Prova Esame

1. φ(t) = (cos³t, sin³t) t ∈ [0,2π]

1. Non regolare in _{P0 = φ(0)}

φ ∈ C^∞ [0, 2π]

φ(0) = (1,0)

φ'(t) = (3 cos²(t)(-sin t), 3 sin² t cos t)

= 3 cos t sin t (-cos t, sin t)

φ'(0) = (0,0) ↤ non è regolare perché φ'(0) è uguale a 0

|φ'(t)| = 0

t = 0, π/2, π, 3/2 π

P₁ = φ(π/4)

r(t) = φ(π/4) + φ'(π/4) / |φ'(π/4)| (t - π/4)

φ(π/4) = (1/2√2, 1/2√2)

φ'(π/4) = 3 · 1/2 (1/√2, 1/√2) = 3/2 (1/√2, 1/√2)

|φ'(π/4)| = 3/2

• x = 1/2√2 - 3/2 · 1/√2 · 1/3/2 (t - π/4)
• y = 1/2√2 + 3/2 · 1/√2 · 1/3/2 (t - π/4)

[x + y = 1/√2]

y = -x + 1/√2

è rettificabile, unione di 4 curve regolari

\[ \int_{\beta}^{\alpha} | \varphi' (t) | dt \]

Ly = 4 \[ \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{ (\varphi'_{x} (t))^{2} + (\varphi'_{y} (t))^{2} } dt \] = 12 \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{3 | \cos t \sin t |}{\cos^{2}t} dt = 12 \]

\[ \left[ \frac{\sin^{2}t}{x} \right] _{0}^{\pi/2} = 6 \]

\[ x^{2/3} + y^{2/3} = 1 \]

eq. cartesiana della curva

\{

x = \cos^{3}t

y = \sin^{3}t

\}

\{

x^{1/3} = \cos t

y^{1/3} = \sin t

\}

\[ \iint_{D} | xy | dx dy = 4 \iint_{D_{1}} xy dx dy = \]

y^{2/3} = 1 - x^{2/3}

y^{2} = \left(1 - x^{2/3}\right)^{3}

\[ y = \sqrt{ \left(1 - x^{2/3}\right)^{3} } \quad \text{in} \, D_{1} \]

\[ = 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{(1-x^{2/3})^{3}}} xy dy dx = \frac{4}{2} \int_{0}^{1} x \left(1-x^{2/3}\right)^{3} dx = \]

\[ = 2 \int_{0}^{1} x \left(1 - 3x^{2/3} + 3x^{4/3} - x^{2}\right) dx = 2 \int_{0}^{1} x - 3x^{5/3} + 3x^{7/3} - x^{3} \]

\[ = 2 \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{3x^{8/3}}{8/3} + \frac{3x^{10/3}}{10/3} - \frac{x^{4}}{4} \right] _{0}^{1} = 1 - \frac{9}{4} + \frac{9}{5} - \frac{1}{2} = \frac{20 - 45 + 36 - 10}{20} \]

\[ = \frac{1}{20} \]

^∂z/∂x = ⁴y₃ ¹/_√2x-y

^∂z/∂y = ³√(2x-y)^{2 y₃ 1}/_2x-y

Non è derivabile in questi punti

z = √³y

f(x,y)>0 quando y>0

(0,0) è punto di sella

Weierstrass (insieme limitato e chiuso, f continua)

7 max e min - no nell’interno, ma nel bordo

(0,0) è il min

f|_x=1 = ^y3√(2-y)² _0⊂y⊂2

dove si annulla f’(y) trovi il max