Numeri complessi

Numeri complessi

Piano di Gauss

Ogni numero complesso può essere rappresentato nel piano di Gauss. Per rappresentare un numero complesso occorre fissare un'unità di misura. L'asse orizzontale, cioè l'asse delle ascisse, è l'asse reale, mentre quello verticale, chiamato l'asse delle ordinate, è l'asse immaginario.

Ogni numero z = a + ib sarà rappresentato da un punto del piano A con a = OA (parte reale) e b = OA' (parte immaginaria). Il punto A, complanare ad O e A'₁, si chiama affisso.

Equazioni algebriche

Nel calcolo algebrico spesso si incontrano equazioni algebriche di 2^o, 3^o o 4^o grado, ecc., per le quali non si riesce a trovare soluzioni tra i numeri razionali. Anche tra le equazioni di 2^o grado sono molte quelle che non ammettono soluzioni razionali.

Consideriamo ad esempio l’equazione x² + 1 = 0; non esiste infatti un numero razionale che elevato al quadrato dà -1. Due sono i numeri che elevati al quadrato danno 1, essi sono: 1 e -1 (ossia 1²=1; (-1)²=1).

Equazioni con parametro λ

λ < 0

ax² + bx + c = 0

Δ = b² - 4ac

x = α - iβ

(i)² = -1

Se x ∈ ℝ (x)² ≥ 0

Relazione d'ordine

A e B separabili: ∃ a ∈ A e b ∈ B: a < b

x, y ∈ ℝ   x ≤ y

Se x ≤ y   − y ≤ x ≤ y

Q ∈ [0, 1] ∩ ℝ

Proprietà algebriche

x ≡ y

x ≥ 0

z ≥ 0

x = z · x/x'   x' y

y = z · y

z < 0

z × x ≥ y

x² > 0

x² - 0 ⟶ x ≠ 0

(x/z)y² ≥ 0 ⟶ {x ≪ 0}(y ≥ 0)

x²z y² ≥ 0 ⟶ {z ≥ 0}

λ_ℝ y² < 0

c = 0 sempre soddisfatto

vera ∃ (x, y) ∈ ℝ² ∩ [0, 1]²

c ≠ 0

x² ≥ ∅

Vero altrimenti λ ≥ 0