numeri complessi

E

Lineare ¢

SCHLESINGER .

|

i :

no ÷ : :

: :

:

:: vettoriali

spazi

-

µ ¢ lineari

sistemi

Chiamiamo insieme dei numeri complessi -

' . l' insieme delle ordinate reali

di numeri

coppie . -

}

{ 1/3/19

b)

¢ ( IR

b ordinati

a e

a.

:

= , , ( b)

è ER

,b

Z Z a.

complesso

numero se

un a

= ,

DI oi complessi

numeri

somma

: ¢ ( d)

( ¢

b)

Z W

E e

ci

a.

= =

l' ( )

" (

(

" )

¢ che ( d)

tale b)

è ZTW s

btd

in a c.

t

operazione ate

=

= t

, ,

DI moltiplicazione Di complessi

numeri

: )

( ) P

l' (

/ ¢

d)

¢ ( bd

b)

"

" è bctad

tale Zew

che E

operazione in ac

a. c.

o . -

= = ,

(5) (

PROPRIETÀ P

di )

e Wtc

( d)

¢ b)

Z

Z W e a.

y = ,

,

,

1) ¢

Zt ¢

allora Z

W E W E

.

commutativa

2) (

(

:( da

( b)

b)

Ztvv )

Z btd ) Wt Z

WTZ

tw Gd cta

atc =

a.

= =

+ =

, , ¥

I

WZ

ZW = definizione

commutativa per

prop . IR

in §

(

:( d) (

(

(

)

(

) ) d) b)

db

Z ,b cbtda WZ

bd bctad

W a ae ca c. a.

ci

- =

. - = =

- , ,

¥

DEF

3) associativa (

( ) )

ztw Z wty

ty t

=

Lzwly zlwyi

=

ELEMENTO NEUTRO

4) -02=4,51

Z fissato

jn ?

( ) EIR

Zt Z a

o.O c.

=

( d)

2- z

c. = È

!! : " '

!

! :

: :

% / ;

→

: ;

canini :* i. ← "

. . ⇐

" .

. . ( )

nella è 1,0

elemento

Moltiplicazione neutro

( (

( (

)

)

b.) b)

1,0 bto

ci

a. a.

o

= =

- ,

PROPRIETÀ

5) DISTRIBUTIVA

( ytzl

W wytwz

=

DI complesso

Opposto DEL numero

" " E

¢ (

Z ) )

z Zt

e 0,0

z =

=

.

DI INVERSO NUMERO complesso

"

t

" (

¢ )

( ' 1,01

.

z

z Z

e z

= =

,

'

Pieta zfa

¢ b)

z e , fa Zttzt

1) ( fa ( fqo

b)

b)

Esiste b)

b) )

Z b-

Z a. a

t

= : a-

- =

- - - =

,

,

,

,

' ! 11.0

" It

÷ la

2) E ±

:* !÷

.si

E '

esiste ±

)

aIIa ÷

zz

( )

= ( =

, =

)

-

, - , ,

- citta citta

' '

, citta '

, }

{ ¢

(

sottospazio

011 b) D=

¢

Di a o

E :

, "

ta (

2-1=1%0 )

) "

IR

AEIR ( col

Equivalenza e o a

na

a. a.

: =

, ,

( b)

Zi IR

IR

be numeri

i nulla

seconda

complessi

identifico

o componente

con con

=p

,

. , .

"

"

DI :(

UNITÀ il

chiamiamo i

immaginaria unità )

i

immaginaria 0,1

numero complesso

:

Forma userai connessi

oei

Algebrica

TEOREMI ¢ si tib

(

Ogni consenso Z

può

b) E a

Z

numero come

scrivere

a. =

-

- _

( (

0,1lb ( (

atib

Z )

) )

a b.

0,1

Cit t

o

= = o

± ,

ti la

"

" i

OEF EQUIVALENZA

4,0 ¢

)

Racer e

µ ( b)

) b)

o + o =

,

, "

" (a) b)

Chiamiamo Z

Relzt Retz atib

reale IR

)

di z a e =

:

parte = =

, "

" Inizi

b

Inizi IR

di z e

immaginaria

. =

:

n ,

(

(

Z d)

b)

tw a. t

= c. / )

i

(

atib

Z btd

)

ztw t

= ate

=

→

id

we Ct 4/03/19

?

11,0 ( P)

) è elemento

Proposizione neutro per

:

(

( b) di ( b)

a. a

c. = ,

-

( bd ) ( b)

adtbc

ac . a.

=

, ale

bd bd

ac )

-1

a

- = =

{ a(

b

adtbc tofo D=

se

= b

(

È

bc ) b

-1

e

+ =

b

alle

2 1)

b ?

b

e -1 =

.

" "

" " " '

" " "

" ° "

:

: I

se :c

= 1 » .

. J

il beo

manca caso

-

[ ✓ ¥I

ac

nel

b- {

sistema ; -0

o

o { a

⇐

impongo - ad =

z.IT l'

di elemento

patto neutro

prendere :

a proposizione

( (

PI è è )

1,0

unico ed

per ÷

è :÷=;÷ iii. i ÷

÷

: . - -

.

.

, (

il

i. ( ) -1,01

( -1

)

( )

0,1

an → 0,1

= =

=

DI (

CONIUGATO Di in forma

UN NUMERO Complesso )

algebrica

¢

atib

Z e

= " il

E

" capture

definiamo di Z n

coniugato :

E. ib

a-

proprietà

- ¢

e

7. w 5)

Ztw

1) E IR

tw E

z z E

⇐

= =

È

I.

ZVT rt

2) 6) z

= =

Imfz

È

3) Retz È )

Zt 2

)

2 Z =

-

= ,

t.EE R

4) Pin (

1) ( ( (

)

)

( )

( id )

btd ) E

ib

Ztw i

) ti E

btd etc a

atc e

→ t

=

= +

- - - =

Z E

ib ib

at

= a-

→ =

E

id

We id

Ct :c

→ . (

(

(

(

2) ZVT )

)

) bd

i i adtbc )

bd bctad

Zw ac

→

ac + -

= = .

- (

(

à )

)

( i

( b) )

i id adtbc

it bd

a ac

e

= - -

.

. . .

3) tilt (

E

Zt )

Re

2

2a z

a

a

= =

E Lz )

ib

ib

Z Zib 2 In

cit =

a

- =

+

= -

4) ZE =

µ Di

MODULO un complesso

v.

¢ '

ib

Z Proprieta

E

at

= È

⑦ IZIZO ¢

IR Z E

-3 w

= → , IZ.ru/=lHlwI

1) lzlzo 3)

{ Ho e

⇐ Retail

µ I là

E

III. lzl

2) lztw

5) E Izlt MI TRIANGOLARE

OISUG

) .

0in

1 IZI 70

ai lato 7=0

-0

a

o

⇐ →

{ b 0

=

I

2) ib

a-

= è

IEI

3) lzl

= =

= (

( ) )

4) bd adtbc

ZW ti

ac

= - -

=/ ? ?

HWI ( ( )

bd tbc

) ad

ac =

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bè

ah ?

' baci

?d Lab

Zabcd cd

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t

t t

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-

= -

ciccia ' ) ( il

d'

'

b

i a

= +

IÌ TÈ

atti ' IZI lui

= = = .

IZI " their

Iznl

01 = I

artisti

HI I Rechi

tal

>

= =

= LI

5) lztwl lzltlwl

E Oisug .

o

⇐ ?

? ltzltlwl (1)

)

Iztwl E ( btd )

i

( )

2- tw t

a te

=

Iztwl ? ?

! ?

al ?

c'

( Zbd

) ( b td

btd Zac

)

Atc t t

t

= t

+

CÀ

cit '

MI

IZI = ,

tzltlwif-atbtcl.at?Itd=t2taFtctT "

( ⑦ vale A

se oisy

/

(2) 4754

? (

(

② c'

Cactbd ' ) )

bd

se )

O E td

act Ì 3

o

⇐

( è

bd verificata

o (2)

se act sempre

Ti ? bll

che ? Zabcd

t

+ La

ciò '

' di bad

t t

t

(3) ?

ad '

BE

vale Zabcd

7

se t

?

( '

tlbc

ad ) ) Zabcd 20

-

'

( bel

ad SERE

70

-

PROPRIETÀ

- DI

¢ twitt

IZ wl HI

W /

E

z 7

- -

, IZ

IZI I IZ

E wltlwl

w tw

= - -

4=0 IZI IZ wl

E

lui

IZI Oisy Triangolare

- -

IZ lz

wl mi wl .

E

E

- -

- - IWI Iw Iw Zlt lzl

Ztzl wlt

IZ

Z

E

-

= - -

=

lz wl

lui

IZI 7 -

-

-

FORMA TRIGONOMETRICA

- Piano Cartesiano Oxg

Pete b)

b ÷ ,

, ¢

tra Pino z

www.ca

corrispondenza e

e

,

.

COOROINATEPOLARIRIP 72

) 0=10,01 PEIRT

distanza da

P

di ;

a p

: p

,

, [ ] !

di

× di

0,2A 2T

E multipli

a meno OP in

che sovrapporsi antiorario

compie a

× verso

asse

angolo per

:÷ :

i

. ci lzl

=

p =

fa b)

Z ,

⑦ ( Trigonometria

atib ip FORMA

) di

ti

cosa complesso

cosa sino n

sino →

= = p

t

= p un . .

tti :D 1

Z b

a

§ = =

✓ trigonometria

fame

µ 3T 2

:

f- ?

di fusa cosa ti %

a- =

/

→

{ →

. sina.pe

b pana

=

( sin

2 costati

2- =

Esercizio " È

¢

Zo Zo

W = OATO

E ne

,

Trovare W

Di NUMERI COMPLESSI

PRODOTTO TRIGONOMETRICA

Forma

IN

-

( )

ti sino

2- cosa

Pa

= ( )

ti

w cosa

= sinp

pe ( ( )

)

ZW tisina

cosa cosptisinp

papa

= ( ( )

) i sintcosp cosasinp

sinp

cosa sino +

cosp

papa

= +

-

- -

(

( )

sin

)

cos atp atp

[ ( (

i

) p)

sin a

Ap

papa #

= cos t ]

[

" )

( (

" )

the Moine

Forma

i

IN sin

Z na oi

p cos o

no

→ -

= + -

( )

2- tisina

cosa

= p "

Iair

f-

Culmine )

⇐ ÷ tifo

-1

z = FI 2

:-/

a p =

.

'

" * :÷

I : : ⇐ a

=

1

.

( )

(