Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

8

 d = −

Q 50 P

 (8)

 s

 =

Q P - 30

d s

Posto Q = Q , ovvero 50 – P = P – 30, otteniamo P* = 80/2 = 40 e Q* = 10.

P

40.5

40

39.5

0 9.5 10 Q

Figura 7: Imposta Fissa d

Introduciamo ora una imposta fissa sugli acquisti T = 1; la funzione di domanda inversa P = 50 - Q,

d d

dopo l’introduzione dell’imposta fissa, può essere riscritta come P = 50 - Q - 1 da cui P = 49 - Q.

s

Consideriamo la Funzione di Offerta Inversa P = Q + 30; l’equilibrio è dato da 49 - Q = Q + 30 da

d s

cui Q’ = 19/2 = 9.5 ed il Prezzo Lordo è P ’ = 40.5, mentre il Prezzo Netto è dato da P ’ = 39.5 –

Figura 7. Il gettito fiscale è dato da GF = TQ’ = 1(9.5) = 9.5. Inoltre la parte di imposta che grava

d

sui consumatori è data da P ’ – P* = 40.5 – 40 = 0.5 ed in termini percentuali da 0.5/1 = 1/2.

s

Similmente per il produttore P* - P ’ = 40 – 39.5 = 0.5 ed in termini percentuali 0.5/1 = 1/2. Quindi

il 50% dell’imposta grava sui consumatori, mentre il restante 50% sui produttori.

Esercizio sulle Imposte Proporzionali: d s

Consideriamo la Funzione di Domanda Diretta Q = 275 – P e la Funzione di Offerta Diretta Q = P

– 40. Vogliamo determinare l’equilibrioe studiare gli effetti della introduzione di una imposta

proporzionale sulle vendite con aliquota t = 0.25.

Soluzione:

Determiniamo l’equilibrio risolvendo il seguente sistema:

 d = −

Q 275 P

 (9)

 s

 =

Q P - 40

da cui 275 – P = P – 40 e P* = 315/2 = 157.5 con Q* = 117.5. 9

P

175

157.5

140 0 100 117.5 Q

Figura 8: Imposta Proporzionale s

Dopo l’introduzione delle imposta proporzionale sulle vendite, la funzione di offerta inversa P = Q

s

+ 40 diventa P ’ = (Q + 40)(1 + 0.25) da cui 1.25Q + 50. Troviamo l’equilibrio tramite 1.25Q + 50

d

= 275 – Q, dove P = 275 – Q rappresenta la Funzione di Domanda Inversa. Dalla precedente

d s

uguaglianza otteniamo Q’ = 100, il Prezzo Lordo P ’ = 1.25(100) + 50 = 175 ed il Prezzo Netto P ’

= 100 + 40 = 140.

b) Derivate

1. Funzioni ad una variabile: Definizione di Derivata e Tabella delle Derivate

Data una funzione y = f(x) ad una variabile (anche detta funzione univariata), con y variabile

dipendente ed x variabile indipendente, ci proponiamo, in quanto segue, di studiare il tasso medio di

variazione di f(x) in corrispondenza di variazioni della variabile indipendente x.

Sia f(x) una generica funzione, definita in un intervallo [a,b], ed x ne sia punto interno;

o

supponiamo che la variabile indipendente vari da x , punto iniziale, ad x e che la funzione f(x) vari,

0 ∆x ≡

corrispondentemente, da f(x ) ad f(x). Se indichiamo con x - x la variazione della variabile

0 0

∆y ≡

indipendente e con f(x) - f(x ) la variazione della funzione, il rapporto:

0 f(x) - f(x )

0

∆y/∆x = (10)

x x 0 ∆x ≡ ∆x,

che possiamo anche scrivere, dato che si ottiene dalla x - x l’espressione x = x + come:

0 0

+ ∆ −

f (

x x ) f (

x )

∆y/∆x 0 0

= (11)

x

è detto rapporto incrementale della funzione f(x) in un intorno del punto interno x .

0

Il rapporto (10) (oppure (11)) fornisce il tasso medio di variazione della funzione f(x) e può essere

calcolato se conosciamo il valore iniziale di x, che abbiamo indicato con x , e la grandezza della

0

∆x ∆y/∆x

variazione in x, che abbiamo indicato con (il rapporto incrementale è così una funzione di

∆x).

x e

0 10

λ ∆y/∆x, →

Il limite , se esiste, del rapporto incrementale definito nella espressione (10), per x x 0

λ, ∆y/∆x, ∆x →

(oppure, analogamente il limite se esiste, di definito nella espressione (11), per 0):

f(x) - f(x ) + ∆ −

f (

x x ) f (

x )

0 0 0 λ λ

lim = lim = con reale finito (12)

→ ∆x →

x x0 0

x x ∆

x

0

rappresenta la derivata prima di f(x) nel punto x e si dice che la funzione f(x) è derivabile in x .

0 0

Notazione:

Indichiamo la derivata prima di f(x) in x , con: f’(x ), (la notazione è dovuta a Lagrange), con

0 0

(dy/dx) , (la notazione è dovuta a Leibnitz) oppure con Df(x ).

x = x0 0

Dato che la derivata è il limite del rapporto incrementale ed il rapporto incrementale misura un

tasso di variazione di y, la derivata a sua volta deve essere la misura di un tasso di variazione.

Inoltre poichè la variazione in x è infinitesimale, il tasso misurato dalla derivata è per sua natura un

tasso istantaneo di variazione.

Interpretazione geometrica:

La derivata f’(x ) è la pendenza della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto di

0

coordinate (x , f(x )) (Figura 9):

0 0 y B

f(x + h)

0 A

f(x ) retta tangente la cui pendenza è la derivata

0 0 x x + h x

0 0

Figura 9: Rappresentazione grafica della derivata prima della

funzione f(x).

∆y ∼

Se vale f’(x )∆x, la derivata che è il fattore di proporzionalità può essere assunta come

0

indicatore della sensibilità a variazioni dell’argomento attorno a x .

0

Alcune osservazioni: ∞

1) E’ importante osservare che il limite del rapporto incrementale (11) può essere uguale a + o a -

∞, ∞

dove il simbolo indica l’infinito. In questo caso la funzione si dice dotata di derivata nel

punto x . Utilizzeremo sempre la notazione precedente.

0 11

2) Diremo che la funzione f(x) è derivabile nell’intervallo [a,b], se essa è derivabile in tutti i punti

interni di [a,b]. In questo caso si ha una funzione x f’(x) che viene detta funzione derivata

prima e che indichiamo nel modo seguente (la derivata prima non è solo nel punto interno x ma

0

anche in tutti i punti interni dell’intervallo [a,b]): f’(x), Df(x), oppure (dy/dx).

3) E’ possibile considerare le derivate successive, ammesso che esse esistano, alla derivata prima.

La derivata f’(x) è essa stessa una funzione di x definita nell’intervallo [a,b]; se f’(x) è derivabile

nell’intervallo [a,b], chiameremo la derivata di f’(x) derivata seconda. E così via per la derivata

terza fino alla ennesima.

Tabella A - ALCUNE DERIVATE FONDAMENTALI PER

FUNZIONI AD UNA VARIABILE:

La seguente tabella riporta in modo sintetico ed intuitivo alcune derivate fondamentali.

Applicando la definizione di derivata, si possono ottenere le seguenti derivate (con la notazione

D(x) indicheremo la derivata della funzione f(x) rispetto all’argomento x; y = f(x) è la funzione

cosidetta primitiva, x la variabile indipendente od argomento della funzione, y la variabile

dipendente):

funzione derivata

c costante Dc = 0

x Dx = 1

m m m - 1

x m reale Dx = mx

m m m - 1

[f(x)] m reale D[f(x)] = m[f(x)] f'(x)

2

c/f(x) c costante D[c/f(x)]= - [cf ’(x)/(f(x)) ]

m

m/n

oppure x m,n N

m

x

n D =

m

x

n −

n n m

n x

m/n (m - n) / n

oppure Dx = (m/n)x

∈ m/n (n - m)/n

Df(x) = (mf '(x))/(nf(x) )

m/n

f(x) m,n N

x x x

a a > 0 e x reale Da = a loga

f(x) f(x) f(x)

a a > 0 e x reale Da = a f'(x)loga

x x x

e De = e

f(x) f(x) f(x)

e De = e f'(x)

≠ Dlog x = 1/(xloga) = (1/x)log e

log x a > 0, a 1 e x > 0 a a

a ≠ Dlog f(x) = f’(x)/[f(x)loga] = [f’(x)/f(x)]log e

log f(x) a > 0, a 1 e f(x) > 0 a a

a

logx = 1/x x > 0 Dlogx = 1/x

logf(x) f(x) > 0 Dlogf(x) = f’(x)/f(x)

ESEMPI TABELLA A:

D4 = 0 12

Dx = 1 1/3 – 2/3

D[ ] = 1/(3 ) la precedente derivata può essere riscritta come Dx = (1/3)x

3 3 2

x x 1/6 – 5/6

analogamente D[ ]= 1/(6 ) e la derivata può essere riscritta come Dx =(1/6)x

6 6 5

x x

4 1/3 4 - 2/3 3 3 4 - 2/3

D[1 + x ] = (1/3)[1 + x ] 4x = (4/3)x [1 + x ]

3 2 3 2

D[1/(1 + x )]] = - 3x /(1 + x ) 2/5 – 3/5

D[ ] = 2/( ) che puo' essere riscritta come Dx = (2/5)x

5 5

2 3

x 5 x

1/4 - 3/4

D(1+x) = (1/4)[1+x]

x x

D4 = 4 log4;

(1+x) (1+x)

Da = a loga;

x x

De = e ;

2x 2x

De = 2e

Dlog x = [1/(xlog2)] = (1/x)log e

2 2

2 2 2

Dlog (1+x ) = 2x/[(1+x )log2] = [2x/(1+x )]log e

2 2

Dlogx = 1/x con x > 0

2 2 2

Dlog(1+x )= 2x/(1+x ) con (1+x )> 0

TABELLA B - REGOLE DI DERIVAZIONE

Ipotizzando che f(x) e g(x) siano funzioni della stessa variabile indeterminata x, che siano definite

in uno stesso intervallo e che siano derivabili in un punto x di questo, si dimostra quanto segue:

o

1) D[cf(x)] = c f'(x) con c costante;

la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale alla costante per la derivata della

funzione. ± ±

2) D[f(x) g(x)]= f'(x) g'(x);

la derivata della somma o della differenza di due funzioni è uguale alla somma od alla differenza

delle derivate delle due funzioni. Tale regola si estende anche al caso di piu' di due funzioni.

3) D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x);

la derivata del prodotto di due funzioni e' uguale alla somma del prodotto tra la derivata della prima

funzione per la seconda funzione non derivata ed il prodotto della prima funzione non derivata per

la derivata della seconda funzione. Tale regola si estende anche al caso di piu' di due funzioni.

f’ (x)g(x) - f(x)g’ (x) ≠

4) D[f(x)/g(x)] = con g(x) 0;

2

[ g (

x )] 13

la derivata del rapporto tra due funzioni e' uguale alla differenza tra il prodotto del numeratore

derivato per il denominatore non derivato e il prodotto tra il numeratore non derivato per il

denominatore derivato, tutto fratto il denominatore non derivato al quadrato.

5) Se la funzione f(x) e' derivabile in un punto x con f'(x) 0 e se e' invertibile in un intorno di x ,

o o

-1

la funzione inversa f (x) e' pure derivabile e la sua derivata e':

-1

df (x ) 1

0 =

dx df(x ) / dx

0

6) Se f(x) e' dotata di derivata in un punto x , se e' continua in x e crescente o decrescente in tutto

o o

-1

un intorno di tale punto, la derivata di f (x) e' nulla in x .

o

7) Se f(x) e' continua in x con derivata nulla e' crescente o decrescente in tutto un intorno x , la

o o

∞ ∞

-1

funzione f (x) e' dotata di derivata rispettivamente + o - nel punto x .

o

8)Se f(x) e g(x) sono funzioni della stessa indeterminata x, definite in uno stesso intervallo e

derivabili in un punto x di questo, la funzione composta F = g f e' essa pure derivabile e la sua

o

derivata e': dF(x) df[g(x)] dg(x)

=

dx dg(x) dx

Se y = f(z), ove z = g(x) da cui y = f[g(x)], possiamo riscrivere la precedente derivata come segue:

dy/dx = (df/dz)(dz/dx)

ESEMPI:

3/4 - 1/4

D4x = 3x ;

3 2

D[x + logx] = 3x + (1/x);

D[xlogx] =1 logx + x(1/x) = logx + 1;

3 4 4 3 3 4 4 3

4x (1 + x ) - (x - 1)4x 4x (1 - x + 1 + x ) 8x

= =

4 4

D[(x -1)/(x +1)]= 4 2 4 2 4 2

[(1 + x )]

[(1 + x )] [(1 + x )]


PAGINE

15

PESO

185.36 KB

AUTORE

Moses

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
Docente: Non --
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Microeconomia I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Non --.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Microeconomia i

Monopolio
Esercitazione
Minimizzazione dei costi
Esercitazione
Equazione di Slutsky con reddito da dotazione
Esercitazione
Oligopolio
Dispensa