Progetto di una struttura in CA agli SLU

W G A

solaio k

= ⋅

W G A

sbalzi k

Peso piano terra ( )

W pt

= +

W W W

pt 12 pilastri tompagno

Peso primo piano ( )

W pp

= + + + + + +

W W W W W W W W

pp solaio sbalzi pilastriso tto pilastriso pra tompagnoso tto tompagnoso pra travi

Peso copertura ( )

W c

= + +

W W W W

c pilastri tetto tompagno

Si riportano di seguito i valori ottenuti

Piano terra

W 67,68 KN

pilastri

W 182,89 KN

tompagno

TOT 250,57 KN 42

Primo piano

W 1110,23 KN

solaio

W 251,22 KN

sbalzi

W 44,01 KN

pilastriso pra

W 67,68 KN

pilastriso tto

W 215,78 KN

trave

W 182,57 KN

tompagnoso tto

W 158,57 KN

tompagnoso pra

TOT 2030,06 KN

Copertura

W 44,01 KN

pilastri

W 847,76 KN

tompagno

W 158,57 KN

tetto

TOT 1050,34 KN

Peso strutturale: = + + =

W 250

,

57 2030

, 06 1050

,

34 3331

KN

Forza sismica globale

λ =

Dalla normativa 1

λ 1

( )

= ⋅ ⋅ = + + = ≈

F S T W 1

.

31 3331 444 .

81

KN 445 KN

H d 1 g 9

.

81

Forza sismica di piano

⋅

Z W

= ⋅ i i

F F ∑

i H ⋅

Z W

i i

Dove è la quota del solaio rispetto al piano di posa.

Z i [ ]

( ) ( )

∑ ⋅ = ⋅ + ⋅ =

Z W 3 .

76 2030

.

06 7

.

02 1050 .

34 15006 . 41

KNm

i i ⋅

3

. 76 2030 . 66

= ⋅ =

F 445 226

. 42 KN

1 15006 .

41

⋅

7 . 02 1050 . 34

= ⋅ =

F 445 218 . 65 KN

2 15006 . 34

4.3. Predimensionamento dei pilastri a sisma 43

Per stimare il momento flettente che l’azione sismica esercita sul pilastro si utilizza lo schema di “telaio shear­

= ⋅ ⋅

type”, che presenta un . Per tenere conto delle rigidezze differenti delle travi al piede ed

M 0

. 5 F h

max pi

in testa al pilastro si utilizza la seguente formula: = ⋅ ⋅

M 0 . 65 F h

pi

T gi

=

F

Con nella quale si considerano metà numero di pilastri per maggiorare la sicurezza dei modelli

pi n pilastri

utilizzati. +

226 . 42 218 . 65

= = ≈

PIANO TERRA: F 74 . 18 75 KN

pi 6

218 . 65

= = ≈

PRIMO PIANO: F 36 . 45 37 KN

pi 6

Supponendo armatura anche in zona compressa (r=0,020) ed utilizzando le formule della flessione semplice si

ottiene:

PIANO TERRA

= ⋅ ⋅ =

M 0

. 65 75 3 . 76 183 . 30 KNm

max 183 . 30

= ⋅ = ⇒ =

d 0

. 020 0

. 494 m d 50 cm

0

. 30

Sezione pilastro:30x60

PRIMO PIANO

= ⋅ ⋅ =

M 0

. 65 37 3

. 26 78

. 40 KNm

max 78 .

40

= ⋅ =

d 0

.

020 0

.

33

m

0

.

30

Sezione pilastro: 30x40

4.4. Ripartizione dell’azione sismica in testa a ciascun pilastro 44

per la risoluzione del telaio occorre ‘dividere’ la forza sismica di piano in testa a ciascun pilastro. Per fare ci ò si

determinano due punti geometrici appartenenti alla carpenteria della struttura, il centro di massa che può

assumersi coincidente con il baricentro del solaio ed il centro di rigidezza. Se la forza sismica di piano passa

per il centro di rigidezza la carpenteria subisce solo una traslazione altrimenti subirà una rotazione attorno ad

esso.

La formula utilizzata per la determinazione della forza agente in testa a ciascun pilastro è la seguente:

( )

 

−

k y y e

k

 

xi i R y

= ⋅ +

xi

F F ∑ ( ) ( )

∑ ∑

 

xi sx 2 2

− + −

k k y y k x x

 

xi xi i R yi i R

Le elaborazioni eseguite sono riportate in allegato.

CAPITOLO 5

RISOLUZIONE TELAIO

Per risolvere il telaio si è scelto di utilizzare il metodo matriciale, il cui scopo è quello di calcolare le

sollecitazioni agenti su ogni nodo.

Innanzitutto si è provveduto a numerare le aste e i nodi, e a fissare il sistema di riferimento globale, come

indicato in figura: 45

In pratica si è dovuto risolvere per ogni asta il seguente sistema:

δ

= ⋅ +

S K F

dove: è il vettore delle sollecitazioni, nonché la nostra incognita, e scritto esplicitamente per la generica

­ S

asta AB assume la forma:  

N AB

 

T

 

AB

 

M AB

=

S  

N

 

BA

 

T BA

 

 

M

 

BA

dove: N è la sollecitazione in direzione normale all’asta AB agente sul nodo A

- AB

T è la sollecitazione in direzione ortogonale all’asta AB agente sul nodo A

- AB

M è il momento flettente agente sul nodo A

- AB

N è la sollecitazione in direzione normale all’asta AB agente sul nodo B

- BA

T è la sollecitazione in direzione ortogonale all’asta AB agente sul nodo B

- BA

M è il momento flettente agente sul nodo B

- BA

è la matrice di rigidezza dell’asta, che viene costruita conoscendo le sole caratteristiche

­ K

geometriche della struttura e dei materiali con i quali la si intende costruire

δ è il vettore spostamenti, anch’esso ricavabile, che per una generica asta AB assume la forma:

­ 46

 

u A

 

v

 

A

 

ϕ

δ A

=  

u

 

B

 

v B

 

ϕ

 

 

B

dove: u è lo spostamento orizzontale del nodo A

- A

v è lo spostamento verticale del nodo A

- A è la rotazione del nodo A

- φ A

u è lo spostamento orizzontale del nodo B

- B

v è lo spostamento verticale del nodo B

- B è la rotazione del nodo B

- φ B

è il vettore di incastro perfetto dell’asta.

­ F

5.1. Costruzione della Matrice di Rigidezza

Sono state costruite le matrici di rigidezza per ogni asta, nel sistema locale, sostituendo i valori nella matrice in

basso: 47

 

EA EA

−

0 0 0 0

 

l l

 

12 EI 6 EI 12 EI 6 EI

 

−

0 0

3 2 3 2

l l l l

 

6 EI 4 EI 6 EI 2 EI

 

−

0 0

 

2 2

l l

l l

 

=

K  

EA EA

 

− 0 0 0 0

 

l l

 

12 EI 6 EI 12 EI 6 EI

− − −

0 0

 

3 2 3 2

l l l l

 

6 EI 2 EI 6 EI 4 EI

 

−

0 0

 

2 2

l l

l l

dove: l è la lunghezza dell’asta.

­ E è il modulo di Young del calcestruzzo armato.

­ 3

I è il momento di inerzia dell’asta rispetto all’asse baricentrico = ba /12

­ b è la base della sezione trasversale dell’asta.

­ a è l’ altezza della sezione trasversale dell’asta.

­ A è l’ area della sezione trasversale dell’asta.

­

La matrice è nel sistema locale, per essere trasportata nel sistema globale, si utilizza la seguente formula:

−

= Λ ⋅ ⋅ Λ

* 1

K K

i i i i

dove: è la matrice di rigidezza dell’asta i nel sistema globale

­ *

K i è la matrice di rigidezza dell’asta i nel sistema locale

­ K i

−

Λ è la matrice inversa della matrice di rotazione

1

­ Λ

i

i è la matrice di rotazione dell’asta i, costruita come:

Λ

­ i 48

ϑ ϑ

 

cos sen 0

 

ϑ ϑ

Λ = − sen cos 0

 

i  

0 0 1

 

dove: è l’ angolo di rotazione dell’asta i rispetto all’orizzontale, attorno al primo vertice.

ϑ

-

Costruite per ogni asta le matrici di rigidezza nel sistema globale, , si deve provvedere al loro

*

K i

assemblaggio per ottenere la matrice di rigidezza di tutto il telaio.

5.2. Costruzione del vettore forza

Per quanto riguarda i carichi agenti sul telaio, i carichi distribuiti sulle travi e sulle aste inclinate sono stati

ricavati dall’analisi dei carichi, mentre per i pilastri si è considerato solo il peso proprio calcolato come l’area

della sezione trasversale del pilastro per il peso specifico del calcestruzzo armato. I carichi agenti sui nodi

sono stati ricavati dall’analisi sismica.

Si procede alla costruzione del vettore di incastro perfetto:

• Per ogni asta sono stati costruiti i vettori di incastro perfetto nel sistema locale, sostituendo i

corrispondenti valori nel vettore:  

pl

−

 

2

 

ql

 

− 2

 

2

 

ql

−

 

12

=

F  

pl

 

− 2

 

ql

 

−

 

2

 

2

ql

 

 

12 49

dove: l è la lunghezza dell’asta

- p è la componente dei carichi distribuiti in direzione normale all’asta

- q è la componente dei carichi distribuiti in direzione ortogonale all’asta.

-

• Tali vettori devono essere trasportati nel sistema globale tramite la formula:

= Λ ⋅

F F

i i i

dove: è il vettore di incastro perfetto nel sistema locale, dell’asta i

F

- i è il vettore di incastro perfetto nel sistema globale, dell’asta i

- F

i −

Λ 1 Λ

è la matrice inversa della matrice della matrice di rotazione , dell’asta i.

- i i

• Una volta costruiti per ogni asta i vettori di incastro perfetto nel sistema globale, devono essere

assemblati per ottenere il vettore F.

• Si costruisce il vettore delle forze nodali, cioè delle forze concentrate applicate ai nodi; questo lo si

ottiene sostituendo per ogni nodo, che non sia un incastro, i corrispondenti valori nel seguente vettore:

 

F .

o

 

=

P F .

v

 

j  

0

 

dove: P è il vettore delle forze nodali, del nodo j

- j

F sono le forze concentrate orizzontali agenti sul nodo j

- F sono le forze concentrate verticali agenti sul nodo j.

- 50

Nel nostro cas