Problemi d'esame sulla Meccanica

Problema 1

Per un punto A di una strada fosse un primo veicolo alla velocità v₁ = 80 Km/er, 3 minuti; dopo passa un secondo veicolo che rincorre il primo alle velocità v₂ = 118 Km/er. Supponendo che i due veicoli si muovessero di moto uniforme dopo quanto tempo il secondo veicolo raggiunge il primo ed a quale distanza.

Considerando A come origine, quando il veicolo 1 è in A, il veicolo 2 è ad una distanza da A: s₀ = - v₂ t₀.

Le equazioni del moto per i due mobili saranno:

s₁ = v₁ t

s₂ = - s₀ + v₂ t

L'incontro si avrà al tempo t' quando i due mobili saranno alla medesima distanza da A, quando cioè s₁ = s₂:

v₁ t' = - s₀ + v₂ t'

⇒ t' = ^s₀/_{v2 - v1}

La distanza da A in cui i due mobile si incontrano è data da: s' = v₁ t' (o da s' = - s₀ + v₂ t')

Numericamente:

v₁ = 80 km/h = 22 m/s , v₂ = 108 km/h = 30 m/s

t₀ = 3 min = 180 s

s₀ = v₂ t₀ = 30 m/s · 180 s = 5400 m

t = s₀ / (v₂ − v₁) = 5400 / (30 − 22) = 675 s

s' = v₁ t' ⇒ s' = 22 · 675 = 14850 m

Problema 4

Un'auto arriva a 200 m dall'incrocio vede che il semaforo diventa verde che dura 10 s. La velocità dell'auto è 60 km/h. Si vuole sapere se l'auto deve accelerare per superare il semaforo. Se sì, qual è l'accelerazione minima necessaria a superarlo e compatibile col il veicolo?

60 km/h = 16,7 m/s

s = v₀t = 16,7 . 10 = 167 m

non sono sufficienti a superare il semaforo verde.

s = ¹/₂ at² + v₀t

a = 2 ^{s - v₀t}/_t²

= 2 ^{200 - 167}/₁₀₀ = 0,66 m/s²

Vediamo ora di quanto è aumentata la velocità e se essa è compatibile con il veicolo.

v = qt + v₀

v = 0,66 . 10 + 16,7 = 23,3 m/s

e questo aumento di velocità è compatibile con il veicolo.

[ 23,3 m/s = ^{23,3 . 1000}/_3,6 = ²³³/₃₆ km/h ≈ 6,5 km/h ]

Problema 7

Un autista vede il segnale di curva pericolosa a 200 m della curva mentre procede a 72 km/h. Qual è la accelerazione di frenata che deve applicare per giungere alla curva a 36 km/h?

Uscendo dalla curva vede, 200 m avanti, un autotreno che procede nello stesso senso a 21 km/h. Quale accelerazione dovrà applicare per superare l’autotreno prima che esso abbia percorso altri 100 m? In tal caso, a che velocità avverrà il sorpasso?

v₀ = 72 Km/h = 20 m/s

v_t = 36 Km/h = 10 m/s

s = 100 m

Per calcolare l'accelerazione di frenata occorre risolvere il seguente sistema, da cui in punto ricaviamo a:

• s = v₀t - 1/2 at²
• v_t = v₀ - at

a = ^{v₀2 - v_t2}/_2s

s = ^{400 - 100}/₄₀₀ = 0,75 m/s² (in valore negativo).

Per rispondere alti due quesiti occorre applicare l’equazione del moto sia all’auto che all’autotreno!

Autotreno (moto uniforme):

• v_s - v₀ = 21 Km/h = 5,83 m/s
• s = v₀t

Auto (moto uniformemente accelerato):

a = ^{2(300 - 10t^2)}/_t^2 = ²⁶⁹/₂₉₉ = 0,9 m/s²

v_t = 10 + 0,9t

Problema 1

Un punto materiale si muove su un piano X Oy con equazioni parametriche:

• X = At
• Y = B cos ωt

Si determini: a) l'equazione della traiettoria nel piano XY; b) le ascisse dei punti sull'asse X per i quali transita il punto; c) il modulo della velocità e dell'accelerazione nei punti suddetti.

A = 6 m/s; B = 2 m; ω = 3π

1. Il moto è composto da un moto uniforme sull'asse X e da un moto armonico sull'asse Y. L'equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo dalle equazioni parametriche.

   • X = At
   • Y = B cos ωt

   t = _X/₆

   Y = -2 cos ^3X/₆

2. Per individuare i punti dell'asse X per i quali il punto transita, basta porre Y = 0 che equivale a cos ^X/₂ = 0. Si ha:

   X_m = (2m+1)π

   m = 0, 1, 2, ...

   X = π; X = 3π; X = 5π; ...

3. Le componenti della velocità e dell'accelerazione ai vari istanti sono dati da:

   x = At => x = 6t => _dX/_dt = 6 => _d²X/_dt² = 0

   y = B cos ωt => y = -2 cos 3t => _dY/_dt = 6 sen 3t => _d²Y/_dt² = +6cos 3t = -9y

Moti Plani

b) La gittata è la distanza OG fra il punto di lancio ed il punto di ricaduta sull'asse x. La coordinata x_G di G può essere determinata ponendo y = 0 nella (3). Si ha così

(tgg α - ^g⁄_{v0²cos² α}x) = 0

che fornisce due soluzioni: x₁ = 0 (corrispondente al punto di lancio) e

(4) x₂ = x_G = ^{2v₀2 cos2 α tg α}⁄_g = ^v₀2⁄_g sin α cos α = ^{v₀2 sin 2α}⁄_2g = ^2v_oxv_oy⁄_g

Il tempo di volo (t_v) è quello che intercorre fra il lancio e la ricaduta in G. Poiché x_G è data dalla (4), si ha dalla (2):

(5) t_v = ^x_G⁄_{v0 cos α} = ^{2v₀ sin α}⁄_g

L'altezza massima raggiunta (h_max) corrisponde al massimo di y(t) nella (2) oppure di y(x) nella (3). Nel primo caso

^dy⁄_dt = v₀ sin α - gt = 0 ⇒ t* = ^{v₀ sin α}⁄_g = ^t_v⁄₂

(istante al quale si raggiunge h_max)

Pertanto dalla (2):

(6) h_max = (v₀ sin α)t* - ¹⁄₂ gt*² = ^{v₀2 sin2 α}⁄_2g = ^v₀2⁄_2g

Nel 2° caso, ponendo dy/dx = 0 nella (3), si ottiene x* = v₀² sin 2α/2g = x_G/2 (coordinata x corrispondente all'altezza massima) e quindi, dalla (3), si ritiene la (6).

c) All'istante t_v/3 le componenti della velocità sono (v. Eq. (1)):

v_z = v₀ cos α;   v_y = v₀ sin α - g ^t_v⁄₃ = ¹⁄₃ v₀ sin α

e il modulo

|v(t_v/3)| = √(v_x² + v_y²) = v₀ √(cos² α + ¹⁄₉ sin² α)

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Si ha:

t) mg sen α = maₜ n) -mg cos α + R = m aₙ

Poiché il corpo è vincolato e sta nel piano si avrà aₙ = 0 e quindi R = mg cos α.

Dalla prima relazione si ha:

eₜ = a = g sen α = costante

Si ha allora un moto uniformemente accelerato come nel caso di caduta libera con una accelerazione ridotta del fattore sen α:

• v = gt sen α
• s = 1/2 gt^2 sen α

Quando il corpo arriva alla fine della corsa si ha s = l/sen α. Uguagliando questo s con quello precedente troviamo il tempo t₁ di caduta lungo il piano:

1/2 gt₁^2 sen α = l/sen α => t₁^2 = 1/sen^2 α => 2l/g => t₁ = 1/sen α √(2l/g)

Confrontando questo tempo con quello in caduta libera si vede subito che t₁ > tᶜ.

Per la velocità si trova (sostituendo t₁ nelle relazioni che ci da la velocità):

• v₁ = g(1/sen α) sen α => v₁ = √2lg

Sostituendo invece alla formula che fornisce la velocità in una caduta libera (vᶜ = gtᶜ) si ha:

vᶜ = g √(2l/g) = √2lg

v₁ = vᶜ