Appunti di didattica, epistemologia e storia della matematica (Parte 2), prof.ssa Veronica Gavagna

P

all’interno del poligono, allora possiamo congiungere il punto con i vertici del poligono. 48

∘

180

Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è . Cosa succede se si sommano

tutti gli angoli interni dei triangoli nei quali il poligono è stato scomposto? Ricordiamoci che

vogliamo calcolare la somma degli angoli interni del poligono. Se il poligono è regolare, per

definizione tutti gli angoli interni sono uguali e, se otteniamo la somma, possiamo dividere per il

numero degli angoli e trovare l’ampiezza dell’angolo. Se si sommano tutti gli angoli interni dei

triangoli, otteniamo la somma degli angoli verdi, ma otteniamo anche l’angolo rosso, che è un

∘ ∘

360 180 n

angolo giro di . La somma degli angoli interni si ottiene moltiplicando per in numero

7

dei lati (che in questo caso è ) e togliere sempre un angolo giro (indifferentemente dal numero dei

lati). ∘ ∘ ∘ ∘ ∘

180 × n − 360 = 180 × n − 180 × 2 = 180 (n − 2)

Quindi .

n − 2 n − 3

Perché per e non per ? 360

Perché bisogna sottrarre alla somma degli angoli interni dei triangoli l’angolo giro di che è

180 × 2 180 × 3

uguale a e non a .

Ma questo non è l’unico modo per costruire la formula. ∘

180

Sappiamo che, avendo un triangolo qualsiasi (3 lati), la somma degli angoli interni è .

Prendiamo un quadrilatero (4 lati) e aumentiamo quindi di un lato. Invece di prendere un punto

interno, possiamo dividerlo in due triangoli. La somma degli angoli interni di un quadrilatero è la

180 × 2

somma degli angoli interni dei due triangoli, quindi .

Prendiamo un pentagono (5 lati). In quanti triangoli posso dividere il pentagono non regolare

senza prendere un punto interno ma lavorando sulle diagonali? All’interno del pentagoni ci sono 3

180 × 3

triangoli e quindi .

Prendiamo un esagono (6 lati) e tiriamo le diagonali per formare 4 triangoli. La somma degli angoli

180 × 4

interni sarà quindi .

Aggiungendo un altro lato, abbiamo 5 triangoli. Possiamo quindi dedurre una certa regolarità?

Sì, perché se vogliamo congiungere un vertice con gli altri per fare dei triangoli, congiungiamo il

n − 2

vertice con triangoli. n n − 2

La somma degli angoli interni di un poligono di lati si calcola come , che sono i lati con i

(n − 2) × 180

quali ho diviso il poligono, moltiplicato per 180 e quindi .

n − 2 n − 3 n − 2

Perché per e non per ? Perché è il numero dei triangoli con i quali posso

dividere un poligono.

Le formule si costruiscono, ovvero c’è una ragione per cui si usa una formula e non un’altra. Il

significato non è sempre lo stesso, ma dipende dall’argomento in cui si inserisce la spiegazione.

n − 2 n − 3

Ciò si capisce dal fatto che le domande “perché per e non per ?” sono uguali nel

primo e nel secondo caso, ma le spiegazioni sono differenti.

È possibile tassellare un piano con un solo triangolo qualsiasi, cioè con un triangolo che non sia

equilatero? ∘

180 P

Bisogna sapere che la somma di un angoli interni è . Prendiamo un punto e disponiamo il

P P

triangolo attorno a in modo che una volta finisca in l’angolo alfa, uno l’angolo beta e uno

∘

180

l’angolo gamma. In quel modo riempiamo solo e quindi facciamo lo stesso per l’altro lato.

P

Disponendo attorno a triangoli in modo che si alternino in questo modo gli angoli, possiamo

tassellare il piano. 49

∘

α + β + γ = 180

È possibile tassellare un piano con un solo quadrilatero? ∘

360

Con un quadrilatero qualsiasi, sappiamo che la somma degli angoli interni è . Disponiamo le

mattonelle a forma di quadrilatero attorno al punto P. In questo modo completiamo tutto il

∘

360

pavimento attorno al punto perché la somma è .

∘

α + β + γ + δ = 360

Se usiamo più di un poligono regolare, possiamo usare:

- esagono regolare + triangolo equilatero;

- quadrato + triangolo equilatero;

- esagono + triangolo equilatero + quadrato.

Ad esempio, avendo un ottagono, trovare l’ampiezza dell’angolo e vedere con quali altre figure si

∘

360

può combinare in modo tale da ottenere .

Per un certo periodo di tempo, si è pensato che l’approccio migliore per lo studio della geometria

fosse il fusionismo, cioè quello che partiva dalla geometria solida per poi passare alla geometria

piana. Questo approccio ha una ragione anche sensata perché siamo circondati dalle figure solide

e non esistono le figure piane. La plausibilità dell’approccio si è scontrata con un fallimento

dell’apprendimento: non c’erano risultati positivi con questo approccio, riprendendo la

successione prima geometria piana e poi geometria solida.

I poliedri e i solidi di rotazione.

I solidi di rotazione sono dei solidi che sono generati dalla rotazione di figure piane. 50

Immaginiamo infatti di prendere un triangolo. Se lo facciamo ruotare avendo come

perno il lato AD, abbiamo costruito un cilindro. Il cilindro, per definizione, è un solido

che si ottiene facendo ruotare un triangolo attorno a uno dei suoi lati. Questo è un

esempio di definizione genetica perché spiega come si costruisce questo oggetto.

Anche il triangolo rettangolo, se ruotato attorno ad uno dei cateti, si ottiene un cono. La

definizione genetica (o classica) di cono è “solido che si ottiene dalla rotazione di un triangolo

rettangolo attorno a uno dei suoi cateti”.

Immaginiamo ora di avere un piano e di disegnarci una circonferenza. Usciamo dal piano e

prendiamo un punto fuori dal piano. Da questo punto facciamo partire una retta che tocca il bordo

della circonferenza e facciamo descrivere alla retta un percorso che segue la circonferenza.

Abbiamo quindi un cono non rettangolo, che però non viene usato nella scuola primaria.

Altro solido di rotazione è la sfera, che si ottiene facendo ruotare una semicirconferenza.

A differenza dei solidi di rotazione, invece, nei poliedri ci sono invece degli angoli solidi. I poliedri

sono i cubi, i parallelepipedi, i prismi, le piramidi e così via. Sono quindi tutti quelli che hanno degli

“spigoli”. Nel gergo comune, lo “spigolo” è una cosa appuntita contro la quale uno si fa male se ci

si sbatte. In matematica, lo “spigolo” è il lato di un poligono regolare. I punti dove gli spigoli

concorrono si chiamano “vertici”. Le figure piane che costituiscono la parte esterna del poligono

si chiamano “facce”.

I poliedri regolari, o anche detti solidi platonici, sottostanno a delle regole particolari. Un poliedro

è detto regolare se soddisfa tutte le seguenti condizioni:

1. le facce sono tutti poligoni regolari;

2. le facce sono tutti congruenti tra di loro (o tutti quadrati, o tutti triangoli…);

3. in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce.

I poliedri regolari

I poliedri regolari sono solo 5 e sono:

1. il tetraedro, che ha 4 facce triangolari;

2. il cubo (o esaedro), che ha 6 facce quadrate;

3. l’ottaedro, che ha 8 facce triangolari;

4. il dodecaedro, che ha 12 facce pentagonali;

5. l’icosaedro, che ha 20 facce triangolari.

Pensiamo di avere delle facce e di costruire con esse dei solidi. Per costruire un angolo solido,

abbiamo bisogno almeno di tre facce.

Cominciamo a considerare un triangolo equilateri. Quanti e che tipi di angoli solidi possiamo

P

costruire con un triangolo equilatero? Disponiamo attorno ad un punto tre triangoli equilateri.

∘ ∘

180 60

L’angolo formato è di poiché abbiamo messo insieme 3 angoli di . Con tre triangoli

equilateri possiamo costruire un angolo solido. Aggiungendo un altro triangolo, chiudiamo il

solido. Con tre angoli equilateri costruiamo il tetraedro.

P

Se, attorno al punto , mettiamo 4 facce triangolari, cosa succede? Abbiamo messo insieme 4

∘ ∘

60 240

angoli di e quindi abbiamo .

Possiamo costruire un ottaedro, che ha 8 facce. 51

P

Se, attorno al punto , mettiamo 5 facce triangolari, cosa succede? Abbiamo messo insieme 5

∘ ∘

60 300

angoli di e quindi abbiamo .

Possiamo costruire un icosaedro, che ha 20 facce. ∘

360

Non possiamo però andare oltre le 6 facce perché 6 facce riempirebbero tutto il piano . È

necessario che attorno al punto rimanga uno spigolo libero per poter alzare e chiudere il solido.

La regola è quindi che la somma degli angoli piani disposti attorno ad un vertice deve essere

∘

360

inferiore a .

Consideriamo adesso un quadrato. Abbiamo bisogno di almeno 3 facce, quindi disponiamo

attorno al punto almeno 3 quadrati. ∘ ∘

90 270

Abbiamo messo insieme 3 angoli di e quindi abbiamo .

Il cubo è l’unico solido regolare che possiamo costruire perché 4 facce riempirebbero tutto il

∘

360

piano . ∘

108

Consideriamo il pentagono. l’angolo interno del pentagono regolare è di . Se mettiamo

∘

P 324

attorno all’angolo 3 pentagoni regolari, abbiamo un angolo di .

Abbiamo quindi il dodecaedro, che ha 12 facce. ∘

360

Non andiamo oltre perché supereremmo, anche in questo caso, i .

L’esagono non può ci si può costruire un angolo solido perché un angolo dell’esagono misura

∘ ∘ ∘

120 120 360

e, mettendo insieme 3 angoli da , arriveremmo a . Oltre l’esagono, non è possibile

costruire nessun angolo solido.

Il fatto che i poligoni regolari siano solo 5 viene dimostrato da Euclide.

Per i poliedri c’è un vincolo che per i poligoni non esiste. Infatti in un vertice di un poliedro devono

convergere almeno 3 facce che non stanno sullo stesso piano; quindi la somma dei loro angoli

∘

360

deve essere inferiore a . Per scoprire l’origine di questo vincolo possiamo usare un’apposita

apparecchiatura: prendiamo una tavoletta di legno, fissiamo in tre punti non allineati gli estremi di

tre elastici. Leghiamo insieme agli altri tre estremi degli elastici, trovando in questo modo in punto

V V

. Sollevando si può realizzare una piramide con la base fissa e gli angoloidi variabili. Ora, man

mano che ci avviciniamo alla base, si può notare che l'angoloide aumenta così come la somma

V V

dei singoli angoli formati dagli spigoli che concorrono in . Quando sta sul piano di base

∘

360

accade che la somma degli angoli vale esattamente però non esiste più la piramide, non si

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può più parlare di figura solida ma di figura piana