Numeri indici

Esercizio

I Ib t 2000 tx x 2000bPer comodità di lettura, si è soliti moltiplicare il risultato per 100.x 3.855  1998I * 100 1122000 1998 x 3.4222000cioè, come indica la differenza indice - 100, la produzione del 1998 è stata del 12% superiore a quella del 2000.Infatti, la variazione tra i due anni è data dal rapporto tra la differenza del valore dell’anno base e quello diriferimento con il valore dell’anno base stesso:  x x x x 3 . 855 3 . 422 413     t b 1998 2000 0,12 12 %x x 3 . 855 3 . 855b 1998Si procede allo stesso modo per gli altri indici:x 2 . 891  1999I * 100 842000 1999 x 3 . 4222000x 3. 422   (per costruzione)2000I * 100 1002000 2000 x 3 . 4222000x 4.268  2001I * 100 1242000 2001 x 3 . 4222000 2x 5 .231  2002I * 100 1522000 2002 x 3 . 4222000x 5.782  2003I * 100 1682000 2003 x 3.4222000x 6.196  2004I * 100 1802000 2004 x 3 .4222000

1. Argomento: Numeri indici semplici
2. Dati di riferimento: Tab. 1

Trasformare la serie dei numeri indici a base fissa 2000 (calcolata nell'esercizio precedente) in base fissa 2003.

Soluzione

Dalla proprietà di circolarità o transitività dei numeri indici semplici:

x = x_r * I_b / I_r

deriva che:

I = b * I_r / t_r * I_b

Quindi, per effettuare un cambio di base, è sufficiente dividere tutti i valori espressi nelle "vecchia" base per il valore relativo all'anno della "nuova" base (espresso ovviamente nella "vecchia base").

Si dividono tutti i valori della serie a base 2000 per e, sempre per comodità di lettura, si moltiplica il risultato per 100:

I₂₀₀₀ / I₂₀₀₃ = I₁₉₉₈ * 100 / 100 = 66,7

I₂₀₀₀ / I₂₀₀₃ = I₁₉₉₉ * 100 / 100 = 84

I₂₀₀₀ / I₂₀₀₃ = I₂₀₀₀ * 100 / 100 = 100

I₂₀₀₀ / I₂₀₀₃ = I₂₀₀₁ * 100 / 100 = 124

73,82003 2001 I 1682000 2003I 152  2000 2002I * 100 * 100 90,52003 2002 I 1682000 2003I 168  2000 2003I * 100 * 100 1002003 2003 I 1682000 2003I 180  2000 2004I * 100 * 100 107 , 22003 2004 I 1682000 2003Esercizio 3Argomento: Numeri indici sempliciDati di riferimento: Tab. 1

A partire dai valori di Tab. 1, calcolare la serie dei numeri indici a base mobile.

Soluzione

La serie dei numeri indici a base mobile è costituita dalla serie dei rapporti tra ciascun valore e il rispettivo valore che lo precede, cioè dagli indici la cui base è il termine precedente quello posto a numeratore:

x = tI−t 1 / t x −t 1

Per agevolare la lettura, si moltiplica il risultato per 100.

x 2 . 891 = 1999I * 100 * 100 / 75

1998 1999 x 3 . 855 = 1998x 3. 442 / 2000I * 100 * 100

119,11999 2000 x 2 . 891 = 1999x 4 . 268 / 2001I * 100 * 100

1242000 2001 x 3. 442 = 2000x 5 . 231 / 2002I * 100 * 100

122, 62001 2002 x 4 . 268 = 2001x 5 . 782 / 2003I

100 * 100 110,52002 2003 x 5. 2312002 4x 6 . 196  2004I * 100 * 100 107 , 22003 2004 x 5. 7822003

Esercizio 4

Argomento: Numeri indici semplici

Dati di riferimento: Tab. 1

Eseguire il passaggio dalla serie degli indici a base mobile a quella a base fissa 2001.

Soluzione

La serie dei numeri indici a base fissa b si ottiene, in virtù della proprietà di circolarità o transitività, daquella a base mobile per moltiplicazioni successive:

 b per t < b  1

I i 1 i   i t 1

per t = b 1Ib t

per t > bt

I i 1 i  i b 1

Per agevolare la lettura, si moltiplica il risultato per 100.

Si ha: 1 1  I * 100 * 100 90,32001 1998 I * I * I 0,75 * 1,19 * 1, 241998 1999 1999 2000 2000 20011 1  I * 100 * 100 67 , 72001 1999 I * I 1,19 * 1, 241999 2000 2000 20011 1  I * 100 * 100 80, 62001 2000 I 1, 242000 2001 (per costruzione)I 1002001 2001  I 1, 23 * 100

1232001 2002                                                                                                      
generico bene.
Sostituendo la I usata finora per indicare i numeri indici semplici con una P per indicare i numeri indici complessi dei prezzi o con una Q per indicare i numeri indici complessi delle quantità, si ha:
p = ∑(tj * w * p * qj * bj) / ∑(tj * w * p * qj * bj)
j j1 1
bj = bj
LPb = ∑(tj * w * p * q * bj) / ∑(tj * w * p * q * bj)
j j1 1 1
Il numero indice dei prezzi proposto da Paasche, invece, indica la variazione relativa media del prezzo degli n beni ipotizzando come quantità costanti quelle relative alla situazione t (ponderazione variabile), dove si ha il peso:
w = w
p = ∑(tj * w * p * qj * bj * tj) / ∑(tj * w * p * qj * bj * tj)
j j1 1
bj = bj
PPb = ∑(tj * w * p * q * bj * tj) / ∑(tj * w * p * q * bj * tj)
j j1 1 1
Gli indici proposti da Laspeyres e Paasche danno luogo a risultati in generale diversi, che, a seconda della situazione, tendono a rispettivamente a sottostimare e sovrastimare (oppure viceversa) il fenomeno analizzato.
Quando risulta opportuno, per superare questa dicotomia si fa ricorso all'indice - detto ideale - di Fisher, che è pari alla media geometrica dei precedenti:
FL = PP * Pb * tb / Pb * tb
In modo analogo è possibile ricavare le formule per i numeri indici delle quantità proposti da Laspeyres, Paasche e Fisher.
Ricordando che l'indice j fa riferimento ai beni considerati, si passa al calcolo degli indici richiesti.
Indice dei prezzi di Laspeyres del paniere per l'anno 2001 in base 2000:
n∑ pq2001j / pq2000j * 5 * 52 / 4 * 25 = 260 / 100 = 360
j=1
LP = 174,8
Indice dei prezzi di Paasche del paniere per l'anno 2001 in base 2000:
n∑ pqj2001 / pqj2000 * 5 * 53 / 4 * 19 = 256 / 76 = 341
j=1
PP = 173,1
Indice dei prezzi di Fisher del paniere per l'anno 2001 in base 2000:
F L PP P * P 174,8 * 173,1 173,9b t 2000 2001 2000 2001

Osservando la presenza di un processo inflazionistico (i prezzi dei beni aumentano nel tempo), secondo la teoria del consumatore, si tende a sostituire nel consumo i beni i cui prezzi crescono più velocemente con quelli i cui prezzi crescono più lentamente. Questo significa che un indice Laspeyres sovrastima il tasso di crescita dei prezzi, ovvero l'inflazione, mentre un indice Paasche la sottostima. Maggiore è il tempo che passa dalla revisione della base, più elevata risulta la divergenza tra i due indicatori. L'indice di Fischer, in un caso come questo, neutralizza le distorsioni di cui soffrono gli altri due indici.

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