Risoluzione problemi di fisica

Problema 6

In base ai dati del problema si ottiene . Le ultime due cifre sono state omesse perché non significative (i dati di partenza contengono solo una o due cifre significative).

a) Qual'è la resistenza del filamento durante il funzionamento?

b) Se il filamento è lungo 10 cm, quanto vale in modulo il campo elettrico al suo interno?

Soluzione:

a) Dall'equazione che fornisce la potenza dissipata per effetto Joule si ottiene:

2 236V V= = = Ω144. .R 25P Wρ

b) Dalla relazione si deduce che risulta diretto lungo il filo ed è costante in modulo (il filamento ha sezione costante). Detto un elemento di filo, di lunghezza d⋅ = e verso concorde con , risulta dunque . La tensione lungo il filamento è: ∫ ∫ ∫= ⋅ = = = V E d E d E d E da cui si ricava = = / 60 / .E V V m

Problema 7

Per misurare la resistenza di un

capi e la corrente che la percorre, ed evidenzia la difficoltà di una simile misura: nel circuito di sinistra il voltmetro misura la d.d.p. ai capi di R ed in quello di destra la corrente nell’amperometro. Non R non è la corrente in R.

Problema 8 ρ: Si calcoli la resistenza di un conduttore metallico di resistività ρ, lunghezza L e sezione circolare con centro sull’asse e raggio che cresce linearmente con assumendo i valori in x=0 e x=L.

Soluzione: La dipendenza di R da x può essere così espressa: R(x) = R(0) + (2R(1)/L)x.

Dividendo idealmente il conduttore in tratti di lunghezza dx e resistenza dR posti in serie, si ottiene: ρ dx∫ R = ∫ dR.

Problema 9: Due vetture tranviarie distano rispettivamente 2 km e 5 km da una cabina di alimentazione di 550 V, a cui sono collegate mediante un cavo.

aereo e le due rotaie. La prima vettura assorbe una corrente di 50 A, la seconda di 30 A. Se la resistenza per unità di lunghezza del cavo aereo è di 9 Ω/km e quella di ciascuna rotaia è di 0.5 Ω/km, si calcolino le potenze assorbite da ciascuna vettura e la potenza dissipata nel cavo aereo e nelle rotaie.

Soluzione:

Lo schema è il seguente:

R_aereo = 9 Ω/km

R_rotaia = 0.5 Ω/km

Le potenze assorbite sono:

P₁ = V₁²/R_aereo = (550 V)² / 9 Ω = 323.61 kW

P₂ = V₂²/R_rotaia = (550 V)² / 0.5 Ω = 37.06 kW

La potenza dissipata nel cavo aereo e nelle rotaie è:

P_d = P₁ + P₂ = 323.61 kW + 37.06 kW = 360.67 kW

Commento: Il trasporto di energia elettrica a grandi distanze comporta sensibili perdite di potenza nei caviaerei. Per ridurle si può aumentare la d.d.p. fra i cavi.

stessi (compatibilmente con i problemi di sicurezza) fino a quei valori che cominciano a rendere sensibili le perdite dovute al passaggio di corrente in aria, nelle vicinanze dei cavi. Nei cavi ad alta tensione in corrente alternata si arriva a centinaia di kV.

CAPITOLO 3

CAMPI MAGNETICI STAZIONARI NEL VUOTO

Forza magnetica su una particella con carica e velocità q:

F = qv x B. (Forza di Lorentz) (1)

ΔW = F · Δs

Commenti: F è ortogonale a Δs, il suo lavoro (ΔW) poiché la particella si sposta) è nullo. In assenza di altre forze, l'energia cinetica 1/2mv^2 e il modulo della velocità v rimangono costanti nel tempo, e l'accelerazione è centripeta.

Forza esercitata da un campo uniforme su un conduttore rettilineo di lunghezza B percorso da una corrente i:

F = iB. (2) (il verso del vettore può essere scelto ad arbitrio: i sarà positiva o negativa a seconda che la corrente circoli nel)

Verso scelto o in quello opposto). Momento di dipolo magnetico di una spira filiforme contenuta in un piano: µ = iSn , (3) dove S è la superficie racchiusa dalla spira, il versore normale al piano. Il verso di è n legato al senso di percorso della corrente dalla regola della mano destra.

Campo di un conduttore rettilineo infinitamente lungo (in modulo): µ i = oB , (4)π2 r dove r è la distanza dal conduttore; le linee di flusso del campo sono circonferenze aventi come asse il filo, orientate rispetto verso della corrente con la regola della mano destra.

Legge di Biot- Savart: un conduttore filiforme crea in P il campo: µ × i d r∫ = oB , (5)π 24 r dove l'integrale è esteso a tutto il conduttore (i è positiva o negativa a seconda che scorra o meno nel verso di d ).

Legge di Ampère: data una linea ideale chiusa: ∫ µ⋅ = B d i , (6)ΓoΓ Γ dove è la corrente concatenata con la

linea , cioè:i Γ ∫= ⋅ ; (7)i j dSΓ S Γ Γè una qualunque superficie avente come contorno , orientata conS Γ 1 Γla regola della mano destra rispetto al verso positivo di percorrenza su .infinitamente lungo.

Campo di un solenoide rettilineoAll’esterno il campo è nullo; all’interno è uniforme, diretto lungo l’asse, con versoBdato dalla regola della mano destra rispetto al senso di percorso della corrente, moduloµ= (8)B n iodove è il numero di spire per unità di lunghezza.n

Problema 1Un gas fortemente ionizzato è posto in un campo magnetico . Quali sono il massimo e ilBminimo raggio di curvatura della traiettoria di un elettrone con energia cinetica T?−= =3 2[ 10 / ; 01. ]B Wb m T eVSoluzione: = = ⋅ 6La velocità dell’elettrone ha modulo 2 / 0.59 10 / . Il raggio di curvaturav T m m s rθ2si ottiene uguagliando il modulo della forza centripeta ( /

1. al modulo sin(θ) della forza di Lorentz (&vec;F), dove θ è l'angolo fra &vec{v} e &vec{B}: |&vec{F}| = |q| |&vec{v}| |&vec{B}| sin(θ)
2. dipende unicamente da q, v e B
3. ed è compreso tra i valori 0 e |q| |v| |B|

Problema 2

Una particella di massa e carica positiva viene lanciata lungo l'asse x con velocità v in una zona dove è presente un campo magnetico. Sotto l'azione della forza magnetica la traiettoria della particella è rettilinea per 0 < t ≤ T, ed ha raggio di curvatura che varia secondo la legge r = v/(qB) per 0 < t ≤ T e rimane costante ed uguale a v/(qB) per t > T. Si dica se in base a questi dati è possibile valutare il vettore B in un generico punto della traiettoria.

Si considerino separatamente le componenti Bx e By di B.

Suggerimento: B è rispettivamente parallela e perpendicolare alla traiettoria stessa.

Soluzione:

L'energia cinetica della particella è 1/2 mv^2

2 ed il modulo di sono costanti perché il lavoro della forza magnetica è nullo. Il campo esercita una forzaB ( )= × = × + = ×F qv B qv B B qv B⊥ ⊥/ /La componente di non fornisce nessun contributo alla forza applicata allaB B/ /particella e non ha nessun effetto sulla sua traiettoria: i dati del problema non permettono quindi di valutare un’eventuale componente .B / / =Per valutare si consideri la legge fondamentale della dinamica ; poichéB F ma⊥= × è ortogonale alla traiettoria, l’accelerazione è centripeta ed ha moduloF qv B ⊥ × =2 / . Dalla relazione e dalla definizione di prodotto esterno si deducev r qv B ma⊥ ⊥che è ortogonale al piano (x, contenente la traiettoria, ed è entrante (l’accelerazioneB y),⊥centripeta sta nel piano (x, ed è rivolta verso il centro di curvatura). Il suo modulo èa y)⊥ = 2dato da / ; risulta quindi:qvB mv

r⊥= ≤ = ∞per 0 (traiettoria rettilinea, );x r0B⊥ mv x= < <per 0 ;B x x⊥ oqr xo omv= >per .B x x⊥ oqroPossiamo quindi affermare che: a) la componente di ortogonale al piano è nullaB x, y< < <per 0 , cresce lineramente per 0 e rimane poi costante; b) un’eventuale