Risoluzione problemi di fisica

Consigli per la risoluzione dei problemi

Una parte fondamentale di ogni corso di Fisica è la risoluzione di problemi. Risolvere problemi spinge a ragionare su idee e concetti e a comprenderli meglio attraverso la loro applicazione. Gli esempi qui riportati sono stati proposti agli studenti di Fisica Generale I negli ultimi anni come prove scritte d’esame. Essi illustrano, in ogni capitolo, casi tipici di risoluzione di problemi.

Il sommario all’inizio di ogni capitolo offre un breve quadro d’insieme delle idee più importanti per la soluzione dei problemi di quel capitolo. Benché tale quadro sia molto utile come promemoria, per una adeguata comprensione degli argomenti si consiglia di utilizzare il testo di Fisica Generale I consigliato dal docente.

Riguardo alla soluzione dei problemi di Fisica, si consiglia quanto segue:

• Leggere attentamente il testo del problema.
• Preparare un elenco completo delle quantità date (note) e di quelle cercate (incognite).
• Disegnare uno schema o un diagramma accurato della situazione. Nei problemi di dinamica, assicurarsi di aver disegnato tutte le forze che agiscono su un dato corpo (diagramma di corpo libero).
• Dopo aver deciso quali condizioni e principi fisici utilizzare, esaminare le relazioni matematiche che sono valide nelle condizioni date. Assicurarsi sempre che tali relazioni siano applicabili al caso in esame. È molto importante sapere quali sono le limitazioni di validità di ogni relazione o formula.
• Molte volte le incognite sembrano troppe rispetto al numero di equazioni. In tal caso è bene chiedersi, ad esempio:
  • Esistono altre relazioni matematiche ricavabili dalle condizioni del problema?
  • È possibile combinare alcune equazioni per eliminare alcune incognite?
• È buona norma risolvere tutte le equazioni algebricamente e sostituire i valori numerici soltanto alla fine. Conviene anche mantenere traccia delle unità di misura, poiché questo può servire come controllo.
• Controllare se la soluzione trovata è dimensionalmente corretta.
• Arrotondare il risultato finale allo stesso numero di cifre significative che compaiono nei dati del problema.
• Ricordare che per imparare a risolvere bene i problemi è necessario risolverne tanti: la risoluzione dei problemi spesso richiede creatività, ma qualche volta si riuscirà a risolvere un problema prendendo spunto da un altro già risolto.

Cinematica del punto materiale

La cinematica degli oggetti puntiformi descrive il moto dei punti materiali. La descrizione del moto di ogni punto materiale deve sempre essere fatta in relazione ad un particolare sistema di riferimento. La posizione di un oggetto che si muove lungo una retta è data dall’equazione oraria: x(t) = x.

Si definiscono la velocità istantanea: $v=\frac{dx}{dt}$ e l’accelerazione istantanea: $a=\frac{dv}{d{t}^2}$

Se un oggetto si muove lungo una retta con accelerazione costante (moto uniformemente accelerato) si ha: \(a = cost\) e per integrazione, ponendo \(v = v_0\) e \(x = x_0\) per l’istante iniziale \(t = t_0 = 0\), si otterrà:

• \(v = v_0 + at\)
• \(x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\)
• \(v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)\)

Gli oggetti che si muovono verticalmente vicino alla superficie terrestre, sia che cadano o che siano lanciati verticalmente verso l’alto o verso il basso, si muovono (se si può trascurare l’effetto della resistenza dell’aria) con accelerazione costante rivolta verso il basso. Questa accelerazione è dovuta alla gravità, ed è pari a circa \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\).

In generale, se \(\mathbf{r}\) è il vettore posizione del punto materiale, la velocità e l'accelerazione vettoriale istantanea sono date da:

• \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\)
• \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}\)

Le equazioni cinematiche per il moto possono essere scritte per ciascuna delle componenti \(x, y\) e \(z\), ossia:

• \(\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\)
• \(\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k}\)
• \(\mathbf{a} = a_x\mathbf{i} + a_y\mathbf{j} + a_z\mathbf{k}\)

Riassumiamo qui i casi più semplici:

Il moto dei proiettili si può scomporre, se si trascura la resistenza dell’aria, in due moti separati: la componente orizzontale del moto che ha velocità costante e la componente verticale che ha accelerazione costante e pari a \(g\), come per i corpi in caduta libera (fintanto che il moto si svolge in prossimità della superficie terrestre).

Si ha un moto circolare uniforme quando una particella si muove lungo una circonferenza di raggio \(r\) con velocità costante; la particella sarà allora soggetta ad un’accelerazione radiale centripeta \(a_R\), diretta verso il centro del cerchio, di intensità:

• \(a_R = \frac{v^2}{r}\)

Se la velocità non è costante, vi sarà accelerazione sia centripeta sia tangenziale. Il moto circolare può anche essere scritto in termini di variabili angolari. In questo caso l’equazione oraria sarà \(\theta(t) = \theta\), con l’angolo misurato (in radianti) a partire da una data direzione di riferimento.

La velocità angolare è data da:

• \(\omega = \frac{d\theta}{dt}\)

e l’accelerazione angolare da:

• \(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\)

La velocità e l’accelerazione lineare di un punto che si muove lungo una circonferenza di raggio \(r\) sono legate a \(\omega\) e \(\alpha\) da:

• \(v = r\omega\)
• \(a_T = r\alpha\)

dove \(a_T\) e \(a_R\) sono le componenti tangenziale e radiale dell’accelerazione. La frequenza \(f\) è legata a \(\omega\) da \(\omega = 2\pi f\) e al periodo \(T\) da \(T = \frac{1}{f}\).

Problema 1

Il sistema, mostrato in figura, è costituito da una massa \(m\) appoggiata su una guida rettilinea inclinata di un angolo \(\theta\) rispetto all'orizzontale. Calcolare l'accelerazione \(a_t\) con la quale deve muoversi la guida orizzontalmente affinché la massa \(m\) cada verticalmente con accelerazione pari a \(g\).

Suggerimento: tenere conto che \(g\) è diretta solo verticalmente, mentre \(a\) è diretta solo orizzontalmente.

Soluzione

L'accelerazione della massa rispetto ad un osservatore inerziale, e rispetto ad un riferimento non inerziale solidale con la guida, è:

• \(a_r = g - a_t\)

L'accelerazione di gravità nel riferimento solidale con la guida è:

• \(g' = g - a_t\)

Indicato con \(a_r\) il modulo dell'accelerazione della massa nel riferimento solidale con la guida si ha:

• \(a_r = g \sin\theta + a_t \cos\theta\)

La componente orizzontale di \(a_r\) deve equilibrare \(a_t\), quindi:

• \(a_t \cos\theta = g \sin\theta\)

cioè:

• \(a_t = \frac{g \sin\theta}{\cos\theta} = g \tan\theta\)

Per \(\theta = 30^\circ\), si ha:

• \(a_t = 5.7 \, \text{m/s}^2\)

Soluzione alternativa

L’accelerazione totale deve essere \(g = \sqrt{g^2 + a_t^2}\), quindi deve valere:

• \(g^2 = a_t^2 + g^2\)

scrivendo quest’equazione in componenti si ottiene facilmente che:

• \(a_t = 5.7 \, \text{m/s}^2\)

Problema 2

Una palla è lanciata in avanti e verso l'alto da una quota \(h_0\) sopra il suolo con velocità iniziale \(v_0\). La palla rimbalza elasticamente (invertendo la componente orizzontale della velocità e mantenendo inalterata quella verticale) su un muro verticale posto alla distanza \(d\) dal lanciatore.

• A quale altezza \(h'\) dal suolo la palla colpisce il muro?
• A quale altezza \(h''\) si trova la palla quando è di nuovo sulla verticale del lanciatore (che rimane fermo)?
• Qual è la quota massima \(h_{\text{max}}\) raggiunta dalla palla?

Quesito: \(h_{\text{max}}\) è la stessa che sarebbe raggiunta se non ci fosse la parete verticale. Perché?

\([h_0 = 2 \, \text{m}; d = 4 \, \text{m}; v_{0x} = 10 \, \text{m/s}; v_{0y} = 10 \, \text{m/s}]\)

Soluzione

a) La componente orizzontale della velocità \(v_{0x}\) è costante, quindi la palla raggiunge il muro nel tempo:

• \(t = \frac{d}{v_{0x}} = 0.4 \, \text{s}\)

In direzione verticale è l'accelerazione ad essere costante: \(g = -9.8 \, \text{m/s}^2\). Perciò:

• \(h = h_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = 5.2 \, \text{m}\)

b) La palla torna sul lanciatore dopo altri 0.4 s. La componente verticale del moto è ancora uniformemente accelerata con velocità iniziale \(v_{0y}' = 6.08 \, \text{m/s}\), e quota iniziale \(h'' = 5.2 \, \text{m}\).

Perciò la nuova quota è \(h'' = 6.9 \, \text{m}\).

c) La quota massima \(h_{\text{max}}\) viene raggiunta quando la componente verticale della velocità si annulla (ciò avviene dopo il rimbalzo). Essa è perciò data da:

• \(h_{\text{max}} = h_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g} = 7.1 \, \text{m}\)

Risposta al quesito: \(h_{\text{max}}\) è la stessa che sarebbe raggiunta se non ci fosse la parete verticale, perché l’urto con tale parete non altera la componente verticale del moto.

Problema 3

Un vecchio cannone viene fatto sparare orizzontalmente dalla cima di una montagna e la velocità \(v_0\) della palla viene regolata in modo tale da farle colpire un bersaglio posto nella pianura sottostante solo al secondo rimbalzo. Nel rimbalzo la componente verticale della velocità \(v_{0y}\) si riduce di un fattore \(f\) e la componente orizzontale \(v_x\) rimane costante.

• Qual è la velocità \(v_0\) di uscita della palla del cannone per poter colpire un bersaglio distante \(d\), se la montagna sulla cui cima è situato il cannone è alta \(h\)?
• Qual è la velocità \(v_0\) di uscita della palla se si vuole colpire il bersaglio direttamente?

\([f=0.6; h = 1 \, \text{km}; d = 9 \, \text{km}]\)

Soluzione

a) La componente orizzontale del moto si mantiene costantemente uniforme, per cui basta calcolare la durata del moto verticale ed imporre che \(d = v_x t\), cioè \(v_x = \frac{d}{t}\).

Il primo impatto avviene dopo il tempo \(t_1\):

• \(t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 14.1 \, \text{s}\)

mentre il secondo impatto avviene con un ritardo \(t_2\):

• \(t_2 = \frac{v_y}{g} = 17 \, \text{s}\)
• dove \(v_y = fg t_1 = 84.9 \, \text{m/s}\)

Quindi:

• \(v_x = \frac{d}{t_1 + t_2} = 289.3 \, \text{m/s}\)

b) La componente verticale del moto è uniformemente accelerata con accelerazione \(g = -9.8 \, \text{m/s}^2\), perciò il tempo impiegato dalla palla per raggiungere il suolo è:

• \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\)

In questo tempo la palla percorre orizzontalmente la distanza \(d = v_x t = 9 \, \text{km}\), cioè:

• \(v_x = \frac{d}{t} = 630 \, \text{m/s}\)

Dinamica del punto

Le tre leggi del moto di Newton sono le leggi fondamentali per la descrizione del moto stesso. La prima legge di Newton afferma che, se la forza risultante su un corpo puntiforme è zero, allora esso resta in quiete o si muove lungo una linea retta con velocità costante (moto rettilineo uniforme). La tendenza di un corpo a resistere ad un cambiamento del suo stato di moto si chiama inerzia. La massa è la misura dell’inerzia di un corpo.

La seconda legge del moto di Newton afferma che l’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla forza risultante che agisce su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa. Sotto forma di equazione:

• \(\mathbf{F} = m\mathbf{a}\)

La forza risultante su un oggetto indica il vettore somma di tutte le forze che agiscono su di esso. Nella sua formulazione più generale, la seconda legge di Newton afferma che la forza risultante agente su un corpo di massa \(m\) e velocità \(\mathbf{v}\) è data da:

• \(\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt}\)

dove \(\mathbf{p} = m\mathbf{v}\) è la quantità di moto del corpo. Solitamente (ma ci sono eccezioni) un corpo non perde né acquista massa durante il moto, e quindi vale:

• \(\mathbf{F} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\mathbf{a}\)

Se invece la massa del corpo è variabile, si avrà:

• \(\mathbf{F} = m\mathbf{a} + \mathbf{v}\frac{dm}{dt}\)

La terza legge del moto di Newton afferma che se un primo corpo esercita una forza su un secondo corpo, allora il secondo corpo esercita sempre sul primo una forza uguale in intensità e direzione, ma di verso contrario.

La forza esercitata su un corpo dalla superficie liscia su cui è appoggiato agisce perpendicolarmente alla comune superficie di contatto e per questo si dice che è una forza normale. È un tipo di forza vincolare, perché limita la libertà di movimento del corpo e la sua intensità dipende dalle altre forze che agiscono su quel corpo.

Per risolvere i problemi in cui compaiono forze su uno o più corpi è essenziale disegnare il diagramma di corpo libero per ogni singolo corpo, mettendo in evidenza tutte le forze che agiscono su quel corpo. Per ogni corpo la seconda legge di Newton può essere applicata a ciascuna componente della forza risultante.

Alcune forze importanti sono:

• Forza peso. Il peso si riferisce alla forza di gravità che agisce su un dato corpo e vale \(P = mg\); vettorialmente: \(\mathbf{P} = m\mathbf{g}\).
• Forza d’attrito. Quando un corpo è in movimento su una superficie scabra, la forza dovuta all'attrito (radente) dinamico agisce nella direzione opposta a quella del moto. La sua intensità è data da:
  • \(F_d = \mu_d F_N\), relazione tra l’intensità della forza d’attrito, che agisce parallelamente alla superficie di contatto e l’intensità della forza normale \(F_N\) (spesso indicata anche con \(N\)) che agisce perpendicolarmente alla superficie stessa. Non è un’equazione vettoriale, poiché le due forze sono perpendicolari l’una all’altra. \(\mu_d\) è detto coefficiente di attrito dinamico e dipende dai materiali con cui sono fatti i due oggetti. Per la forza d'attrito (radente) statico, il suo valore massimo è dato da: \(\mu_s F_N\) con \(\mu_s\) coefficiente d’attrito statico.
  • Quando un corpo si muove con velocità sufficientemente bassa attraverso un fluido, subisce una forza d'attrito viscoso diretta nel verso opposto a quello del moto. La sua intensità è data da: \(F_v = \beta v\).
• Forza elastica. Per tenere una molla compressa o tesa di una lunghezza \(x\) oltre quella di riposo è necessaria una forza: \(F = -kx\) dove \(k\) è la costante elastica della molla. Questa legge, nota come legge di Hooke, è valida per valori di \(x\) sufficientemente piccoli.
• Forza centripeta. Una particella che ruota lungo una circonferenza di raggio \(r\) con velocità costante \(v\) è sottoposta in ogni momento ad una forza diretta verso il centro della traiettoria. Essa vale:
  • \(F_r = \frac{mv^2}{r}\)
  • vettorialmente: \(\mathbf{F}_r = m\mathbf{a}_r = m\frac{\mathbf{v}^2}{r}\)

Problema 1

Un uomo tira una slitta, inizialmente ferma, su cui siedono due bambini, sul suolo coperto di neve. La slitta viene tirata mediante una fune che forma un angolo \(\theta\) con l'orizzontale. La massa totale dei bambini è \(M\), mentre quella della slitta è \(m\). Il coefficiente di attrito statico è \(\mu_s\), mentre il coefficiente di attrito dinamico è \(\mu_d\).

Si trovino la forza di attrito esercitata dal suolo sulla slitta e l'accelerazione del sistema slitta-bambini se la tensione della fune ha l’intensità:

• T = 100 N;
• T = 140 N.

Mantenendo fisso l’angolo \(\theta\), determinare il valore minimo di \(T\) per sollevare totalmente la slitta.

\([\theta = 40^\circ; M = 45 \, \text{kg}; m = 5 \, \text{kg}; \mu_s = 0.20; \mu_d = 0.15]\)

Suggerimento: disegnare il diagramma di corpo libero del sistema slitta-bambini, imporre la condizione di equilibrio per le componenti y delle forze e scrivere l’equazione del moto per le componenti x.

Soluzione

Diagrammi di corpo libero:

I) La forza normale al suolo è:

• \(F_N = (M + m)g - T \sin \theta = 425.7 \, \text{N}\)

Quindi la forza di attrito statico è:

• \(F_{as} = \mu_s F_N = 85.1 \, \text{N}\)

mentre la forza di attrito dinamico è:

• \(F_{ad} = \mu_d F_N = 63.9 \, \text{N}\)

La componente orizzontale delle tensioni è \(T_x = T \cos \theta = 76.6 \, \text{N} < F_{as}\), per cui l’accelerazione è nulla.

II) La forza normale al suolo è:

• \(F_N = (M + m)g - T \sin \theta = 400 \, \text{N}\)

Quindi la forza di attrito statico è:

• \(F_{as} = \mu_s F_N = 80 \, \text{N}\)

mentre la forza di attrito dinamico è:

• \(F_{ad} = \mu_d F_N = 60 \, \text{N}\)

La componente orizzontale della tensione è \(T_x = T \cos \theta = 107.2 \, \text{N} > F_{as}\), quindi la slitta si muove con accelerazione:

• \(a = \frac{T \cos \theta - \mu_d (M + m)g}{M + m} = 0.9 \, \text{m/s}^2\)

Il valore di \(T\) per sollevare la slitta è...