Progetto e relazione per l'esame di Complementi di Scienza delle Costruzioni

CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN INGEGNERIA CIVILE

PROGETTO DI COMPLEMENTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Professore: Ing. E. Radi

Studente: Filippo Ribes A. A. 2017/2018

INDICE

1. PROBLEMA ASSEGNATO
2. SISTEMA AD ELASTICITÀ CONCENTRATA
3. CONFRONTO CON UN PROGRAMMA FEM
1. DATI UTILIZZATI
1. Dati del materiale e della sezione impiegata
2. RISULTATI
4. METODO DELLE RIGIDEZZE

65 LINEA ELASTICA ................................................................................................................ 1111 PROBLEMA ASSEGNATO

Il candidato consideri la seguente struttura:

Si svolgano i seguenti punti, considerando la struttura come un sistema ad elasticità concentrata, considerando le aste rigide:

a) Calcolo del carico critico P (K), in funzione della rigidezza della molla rotazionale K.CR

b) Confronto del valore di carico critico ottenuto nel punto a) con quello fornito da un programma FEM a scelta, mediante lo svolgimento di un'analisi di Buckling. Si determini inoltre il moltiplicatore di carico λ che provoca il collasso della struttura per instabilità.

c) Calcolo del moltiplicatore di carico λ attraverso il metodo delle rigidezze.

d) Calcolo della linea elastica della struttura, tenendo conto degli effetti non lineari dovuti all'instabilità della struttura.

ELASTICITÀ CONCENTRATA

Si vuole determinare l’esistenza di configurazioni di equilibrio instabile e il relativo carico critico. A tal fine si determina l’energia potenziale totale del sistema EPT in funzione delle sue coordinate lagrangiane; in questo caso è sufficiente assumere come coordinata lagrangiana la rotazione dell’asta θ. In Figura 2.1 vengono rappresentate le forze e i parametri necessari per definire l’energia potenziale totale π(θ).

Lo spostamento δ può essere espresso come: δ θ = l tan(θ)

Si applica la teoria linearizzata e usando lo sviluppo in serie di Taylor (è sufficiente arrestarsi al primo termine) si ottiene: δ θ = l θ

L’energia potenziale totale del sistema è quindi: 1/2 k θ^2 l^2

Le configurazioni di equilibrio si cercano imponendo la stazionarietà del potenziale

In Figura 4.1, Figura 4.2 e Figura 4.3 sono riportati gli schemi necessari per assemblare la matrice di rigidezza globale della struttura.

Figura 4.1 Schema di base 1

Figura 4.2 Schema di base 2

Figura 4.3 Schema di base 3

Per la struttura in esame vengono scelti i gradi di libertà nella direzione e verso come mostrato in Figura 4.4:

Figura 4.4 I 3 DOF scelti nella struttura

Nella Figura 4.5 sono riportate le forze e momenti relativi al DOF 1, corrispondente ad una rotazione φB,sx unitaria di:

Figura 4.5 Forze e momenti agenti nel DOF1

Ne conseguono i seguenti termini della matrice K di rigidezza globale:

  3 EI Pl= - + k k 11  l 5 = - k k12  3 EI P = - k 13  2 l 5 8

Nella Figura 4.6 sono riportate le forze e momenti relativi al DOF 1, corrispondente ad una rotazione φB,sx unitaria.

rotazioneφB,dx.unitaria di Figura 4.6 Forze e momenti agenti nel DOF2Ne conseguono i seguenti termini della matrice K di rigidezza globale:

 = −k k 21  3 EI Pl= − +  k k22  l 5  3 EI P= − −  k 23  2 l 5

Nella Figura 4.7 sono riportate le forze e momenti relativi al DOF 1, corrispondente ad una rotazioneunitaria di uB. Figura 4.7 Forze e momenti agenti nel DOF39Ne conseguono i seguenti termini della matrice K di rigidezza globale:

  3 EI P= − k 31  2l 5  3 EI P= − −  k 32  2l 5  3 EI 6 Pl= −  k 233  3 l 5

La matrice K è quindi:

    3 EI Pl 3 EI P− + − −    k k   2l 5 l 5     3 EI Pl 3 EI P= − − + − −    K k k   2l 5 l 5     

 3 EI P 3 EI P 3 EI 6 Pl− − − −      2     2 2 3 l 5 l 5 l 5

Come si può notare la matrice risulta simmetrica con i termini sulla diagonale positivi.

Il vettore delle forze nodali è il seguente:

 0 =Fvec 0   F

Dalla nota relazione si ottiene il vettore degli spostamenti globali corrispondenti ai DOF scelti:

 −   0.075B , sx   −= = =1U K Fvec 0.075   B ,d x      u 0.45B

I risultati confermano quanto ottenuto in precedenza.

105 LINEA ELASTICA

I sistemi di riferimento che verranno utilizzati per il calcolo della linea elastica sono mostrati in Figura5.1:

L’equazione differenziale che governa la linea elastica, nel caso generico in cui sia presente un caricodistribuito q(x) e un carico assiale P, è la seguente:

q ( x )+ =IV 2 IIv (

e T sono scritte in funzione degli spostamenti v e v , come noto dalle espressioni1 2della linea elastica:

M= -IIv ( x ) E

T= -IIIv ( x ) E

Per il calcolo delle rotazioni invece vale la seguente relazione:

Φ= -Iv ( x )

Una volta risolto il sistema lineare composto dalle 8 equazioni in 8 incognite (corrispondenti alle costanti di integrazione) si sostituiscono le costanti di integrazioni nelle 2 espressioni v (x) e v (x) e1 2si ottengono i valori di interesse, come in seguito:

Φ = -I radv (l ) 0.075B , sx 1

Φ = -I radv (0) 0.075B ,d x 2

= mu v (0)