Nucleo, Immagini, Omomorfismi ed Isomorfismi: Esercizi svolti

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e S = {v₁, ..., v_n} una base di V. Allora un generico vettore v di V può essere scritto in un'unica combinazione lineare di vettori di S con

∀ v ∈ V, ∃! c₁..., c_n ∈ K : v = c₁v₁ + ... + c_nv_n

Esercizio

Sia φ la funzione V → Rⁿ che associa ad ogni vettore x = l'_i=1ⁿ a_iv_i l'n-pla (a_i)_i delle sue componenti rispetto alla base S con

φ(x) = (c₁, ..., c_n) = (a_i)_i

Si provi che

1. φ è un isomorfismo
2. B = {v₁, ..., v_n} sia una base di V; v ₁, ..., v_s ∈ V e w₁, ..., w_t ∈ W dimostrato che se (v₁, ..., v_s) è una base di R^r allora (v₁, ..., v_s) è una base di R^r.

Poiché a = φ(a) priva un sottomodulo si pone

y = d₁v₁ + ... + d_sv_s, v_su ∈ R^r

= (c₁, ..., c_s) + (d₁, ..., d_s) = φ(φ(y) + φ(φ(y))

= (c₁, ..., c_n) + (d₁, ..., d_n)

Quindi è un isomorfismo.

Verifichiamo se φ è un isomorfismo φ è bijettivo

1. sovrabbondanza: ogni n-pla (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ può sempre scritta come immagine di qualche v ∈ V poiché:

x = x₁v₁ + ... + x_nu, ∀ v ∈ V. x = (c_i, ..., x_n) ∈ (V). S

I rispettivi in questo (a_i = C_i - x_i) ∈ (V,t) (y_i, y_n) si ha

(a_i)_i = (v₁ = x₁v₁ + ... + x_nu = y₁v₁ + ... + y_nv_n . α . y

Idea per un isomorfismo

Sia φ un isomorfismo e immagine di una base di V cioè φ(_v1),..., φ(_vn)

Permette una base di Rⁿ.

Esercizio

Sia φ: R³→R² l'operatore lineare tale che φ(4,0,0) = (4,1), φ(0,4,0) = (2,0)

1) Calcolare φ(4,3,2,1)

2) Calcolare φ(4,y,t)

... 1 = < (4,0,0),... =y=4

Es. n. 1

Data l'applicazione ƒ(x,y,t) = (x-y, x+2z) S: trova il nucleo e l'immagine di ƒ e la rispettiva dimensione.

Per trovare il nucleo di ƒ bisogna risolvere il sistema:

Quindi il nucleo è formato dal vettore (-2, 2, 1) e ha dimensione pari ad 1.

Se dim Ker ƒ = 1 dim Im ƒ = 3-1 = 2

Infatti, i p. che si spos Amicalia che Belowi:

Dove trovare, inoltre, due l, della.base sono n.a. Im ƒ:

Es. n. 2

Data l'applicazione F(T²-1) di ƒ(x,y,t) = (xx, x, x). S: trovare una base del Flusso. è una base dell'immagine S:')

L'applicazione ƒ₁ associa alla matrice A