Progetto e Verifica di una Trave in Cemento Armato Precompresso

W

 

* max min 71459

W [cmc]

i

i 0

K max

Per cui l'incremento di modulo resistente che si deve ottenere disponendo il bulbo vale:

   

* 35632 [cmc]

W W W

i i i Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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PROGETTO E VERIFICA DI UNA TRAVE IN C.A.P. Gennaro Minutolo

B

1

y s

y *

s G

1 A

G 

A+ A

y i

y *

i 

A

G

2

Facendo le medesime considerazioni si ha che:   

*

A A A

  

*

W W W

i i i

* *

y ey

i s

ottenendo: 

Ay W

   i i

A  

   

d d d

    

   

2 2 2

 

y W A y W

i i i i

   

 

2 2 2

Tale relazione ci permette di ricavare per il nostro progetto, che:

A  551 [cmq]

Determinato l'incremento di area, fissando a priori d pari a 20 cm, posso dunque calcolare la

2

larghezza B dell'ala inferiore:

2  A

 = 27,55 [cm]

B 2 d 2 Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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Tabella riassuntiva dei dati della trave

H= 130,00 cm

B1= 35,00 cm

d1= 12,00 cm

S2= 10,00 cm

S3= 78,00 cm

S4= 10,00 cm

d2= 20,00 cm

B2= 35,00 cm

b= 15,00 cm

δ= 10,00 cm

 Calcolo delle distanze “y ”e “y ”

i s

Per determinare le distanze “y ” e “y ”, bisogna preventivamente calcolare i momenti statici della

i s

sezione riferendoci sezione di fig. sotto indicando con le distanze dal lembo inferiore, si ha:

z i

ELEMENTO i-esimo A(cm2) zi(cm) Sx-xi(cm3) Igi(cm4)

1 420,00 124,00 52080,00 1594788,78

2 100,00 114,67 11466,67 272934,79

3 1470,00 69,00 101430,00 1239043,51

4 100,00 23,33 2333,33 153775,89

5 700,00 10,00 7000,00 1950996,35

tot 2790,00 174310,00 5211539,32

La distanza y dal lembo inferiore viene calcolata mediante la relazione:

i  Sx

 

 0,62 [m]

y y



i i

A

e dunque possiamo ricavare anche il valore di y

s 

   0,68 [m]

y

y H y s

s i

 Calcolo dei moduli di resistenza “W ”e “W ”

i s

Il momento d’inerzia baricentrico totale vale : 4

5211539,32 cm

Pertanto utilizzando le seguenti relazioni si ottiene: Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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 I 



 3

77181 [cm ]

W

W s

s y s

 I 



 3

83415 [cm ]

W

W i

i y i  =

baricentro della sezione delle armature al lembo inferiore, noi abbiamo posto 10 cm quindi

l'eccentricità dello sforzo normale di precompressione in tale sezione vale:

e = 0,52 [m]

Analisi dei carichi ( sezione definitiva )

Si procede per tanto all’analisi dei carichi della sezione effettiva, tendendo conto che per il peso

proprio della trave si è considerato una sezione costante, quindi non si è tenuto conto della

variazione di sezione in prossimità degli appoggi:

γ

L [m] i [m] [kg/mc]

26 4.2 2.500

L’area 2

totale della sezione è di 2790 cm

G*1k= 6,98 kN/m

G2k= 10,50 kN/m

G*k= 17,48 kN/m

Qk= 4,20 kN/m

Combinazione di carico nuova sezione

frequente q(f)= 19,58 kN/m

quasi permanente q(q.p.)= 18,74 kN/m

rara q(rara)= 21,68 kN/m

S.L.U. q(slu)= 29,02 kN/m

Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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 Caratteristiche della sollecitazione

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Sullo schema di una trave appoggiata appoggiata, si calcola:

TIRO F°d= 6,98 kN/m M°min= 589 kNm

T°min= 91 kN

ESERCIZIO F∞d(rara)= 21,68 kN/m M∞max(rara)= 1832 kNm

T∞max(rara)= 281,78 kN

F∞d(q.p.)= 18,74 kN/m M∞max(q.p.)= 1583 kNm

T∞max(q.p.)= 243,56 kN

SLE

Determinazione dello sforzo di precompressione

Imponendo che in fase di esercizio siano annullate le tensioni di trazione al bordo inferiore si ha :

M 1

 max

N * 1 e

W 

i A W

i

si assume pertanto uno sforzo di precompressione pari a:

N = 2223 [kN]

Ipotizzando che le cadute di tensione inizialmente valgono il 23% dello sforzo di precompressione

iniziale si ottiene un coefficiente :  = 1,25

dunque lo sforzo normale di precompressione N° vale :

N° = 2779 [kN]

Verifiche

La sezione precompressa è ora totalmente definita nella sua geometria ed è noto anche lo sforzo di

pretensione N, possiamo quindi verificare le quattro condizioni di resistenza espresse dalle:

Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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N N e M

    

0 0

0 0 min K

Tiro s min

A W W

s s

N N e M

    

0 0

0 0 min K

i max

A W W

i i

M

N Ne

    

1 1

max K

Esercizio s max

A W W

s s

M

N Ne

    

1 1

max K

i min

A W W

i i

TIRO σ°s= -1,30 N/mm2

σ°i= 20,38 N/mm2

ESERCIZIO σ∞s= 16,58 N/mm2

σ∞i= 0,00 N/mm2

Pertanto le relazioni risultano tutte verificate

Scelta dei cavi.

L’area di ferro necessaria è pari a: N

 0

A f 0

,

85 f p (

1

) k

A 1967 [mmq]

f

Essendo: caratteristica all’1% di deformazione dell’acciaio sotto carico;

= la tensione

f p (

1

) k Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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f 1570 [N/mmq]

p (

1

) k

Si sceglie di utilizzare i cavi morandi M5/12 , dal quale risulta che si possono impiegare due cavi :

A 11,15

cavo singolo [cmq]

f A 22,30

utilizzando due cavi si ha [cmq]

f

La tensione di tiro, tenendo conto delle cadute di tensione per attrito che si ipotizzano pari al 23%

vale:  N

  = 1326,31 [N/mmq]

fi A f   2

1413 N / mm

e risulta inferiore a spi

Tracciato dei cavi. δ

Nella sezione di mezzeria i due cavi sono disposti alla stessa quota e di loro baricentri dista =10

cm dal lembo inferiore della sezione. A partire da tale sezione i loro tracciati hanno andamento

parabolico e sono ancorati in testata in modo tale che il loro baricentro coincida con quella della

sezione d'appoggio e risulti di conseguenza nulla l'eccentricità dello sforzo di precompressione. Di

seguito si contraddistingue col numero 1 il cavo che in testa viene ancorato superiormente e con il

numero 2 l'altro cavo. Il baricentro della sezione di appoggio, che è rettangolare e di dimensioni

130x70 dista dal lembo inferiore di: y 65 [cm]

g

Indicando con le distanze dei baricentri dei singoli cavi dal lembo inferiore della trave risulta:

y i

Y1= 85,00 cm

A(cavo1)= 11,15 cm2 Y1xA(cavo1)= 947,75

Y2= 45,00 cm

A(cavo2)= 11,15 cm2 Y2xA(cavo2)= 501,75

tot 1449,50

Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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La posizione del baricentro dei cavi vale:

y 65 [cm]

g

Considerando l’ingombro delle piastre di ancoraggio, indicate sempre sul catalogo Morandi, si

scelgono due piastre 25,5x27. Di seguiti si calcolano, in alcune sezioni le distanze dei baricentri

y i 

sen e cos ,

dei singoli cavi dal lembo inferiore della trave ed i valori di essendo

i i i

l'inclinazione del cavo rispetto l'orizzontale. In particolare tale calcolo si effettua nelle seguenti

sezioni:

- sezione di mezzeria A-A

- sezione a 0,25L B-B

- sezione in corrispondenza dell'inizio del

raccordo C-C

- –D

sezione sull'appoggio D

Con riferimento al sistema degli assi cartesiani (0, x, y) riportato in figura l'equazione della parabola

del singolo cavo è:  

2

y a x b

i i

dove i coefficienti a e b si determinano rispettando le disposizioni dei cavi nelle sezioni di

i i

mezzeria e di testata. Avendo assunto che in mezzeria i due cavi abbiano uguale ordinata si ha:



= =10

b =b cm. Si calcolano quindi i valori dei coefficienti a e si scrivono le equazioni della

1 2 i

parabola: sezione D-D 1300

CAVO 1 per x = L/2 x = [cm]





y

 i

a a 0,00004438

i 2 i=

x Trave c.a.p. ( cavi post-tesi )

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CAVO 2 per x = L/2 x = 1300 [cm]





y

 i

a a 0,00002071

i 2 i

x

Nella generica sezione di ascissa x l'inclinazione del cavo rispetto all'orizzontale può valutarsi con

le seguenti relazioni: dy

 

  

tg 2 ax arctg ( 2 ax )

dx 1  

  

 2

sen 1 cos

cos 

 2

1 tg

Cavo 1

SEZIONE x(cm) Y1(cm) b1(cm) a1 tgα1 α1 cosα1 sinα1

A-A 0,00 10,00 10,00 0,0000000 0,000000 0,000000 1,00000000 0,0000000

B-B 650,00 28,75 10,00 0,0000444 0,057692 0,057628 0,99833994 0,0575965

C-C 1130,00 66,67 10,00 0,0000444 0,100296 0,099962 0,99500800 0,0997952

D-D 1300,00 85,00 10,00 0,0000444 0,115385 0,114877 0,99340894 0,1146241

E-E 1370,00 93,29 10,00 0,0000444 0,121598 0,121004 0,99268800 0,1207085

CAVO2

SEZIONE x(cm) Y2(cm) b2(cm) a2 tgα2 α2 cosα2 sinα2

A-A 0,00 10,00 10,00 0,000000000 0,000000 0,00000 1,00000 0,00000

B-B 650,00 18,75 10,00 0,000020710 0,026923 0,02692 0,99964 0,02691

C-C 1225,00 41,08 10,00 0,000020710 0,050740 0,05070 0,99872 0,05067

D-D 1300,00 45,00 10,00 0,000020710 0,053846 0,05379 0,99855 0,05377

E-E 1370,00 48,87 10,00 0,000020710 0,056746 0,05668 0,99839 0,05665

Cadute di tensione

a) Cadute di tensione per attrito

Nel sistema a cavi scorrevoli, questi vengono posti in tensione mediante martinetti. Lo scorrimento

dei cavi nelle guaine fa insorgere degli sforzi di attrito che si oppongono a quelli applicati,

provocandone una diminuzione. Le cadute di tensione per attrito si manifestano sia lungo il tratto

rettilineo del cavo sia in quello curvo, per cui esse saranno somma di due aliquote:

Trave c.a.p. ( cav