Prova esame SOL

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Analisi Matematica II, Compito del 04.07.14

N.B. Quando trovi l'espressione "Scrivi: ..." : riporta solo il risultato.

1. Sia γ la curva del piano R² di equazioni parametriche φ(t) = (t² - 2t, t² - 4t) t ∈ [0,4]

• 1a) Stabilire se γ è regolare (motivare adeguatamente).
• 1b) Dopo aver verificato che i punti (-1, -3) e (0, -4) appartengono alla curva, scrivere il versore tangente a γ in tali punti.
• 1c) Tracciare uno schizzo indicativo di γ.

Sia ora Γ la curva unione della curva γ con il segmento di estremi (0, 0) e (8, 0) e D il sottoinsieme limitato di R² avente Γ come bordo:

• 1d) Calcolare l’area di D.
• 1e) Calcolare il lavoro compiuto da F(x,y)=(-y,x) per percorrere completamente Γ una sola volta in verso antiorario.

2. Si consideri il problema di Cauchy:

y' = ^ye2x/_{2 + e^2x} y(0) = k

• 2a) Studiare, al variare di k in R: esistenza e unicità di una soluzione per il problema dato precisandone il più ampio intervallo di definizione (motivare adeguatamente).
• 2b) Stabilire, senza determinare esplicitamente la soluzione, per quali valori di k la soluzione y(x) del problema dato ha in x₀=0 un punto di massimo relativo.
• 2c) Determinare l’eventuale soluzione del problema nel caso k=0.
• 2d) Determinare l’eventuale soluzione del problema nel caso k=1.

3. Sia

f(x, y) = x²y e^−(x+y)   (x, y) ∈ ℝ²

1. Studiare la regolarità di f in ℝ² (continuità, derivabilità e differenziabilità).
2. Studiare la limitatezza di f in ℝ².
3. Scrivi: ∇f(x, y) =
4. Scrivi: L'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto ( 1,0,f (1,0) ) è:

   z =

5. Determinare gli eventuali punti stazionari di f in ℝ².
6. Determinare i seguenti sottinsiemi di ℝ² e darne una rappresentazione grafica:

   P = { (x, y) ∈ ℝ² : f(x, y) > 0 }   S = { (x, y) ∈ ℝ² : f(x, y) = 0 }

7. Stabilire se esistono punti di max/min relativo per f in ℝ² e, in caso affermativo, determinarli.
8. Stabilire se la funzione f ammette massimo e minimo assoluti nell'insieme

   B = { (x, y) ∈ ℝ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }

   e, in caso affermativo, determinarli, precisando i punti in cui vengono assunti.

4. Data la serie di potenze:

∑_n=1^+∞ (−1)ⁿ nx²ⁿ⁻¹

1. Stabilire l’insieme di convergenza della serie.
2. Discuterne convergenza assoluta e uniforme.
3. Determinare la funzione somma della serie: ∑_n=0^+∞ (−1)ⁿ xⁿ
4. Determinare la funzione somma della serie: ∑_n=1^+∞ (−1)ⁿ x²ⁿ
5. Determinare la serie d/dx ∑_n=1^+∞ (−1)ⁿ x²ⁿ e la sua funzione somma
6. Dedurne la funzione somma della serie: ∑_n=1^+∞ (−1)ⁿ nx²ⁿ⁻¹

Pti di max/min rel.

_Rⁿ max/min si trovano tra i pti stazionari.

f(0, y) Sono pti di max/min rel.

y > 0 pti di minimo relativo

y < 0 pti di massimo relativo

y = 0 (0, 0) non è pti di max né di minimo relativo

f(2, 1) : 4e^-3

Si calcola Hessiana e si relaziona con det. H

H(2, 1) :

|^{e3 0}| > 0

|_{0 -4e^-3}|

(2, 1) pti di max relativo

D) 0 ≤ x ≤ 1

x ≤ y ≤ x e^-2

Nei pti interni non ci sono pti stazionari, quindi si trova

sul bordo.

I minimi assoluti sono a 0 (delle condizioni precedenti)

Δ scrivere che la f è stettamente monotona nella rotazione

ER ESERCIZIO

_n=1^∞ ∑ (-1)ⁿ n x^2n-1

p : 1

Raggio di conv.

√|an| : 1 Δ an m pari sono 0 (rachis massimo limite)

_h=0^∞ ∑ an xⁿ

lim_h→∞ √|an| : l → p : 1/e

an = (-1)ⁿ · n n disp

an = 0 n pari No limite!

Però questa serie può essere √2

Sü _n : -x + 2x³ -3x⁵ ... x ( -1 + 2x² -3x⁴ ...)

x² : y

∑_{(-1)ⁿ my} (Sul libro SERIE LACUNARI)