Microeconomia - Esercitazioni

P

P^ = 52 B E

P* = 50 A

P^^ = 40 C

0 Q* = 10 Q

Figura 3: Surplus del Consumatore e Surplus del Produttore

Il Surplus del Consumatore, che definiamo come la differenza tra l’ammontare che i consumatori

sono disposti a pagare per ottenere una certa quantità del bene di consumo e quello che

effettivamente pagano quando l’acquistano, è dato dall’area del triangolo BAE: 10(52 – 50)/2 = 10,

con P^ = 52 il prezzo che otteniamo dalla funzione di domanda inversa P = 52 – (1/5)Q ponendo Q^

= 0. Definiamo i Surplus dei Produttori come la somma dei profitti lordi che le imprese realizzano.

Il Surplus del Produttore, nell’esercizio, è dato dall’area del triangolo CAE: 10(50 – 40)/2 = 50,

con il prezzo P^^ = 50 che otteniamo dalla funzione di offerta inversa P = Q + 40, ponendo Q^^ =

0.

4. Pavimenti e Tetti di Prezzo

I Tetti ed i Pavimenti di Prezzo possono essere considerati come forme di intervento con cui, ad

esempio, ovviare alle tensioni inflazionistiche e deflazionistiche mediante il congelamento dei

5

prezzi oppure l’imposizione di prezzi minimi. Vogliamo studiare in quanto segue gli effetti di tale

politiche.

Esercizio sul Tetto di Prezzo: d s

Consideriamo la Funzione di Domanda Diretta Q = 400 – 2P e la Funzione di Offerta Diretta Q =

2P – 100. Vogliamo determinare l’equilibrio; supponiamo inoltre che lo Stato decida di intervenire

fissando un prezzo P’ del 10% inferiore rispetto al prezzo di equilibrio. Vogliamo studiare gli effetti

dell’imposizione di tale Tetto di Prezzo.

Soluzione:

Per determinare l’equilibrio di mercato – Figura 4 – risolviamo il sistema:

P Equilibrio E

Equilibrio

dopo

l’introduzione

del Tetto del P* = 125

Prezzo P’ = 112.5

0 125 150 175 Q

Figura 4: Equilibrio e Tetto di Prezzo

 d = −

Q 400 2P

 (5)

 s

 = −

Q 2 P 100

d s

ponendo Q = Q ed otteniamo 400 – 2P = 2P – 100, da cui P* = 500/4 = 125. Sostituendo il prezzo

P* nella domanda o nella offerta, si ottiene Q* = 150.

Supponiamo ora che lo Stato imponga un prezzo P’ del 10% inferiore rispetto al prezzo di equlibrio

P* = 125. Avremo P’ = 125 – (0.1)125 = 112.5. Otteniamo la quantità che i venditori sono disposti

s’

ad offrire al prezzo P’ = 112.5 dalla funzione di offerta Q = 2(112.5) – 100 = 125. In base alla

cosidetta regola del ‘lato corto’, l’equilibrio dopo l’imposizione del Tetto di Prezzo è dato da P’

= 112.5 e Q’ = 125. Si osservi che si crea un eccesso di domanda. Infatti in corrispondenza di P’, la

d

quantità domandata è data da Q ’ = 400 – 2(112.5) = 175 e l’eccesso di domanda è dato da ED =

d s

Q ’ – Q ’ = 175 – 125 = 50. Osserviamo infine che in Italia un tipico esempio di Tetto di Prezzo è

l’equo canone.

Esercizio sul Pavimento di Prezzo: 6

d s

Data la Funzione di Domanda Diretta Q = 280 – 4P e la Funzione di Offerta Diretta Q = 100 + 2P,

vogliamo determinare l’equilibrio e studiare gli effetti della imposizione di Pavimento di Prezzo

con un prezzo P’ del 20% superiore a quello di equilibrio.

Soluzione:

Determiniamo l’equilibrio - Figura 5 - risolvendo il sistema:

P Equilibrio

Equilibrio

dopo 36

l’introduzione

del Pavimento

di Prezzo 30

0 136 160 172 Q

Figura 5: Pavimento di Prezzo

 d = −

Q 280 4P

 (6)

 s

 = +

Q 100 2P

d s

Poniamo Q =Q e quindi 280 – 4P = 100 + 2P, da cui P* = 180/6 = 30 e Q* = 160.

Supponiamo ora che lo Stato intervenga imponendo un prezzo P’ del 20% superiore a quello

d’equilibrio, ovvero P’ = 30 + (0.2)30 = 36 e la quantità domandata in corrsipondenza di P’ è data

d

da Q ’ = 280 – 4(36) = 136. L’equilibrio dopo l’introduzione del Pavimento di Prezzo è, in base

d

alla cosidetta regola del ‘lato corto’, dato da P’ = 36 e Q ’ = 136. Inoltre la quantità offerta è, in

s

corrispondenza di P’, data da Q ’ = 100 + 2(36) = 172; troviamo così un eccesso di offerta dato da

EO = 172 – 136 = 36. Osserviamo infine che lo Stato si può proporre come ‘acquirente di ultima

istanza’ dell’ eccesso di offerta.

5. Quote

Supponiamo che lo Stato consideri il prezzo praticato in un settore, ad esempio quello agricolo,

troppo basso e decida così di intervenire fissando un prezzo più elevato mediante l’introduzione di

una quota.

Esercizio: 7

d s

Siano Q = 120 – 3P la Funzione di Domanda Diretta e Q = 40 + P la Funzione d Offerta Diretta;

determiniamo l’equilibrio e supponiamo che lo Stato introduca una quota pari al 10% della quantità

di equilibrio.

Soluzione:

Per determinare l’equilibrio risolviamo il seguente sistema:

P

22

20

0 54 60 Q

Figura 6: Quota

 d = −

Q 120 3P

 (7)

 s

 = +

Q 40 P

d s

tramite Q = Q e quindi 120 – 3P = 40 + P. Da qui otteniamo P* = 80/4 = 20 e Q* = 60.

Introduciamo ora la quota: avremo la quantità Q’ = 60 – (0.1)60 = 54 e quindi P’ = 22. La funzione

di offerta, dopo l’introduzione della quota, è quella in grassetto.

6. Imposte Fisse ed Imposte Proporzionali

Consideriamo ora l’introduzine di imposte fisse ed imposte proporzionali.

Esercizio sulle Imposte Fisse: d s

Data la Funzione di Domanda Diretta Q = 50 – P e la Funzione di Offerta Diretta Q = P – 30,

vogliamo determinare l’equilibrio e studiare gli effetti della introduzione di una imposta fissa sugli

acquisti T = 1.

Soluzione:

Per determinare l’equilibrio risolviamo il seguente sistema: 8

 d = −

Q 50 P

 (8)

 s

 =

Q P - 30

d s

Posto Q = Q , ovvero 50 – P = P – 30, otteniamo P* = 80/2 = 40 e Q* = 10.

P

40.5

40

39.5

0 9.5 10 Q

Figura 7: Imposta Fissa d

Introduciamo ora una imposta fissa sugli acquisti T = 1; la funzione di domanda inversa P = 50 - Q,

d d

dopo l’introduzione dell’imposta fissa, può essere riscritta come P = 50 - Q - 1 da cui P = 49 - Q.

s

Consideriamo la Funzione di Offerta Inversa P = Q + 30; l’equilibrio è dato da 49 - Q = Q + 30 da

d s

cui Q’ = 19/2 = 9.5 ed il Prezzo Lordo è P ’ = 40.5, mentre il Prezzo Netto è dato da P ’ = 39.5 –

Figura 7. Il gettito fiscale è dato da GF = TQ’ = 1(9.5) = 9.5. Inoltre la parte di imposta che grava

d

sui consumatori è data da P ’ – P* = 40.5 – 40 = 0.5 ed in termini percentuali da 0.5/1 = 1/2.

s

Similmente per il produttore P* - P ’ = 40 – 39.5 = 0.5 ed in termini percentuali 0.5/1 = 1/2. Quindi

il 50% dell’imposta grava sui consumatori, mentre il restante 50% sui produttori.

Esercizio sulle Imposte Proporzionali: d s

Consideriamo la Funzione di Domanda Diretta Q = 275 – P e la Funzione di Offerta Diretta Q = P

– 40. Vogliamo determinare l’equilibrioe studiare gli effetti della introduzione di una imposta

proporzionale sulle vendite con aliquota t = 0.25.

Soluzione:

Determiniamo l’equilibrio risolvendo il seguente sistema:

 d = −

Q 275 P

 (9)

 s

 =

Q P - 40

da cui 275 – P = P – 40 e P* = 315/2 = 157.5 con Q* = 117.5. 9

P

175

157.5

140 0 100 117.5 Q

Figura 8: Imposta Proporzionale s

Dopo l’introduzione delle imposta proporzionale sulle vendite, la funzione di offerta inversa P = Q

s

+ 40 diventa P ’ = (Q + 40)(1 + 0.25) da cui 1.25Q + 50. Troviamo l’equilibrio tramite 1.25Q + 50

d

= 275 – Q, dove P = 275 – Q rappresenta la Funzione di Domanda Inversa. Dalla precedente

d s

uguaglianza otteniamo Q’ = 100, il Prezzo Lordo P ’ = 1.25(100) + 50 = 175 ed il Prezzo Netto P ’

= 100 + 40 = 140.

b) Derivate

1. Funzioni ad una variabile: Definizione di Derivata e Tabella delle Derivate

Data una funzione y = f(x) ad una variabile (anche detta funzione univariata), con y variabile

dipendente ed x variabile indipendente, ci proponiamo, in quanto segue, di studiare il tasso medio di

variazione di f(x) in corrispondenza di variazioni della variabile indipendente x.

Sia f(x) una generica funzione, definita in un intervallo [a,b], ed x ne sia punto interno;

o

supponiamo che la variabile indipendente vari da x , punto iniziale, ad x e che la funzione f(x) vari,

0 ∆x ≡

corrispondentemente, da f(x ) ad f(x). Se indichiamo con x - x la variazione della variabile

0 0

∆y ≡

indipendente e con f(x) - f(x ) la variazione della funzione, il rapporto:

0 f(x) - f(x )

0

∆y/∆x = (10)

−

x x 0 ∆x ≡ ∆x,

che possiamo anche scrivere, dato che si ottiene dalla x - x l’espressione x = x + come:

0 0

+ ∆ −

f (

x x ) f (

x )

∆y/∆x 0 0

= (11)

∆

x

è detto rapporto incrementale della funzione f(x) in un intorno del punto interno x .

0

Il rapporto (10) (oppure (11)) fornisce il tasso medio di variazione della funzione f(x) e può essere

calcolato se conosciamo il valore iniziale di x, che abbiamo indicato con x , e la grandezza della

0

∆x ∆y/∆x

variazione in x, che abbiamo indicato con (il rapporto incrementale è così una funzione di

∆x).

x e

0 10

λ ∆y/∆x, →

Il limite , se esiste, del rapporto incrementale definito nella espressione (10), per x x 0

λ, ∆y/∆x, ∆x →

(oppure, analogamente il limite se esiste, di definito nella espressione (11), per 0):

f(x) - f(x ) + ∆ −

f (

x x ) f (

x )

0 0 0 λ λ

lim = lim = con reale finito (12)

→ ∆x →

x x0 0

−

x x ∆

x

0

rappresenta la derivata prima di f(x) nel punto x e si dice che la funzione f(x) è derivabile in x .

0 0

Notazione:

Indichiamo la derivata prima di f(x) in x , con: f’(x ), (la notazione è dovuta a Lagrange), con

0 0

(dy/dx) , (la notazione è dovuta a Leibnitz) oppure con Df(x ).

x = x0 0

Dato che la derivata è il limite del rapporto incrementale ed il rapporto incrementale misura un

tasso di variazione di y, la derivata a sua volta deve essere la misura di un tasso di variazione.

Inoltre poichè la variazione in x è infinitesimale, il tasso misurato dalla derivata è per sua natura un

tasso istantaneo di variazione.

Interpretazione geometrica:

La derivata f’(x ) è la