senso.

È possibile scrivere un numero qualsiasi come somma di potenze di 2 perché questa è la logica del sistema binario. Quando si usa un sistema decimale, si scrivono come somma di multipli delle potenze di 10, ad esempio 3³ 7² 5¹ 2⁰. Noi scriviamo in base 10 perché abbiamo 10 dita per ogni mano. La base di un sistema di numerazione può essere scelto in modo arbitrario. Il numero 27 è possibile scriverlo come 4³ 2⁰ 1⁰ 1² 1¹ 27. Scriviamo il 27 prima in base 10 e dopo in base 2: (27)₁₀ = (11011)₂.

Il vantaggio di usare la base 2 è che non ci sono multipli. Il sistema di numerazione egizio è un sistema additivo, mentre il nostro no. Nel sistema additivo, il raddoppio è un’operazione facile perché basta duplicare un simbolo per avere il doppio. Un sistema di numerazione additivo, per avere un algoritmo di numerazione efficiente, dovrà basarsi sul raddoppio.