Prova esame 2014

Soluzione Esame 09/01/2014

Esercizio 1

Sia D = { (x,y,z) ∈ ℜ³ | x² + y² + z² ≤ 4, x² + y² ≥ 1 }

e sia F(x,y,z) = (x, 0, 0) , (x,y,z) ∈ ℜ³

x² + y² + z² ≤ 4 rappresenta una sfera di centro l'origine e raggio r=2

x² + y² = 1 rappresenta una circonferenza sul piano xy

1)

V_D = V_sfere - V_cilindro

V_sfere = &frac43;πr³ = &frac43;π8

V_cilindro = 2 ∫∫dxdy∫dz = 2 ∫∫_Cerchio dxdy ∫_k dz = 2 ∫∫∫dzdxdy ⇒ passando in coordinate polari

= 2 ∫₀^2π ∫₀¹ ∫_√(1-r²)^√(4-r2) dz r dr dθ = 4 π ∫₀¹ &frac{(4-r²)^3/2}3/2 - &frac{(1-r²)^1/2}1/2 dr

= &frac43;π(8-3√3)

V_D = &frac43;π8 - &frac43;π(8-3√3) = 4π√3

1c)

∑_tot = S_sfera - 2 S_calotta + S_{lat. cilindro}

S_calotta = ∫₀^π/3 ∫₀¹ 1 − v² − u² du dv = ∫₀^π/3 dθ ∫₀¹ 1 − u² du

→ (x = u, y = v, z = 1 − u²)

→ z = 1 − u² − v²

→ S_calotta = 2π ∫_1/2¹ (1 − s²)^1/2 (1 − 1) = 4√3 (2 − √3)

S_sfera = 4π = 16π

S_cilindro = 4√3 → ∑ = 12π √3

1d)

Essendo D un solido regolare possiamo applicare il teorema della divergenza

∫∫∫_Σ <F v> dσ = ∫∫∫_D div F dx dy dz

F(x, y, z) = (F₁, F₂, F₃) → div F = &partial;F₁/&partial;x + &partial;F₂/&partial;y + &partial;F₃/&partial;z − 1

→ ∫∫∫_D 1 dx dy dz = V_D = 4√3

E 4

∑_m (x) =  ^xm/_{m · x^m}  m = 1, 2, ...

4_b)  F_m(0) = 0    F_m(x) =  ^xm/_{m · x^m+1} → 0    x < 1

(c)             |x^m|        1

              x ^m⊃ x ¹   x ^m x

E₂)  LA SERIE CONVERGE PER x = 0

  PER x ≠ 0 x^m ≈ xⁿ

 x^m

    CONVERGE PER x |x| ≤ 1

 ₀|x¹ CONVERGE PER x | x | ≤ 1

   SE x = 1  CONVERGE PER ∑(-1)^m

        ⊃ m = 1 CONVERGE PER  —1 ≤ x ≤ 1

4_u)

∑₀ x ^m  

  – x ^m  

^em_m        ∧