Appunti di didattica, epistemologia e storia della matematica (Parte 2), prof.ssa Veronica Gavagna

Indice

Parte 1

• La numerazione egizia, la somma egizia e la sottrazione egizia ……………………………………… 2
• La moltiplicazione egizia ………………………………………………………………………………….. 4
• La divisione egizia senza resto, differenza tra multiplo e potenza …………………………………… 7
• La divisione egizia con resto ……………………………………………………………………………… 8
• Le frazioni unitarie ……………………………………………………………………………………….. 11
• L'algoritmo del goloso e scomposizione in frazioni egizie …………………………………………… 12
• La divisione egizia con le frazioni ………………………………………………………………………. 13
• La numerazione romana …………………………………………………………………………………. 14
• La numerazione babilonese …………………………………………………………………………….. 16
• Leonardo Pisano e l'aritmetica medievale …………………………………………………………….. 18
• La moltiplicazione per gelosia ………………………………………………………………………….. 19
• La moltiplicazione per crocetta (o fulminea) ………………………………………………………….. 21
• La moltiplicazione cinese ……………………………………………………………………………….. 23
• La moltiplicazione con le dita …………………………………………………………………………… 25
• La moltiplicazione con i bastoncini di Nepero ………………………………………………………… 26
• La moltiplicazione con i bastoncini di Genaille-Lucas ……………………………………………….. 26
• La divisione con i bastoncini di Nepero ……………………………………………………………….. 28
• La divisione con i bastoncini di Genaille-Lucas ………………………………………………………. 29
• Analisi dei principali quadri teorici e costrutti per l'apprendimento della matematica: il comportamentismo e il costruttivismo …………………………………………………………………. 31

Parte 2

• Mediazione semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni nella tradizione di Vygotskij …………………………………………………………………………………………………… 35
• I problemi ………………………………………………………………………………………………….. 37
• La dimensione narrativa di un problema ………………………………………………………………. 39
• Problemi con variazione dalla pratica matematica cinese …………………………………………… 40
• Contare …………………………………………………………………………………………………….. 42
• Il modello dei coniugi di van Hiele ……………………………………………………………………… 43
• Le frazioni …………………………………………………………………………………………………. 45
• Geometria e didattica ……………………………………………………………………………………. 47
• Le tassellazioni ……………………………………………………………………………………………. 48
• I poliedri regolari …………………………………………………………………………………………. 51
• Il rapporto tra geometria solida e geometria piana attraverso le sezioni dei solidi ……………….. 57
• Esercizi svolti ……………………………………………………………………………………………… 61

Mediazione semiotica nella didattica della matematica

Un artefatto è qualsiasi cosa che non è naturale o spontanea ma costruita. L’artefatto è anche il linguaggio: possono essere produzioni di suoni o un oggetto.

Per artefatti intendiamo strumenti concreti e non concreti: ad esempio gli strumenti informativi, gli strumenti musicali, gli strumenti scientifici, i gesti, i suoni, il linguaggio orale e i testi scritti e così via. Possiamo quindi dire che l’artefatto è un “oggetto” prodotto dagli esseri umani che media il sapere. Possiamo anche chiamarlo artefatto cognitivo. L’esempio più comune nella pratica scolastica sono i libri di testo, ma anche carta e penna, la lavagna….

Quasi qualsiasi artefatto può contenere in sé un potenziale matematico interessante. La competenza e la preparazione di un insegnante lo portano a vedere dei potenziali artefatti matematici dove altre persone possono non vederli. L’artefatto media il sapere. Il sapere che c’è dentro l’artefatto non è riconoscibile da tutti e non è riconoscibile da tutti allo stesso modo. Il rapporto tra artefatto e sapere non è oggettivo, ma dipende da chi si fa interprete di questo rapporto.

La teoria costruttivista sostiene la costruzione del sapere e gli artefatti hanno un valore di primo piano. Nel pensiero di Vygotskij è importante il concetto di zona di sviluppo prossimale, ovvero la distanza tra il livello reale di sviluppo del soggetto, determinato dalla capacità di risolvere da solo un problema e il livello di sviluppo potenziale determinato dalla capacità di risolvere il problema sotto la guida dell’adulto o in collaborazione con un suo coetaneo più capace.

Secondo questa definizione, attraverso la cooperazione si può modificare la zona di sviluppo prossimale e l’azione dell’insegnante deve esattamente agire nella zona di sviluppo prossimale. Il che significa che l’insegnante deve muoversi in un ambito che non sia eccessivamente facile, perché sennò la motivazione cade, ma nemmeno estremamente difficile, perché sennò l’obiettivo diventa irraggiungibile.

Nella zona di sviluppo prossimale lo sviluppo cognitivo è modellato dal processo di interiorizzazione, che è diretto da processi semiotici, che sono processi in cui i segni hanno un ruolo importante. Secondo Vygotskij, «l’invenzione e l’utilizzo dei segni come mezzi ausiliari per la risoluzione di un problema dato (ricordare, confrontare qualcosa, scegliere e così via), sono analoghe all’invenzione e all’utilizzo di strumenti sotto il profilo psicologico. I segni hanno funzione di strumento durante l’attività psicologica, analogamente al ruolo di un utensile nel lavoro si possono citare alcuni esempi di strumenti psicologici e dei loro complessi sistemi, come segue: il linguaggio, vari sistemi di conteggio, tecniche mnemoniche, sistemi simbolici algebrici, opere d’arte, scrittura, schemi, diagrammi, mappe, disegni meccanici e tutti i tipi di segni convenzionali». I segni devono essere interpretati dall’insegnante.

Nella teoria della mediazione semiotica

• Segni situati. Situati deriva da situazione e sono delle produzioni varie che nascono in concomitanza con l’uso di un artefatto secondo una data consegna. I segni situati hanno dentro di sé un potenziale matematico ma non sono ancora degli oggetti matematici. Un esempio è quando, per far capire la proprietà distributiva delle moltiplicazioni, gli insegnanti danno una rappresentazione geometrica delle tabelline attraverso dei rettangoli. Quando i bambini cominciano ad usare questo tipo di artefatto, chiamano i “rettangoli”, che esemplificano la moltiplicazione, come “mattonelle”. “Mattonelle” non è un termine matematico ma racchiude in sé il concetto di moltiplicazione e nasce dal contesto dove ci sono dei rettangoli che richiamano dei mattoni. “Mattonelle” richiama un concetto matematico pur non essendo un termine matematico. Sarà l’insegnante a scegliere, tra tutti i termini utilizzati in classe, i segni situati che diventeranno segni matematici. Questa è una pratica piuttosto comune perché i bambini spesso danno dei nomi fantasiosi riguardo un’attività concreta che stanno conducendo. L’artefatto sta al centro di due triangoli che hanno vari vertici e che sono collegati in vario modo.
• La parte superiore è dalla parte dell’allievo, mentre quella inferiore riguarda più da vicino l’insegnante. Il punto di partenza dell’insegnante è un sapere matematico che ha appreso. Il sapere matematico deve trasformarsi in segni matematici e deve diventare un oggetto matematico fruibile dagli allievi. Questa trasformazione avviene attraverso la mediazione dell’artefatto. La parte superiore è relativa all’allievo: all’allievo viene affidata una consegna che viene sviluppata tramite l’artefatto e produce dei segni (scritti, orali, disegni…). I segni sono situati, cioè legati al contesto. I segni situati hanno l’obiettivo di diventare segni matematici e qui è fondamentale la mediazione dell’insegnante che ha il compito di trasformare i segni situati in segni matematici.
• Un artefatto sarà chiamato strumenti di mediazione semiotica quando sarà usato intenzionalmente dall’insegnante per mediare un contenuto matematico attraverso un intervento didattico pianificato intenzionalmente. Ciò avviene attraverso il ciclo didattico.

Il ciclo didattico comincia con la consegna, o artefatto, che si trasforma in una produzione di testi individuale. I testi vengono negoziati tramite una discussione matematica, che è una particolare tecnica che viene usata nella classe per far emergere i segni situati e negoziarne il significato. L’insegnante non pone delle domande, ma cerca di guidare le risposte.

L’esempio concreto è la costruzione dei significati matematici tramite la situazione per gelosia e i bastoncini di Nepero. Questa attività è stata trasversale e ha coinvolto la matematica e la lingua. Si cerca non solo di vedere alcuni aspetti storici della matematica, ma addirittura della lingua italiana. Si vuole far capire che la matematica e la lingua si evolvono nel tempo e sono due espressioni di culture che cambiano nella storia. Gli artefatti usati in una classe V primaria erano un’antica pagina del 1556 scritta da Tartaglia, dove c’erano delle tecniche moltiplicative tra cui quella di moltiplicazione per gelosia, e i bastoncini di Nepero. Durante il primo incontro, arriva in classe una lettera: il mittente fittizio è un parente di Tartaglia, che dichiara di costudire una pagina che non riesce a decifrare e chiede ai bambini il loro aiuto. Assieme a questa lettera c’era una pagina con la descrizione del procedimento della moltiplicazione per gelosia. Lo scopo era far scoprire ai bambini la regola usata per ottenere il prodotto. Il primo compito assegnato è stato quello di interpretazione del significato del testo nella lettera, che non era per niente banale. Durante la traduzione, non è stata data alcuna spiegazione sul significato delle frasi ma solo sulle singole parole. Dopo la traduzione, gli studenti vengono divisi a coppie e devono cercare di capire cosa è il “rettangolo con i numeri”. Successivamente le coppie sono state invitate a produrre la spiegazione scritta su come funziona la griglia. Nell’ultima parte c’è stata una discussione matematica: sono state scelte le lettere più interessanti, fotocopiate, distribuite alla classe ed è stata condotta una discussione collettiva.

Altra sperimentazione è stata condotta sulla proprietà della moltiplicazione riguardo le espressioni aritmetiche. Una delle misconcezioni più comuni tra gli studenti è legata alla moltiplicazione come accrescimento e quindi il prodotto dev’essere necessariamente maggiore dei fattori. Se ne è data quindi una rappresentazione geometrica attraverso i rettangoli. In questa sperimentazione, l’idea è quella di puntare l’attenzione sulla proprietà distributiva. L’artefatto che rappresenta lo schema delle tabelline geometriche fino a 5 × 5 è:

Ogni rettangolo è identificato dalle sue dimensioni. Gli alunni incollano questo schema ad un cartoncino e li lasciamo manipolare liberamente. Ci si rende così conto che se si prende il rettangolo che ha dimensione 4 × 2 è uguale a quello che ha dimensione 2 × 4 e possono essere sovrapposti: sono solo posizionati diversamente. La sovrapponibilità è esattamente la proprietà commutativa. Se si prendono invece due rettangoli e li tagliamo e li sovrapponiamo, rappresenteremmo l’equivalenza delle moltiplicazioni:

• Dopo varie attività di semplice manipolazione, viene introdotta un’attività più mirata: come far emergere da queste mattonelle la proprietà distributiva. Rappresentiamo poi la proprietà commutativa.

I procedimenti da seguire sono:

• Colorare due caselle nella stessa riga;
• Scrivere in ciascuna di esse la moltiplicazione corrispondente;
• Ritagliare due pezzi di cartoncino con dimensioni uguali alle caselle colorate;
• Incollare i due pezzi di cartoncino lungo il lato di lunghezza comune;
• Cercare nella tavola una casella corrispondente al rettangolo così ottenuto;
• Colorare tale casella (se trovata) e scrivere in essa la moltiplicazione corrispondente.

Per lavorare invece sulla direzione inversa della trasformazione (a + c) × b = a × b + c × b, ogni studente riceve una lettera da Giovanni, un bambino immaginario, che spiega di dover calcolare 3 × 7 e di non riuscirci perché ricorda solo i prodotti con numeri minori di 5. Nell’analisi a priori abbiamo previsto che gli alunni avrebbero usato i segni prodotti nella prima consegna per scomporre 3 × 7 in due moltiplicazioni con fattori più piccoli, eventualmente usando la tavola per trovare quelli corretti. La scelta del prodotto è legata al fatto che non c'è un’unica scomposizione corretta ma le possibilità sono comunque poche (3 × 5 + 3 × 2 o 3 × 3 + 3 × 4).

• Segni Pivot;
• Segni matematici.

I problemi

Quando si parla di problema matematico...