Funzioni, variazioni e numeri indici

Rappresentazione della retta y=3+2x

Unendo i punti corrispondenti a x e y, si ottiene la rappresentazione della retta y=3+2x.

Il significato del coefficiente [a]

Il coefficiente a è il valore della y quando la x è uguale a 0. Dal punto di vista geometrico rappresenta l'intercetta sull'asse delle ordinate, ossia il punto in cui la retta taglia l'asse delle y. Nel caso del nostro esempio avremo: y = 3 quando x = 0.

Il significato del coefficiente [b]

Il coefficiente b è chiamato coefficiente angolare e definisce l'inclinazione della retta. Ha una duplice rilevanza: nel segno e nel valore. Il segno, positivo o negativo, indica se la retta è crescente o decrescente. Il valore indica quanto è inclinata la retta rispetto all'asse delle x.

crescere di una variabile comporta che l'altra variabile decresce

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Il significato del coefficiente b

Il valore di b definisce quanto è inclinata la retta.

A valori bassi di b corrispondono rette più "schiacciate" sull'asse delle x, mentre a valori più elevati corrispondono rette più "verticali".

b

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Riassumendo:

• Sul piano cartesiano, le rette sono rappresentate da equazioni del tipo y=a+bx
• Il coefficiente a indica l'intercetta della retta con l'asse delle y (asse verticale)
• Il coefficiente b indica l'inclinazione della retta
• A segno positivo corrispondono rette crescenti, mentre a segno negativo rette decrescenti
• Il valore di b definisce quanto è inclinata la retta rispetto all'asse delle x (asse orizzontale)

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Esercizio

1) Rappresentare la retta: y = -3x + 12

Indicare:

1. L'intercetta con l'asse verticale è il punto (0, 12)
2. Il valore del coefficiente angolare è -3
3. L'intercetta con l'asse orizzontale è il punto (4, 0)

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Esercizio Y

1) L'intercetta con l'asse verticale è il punto (0, 12)

12 = -3(0) + 12

2) Il coefficiente angolare è -3

3) L'intercetta con l'asse orizzontale è il punto (4, 0)

X: 1, 2, 4

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Concetto di percentuale

Per valutare l'aumento o la diminuzione di una grandezza si può utilizzare la percentuale, che esprime il rapporto tra due quantità moltiplicato per cento

Esempio:

Sapendo che un paese ha 16 milioni di abitanti e 12 milioni di lavoratori, per calcolare la percentuale di lavoratori sul totale della popolazione si procede facendo il rapporto tra numero di lavoratori e numero di abitanti e moltiplicando per cento.

Lavoratori: 12,000,000

12,000,000 / 16,000,000 * 100 =

X 100 = X 100 = 0.75 X 100 = 75%

Tot. 16.000.000 16 4popolazione

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Concetto di percentuale

Molte grandezze in economia sono espresse sotto forma di percentuale; ad esempio il tasso d'interesse come mostrato nell'esempio.

Esempio:

Se il rendimento di una obbligazione statale è pari al 5% annuo e investiamo 2.500 euro, alla fine dell'anno avremo: capitale + interesse (5%) = 2.500 + (2.500 x 0,05) = 2.500 + 125 = 2.625 oppure più semplicemente 2.500 x 1,05 = 2.625

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Concetto di proporzione

Se due grandezze sono correlate tra loro, è possibile stabilire dei rapporti di proporzionalità. Le due grandezze si dicono:

Direttamente proporzionali se all'aumento (diminuzione) di una grandezza, corrisponde un aumento (diminuzione) della grandezza correlata

Inversamente proporzionali se all'aumento (diminuzione) di una grandezza

corrisponde una diminuzione ( aumento9della grandezza correlata

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Concetto di proporzione

Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti a : b = c : d e si legge "a sta a b, come c sta a d".

I quattro termini della proporzione sono denominati

• a e d estremi
• b e c medi

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi; cioè permette il calcolo di uno qualsiasi dei medi e degli estremi noti gli altri tre.

Se in una proporzione il termine incognito è un estremo, per calcolarlo si divide il prodotto dei medi per l'estremo noto. Se a essere incognito è un termine medio, per calcolarlo si divide il prodotto degli estremi per il medio noto.

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Concetto di proporzione

Esempio:

Se in una settimana un artigiano produce 10 paia di scarpe quante ne produrrà in un trimestre (12 settimane)?

1 (settimana) : 10 (paia) = 12

1. (settimane) : X (paia), da cui1 x X = 10 x 12X = 120 (paia)

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Variazioni assolute e variazioni percentuali

A partire da una grandezza, possiamo considerare due tipi di variazione:

1. Assoluta
2. Percentuale

Esempio: consideriamo il prezzo di un bene che cresce da 60 a 75 euro.

La variazione assoluta è data dalla differenza fra il prezzo attuale e quello precedente, ossia:

∆ = 75 - 60 = 15

La variazione percentuale sarà, invece, data dal rapporto fra la variazione assoluta e il livello iniziale del prezzo (moltiplicati per 100), ossia:

∆% = (15 / 60) * 100 = 25%

La variazione percentuale ha un contenuto informativo diverso rispetto alla variazione assoluta.

Consideriamo il seguente esempio:

• il prezzo del bene A aumenta da 10 a 15 euro

Il prezzo del bene B aumenta da 250 a 255 euro

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Variazioni assolute e variazioni percentuali

Le variazioni assolute saranno uguali:

∆A = p₁₅ - p₁₀ = 5

∆B = p₂₅ - p₂₅₀ = 5

Ben diverso è, invece, il risultato di un confronto fra le variazioni percentuali:

∆p_A = (p₁₅ - p₁₀) / p₁₀ = 0,5 = 50%

∆p_B = (p₂₅₅ - p₂₅₀) / p₂₅₀ = 0,02 = 2%