Metodi per esercizi di MicroEconomia

P

delle due (o piu) funizoni di domanda dei singoli gruppi: Q = q ,

i

i=1

con N numero di gruppi di acquirenti.

Da questo ti ricavi P in funzione di Q (chiamata funzione di domanda ag-

gregata). 3 70 2

1 − → −

− − p = 35 p = Q P = Q

Q = q + q = 20 p + 15

1 2 2 2 3 3

Ricordiamo di portare avanti due equazioni 5.1, noi considereremo solo la

seconda. Calcoliamo il ricavo totale: 70 2 2

∗ −

RT = P Q = Q Q

3 3

70 43 14

−

e deriviamo: Q = ottenendo:

3 3 43

→

Q = 14 P = , Π = 135.3

3

5.4 Discriminazione di primo tipo

Prima di tutto dobbiamo calcolare il costo marginale della funzione di costo :

dC 14

CM G = =

dq 3

e imporlo pari alla funzione di domanda aggregata:

70 2 14

− →

Q = Q∗ = 28

3 3 3 392

Cosı̀ ho ricavato un valore ottimo di Q* e posso trovare quello di CM G = .

3

Adesso devo trovare il valore dei ricavi totali [RT] e applico la formula:

q Q∗

Z Z

RT = p dq + P dq

a

0 q

5 28

Z Z 2

70 −

− q) dq = 394.

6̄

= (30 2q) dq + ( 3 3

0 5

. Infine calcoliamo i profitti come ricavi-costi:

392

−

Π = 394.

6̄ = 278

3

10

5.5 Discriminazione del terzo tipo

5.5.1 Metodo 1

Imponiamo i ricavi marginali ∗

dRT (q) d(p q )

i i i

RM G = =

i dq dq

i

pari al costo marginale [CMG]:

 14

−

20 2q =

b 3

 14

−

30 4q =

 a 3

Otteniamo i valori di q e p , e il profitto totale è dato da:

i i N N

X X

−

Π = p q CM G q

tot i i tot i

i=1 i=1

5.5.2 Metodo 2

Dati i mercati p = 4−q e p = 2−q e il costo C = cQ, dobbiamo considerare

A A B B

l’impresa operante in due mercati separati.

Mercato A (con c < 4):

Impongo RMG=CMG da cui ottengo: 1

 ∗ −

q = 2 c

A 2









 12

∗

p = 2 + c

A







 1 −

∗ ∗ −c − c c + 4

Π = q p =

 A A A 4

Mercato B (con c < 2):

Impongo RMG=CMG da cui ottengo: 12

 ∗ −

q = 1 c

B









 12

∗

p = 1 + c

B







 1

∗ ∗ −c − −

Π = q p = c c + 1

 B B B 4

5.6 Condizioni di non discriminazione

±

Avendo N generiche funzioni di domanda Q = a b p , vogliamo i parametri

i i i i

(a ,b ) per cui non c’è bisogno di effettuare discriminazione. Per verificare questa

i i

condizione dobbiamo calcolare il profitto i-esimo del monopolista, ottenuto come

11

Π =Ricavi - Costi.

i

Con costi nulli avremo: 2

− −

Π = p q = p (a b p ) = a p b p

i i i i i i i i i i i

Volendo massimizzare i profitti deriviamo rispetto a p:

∂Π a

i i

→ − → ∗

= 0 a 2b p = 0 p =

i i i i

p 2b

i i

Non avendo discriminazione di prezzo, tutti i prezzi i-esimi devono equivalersi,

per cui: p = p = .. = p = .. = p

1 2 i N

6 Surplus ±

Data la funzione di domanda inversa p = α βq e il costo totale C = γq trovare

il surplus del consumatore [SC], del produttore dato da:

∗ −

SP = RicavoT otale[p q] CostiV ariabili[CV (q)]

e il welfare [w] in condizioni di monopolio e concorrenza perfetta.

−

Ex: p = 7 q e C = 3q

6.1 Formule

Surplus del Produttore [SP]: ∗ −

SC = p q cv(q)

p∗

Z

SC = S(p)dp

p min

1 ∗ −p

Q(p )

SC = min

2

Surplus del Consumatore [SC]: p∗

Z

SC = D(p)dp

p min

1 −

SC = Q(p p∗)

max

2 12

6.2 Monopolio Generale

Troviamo prima il profitto: 2

∗ − ± −

Π = p q C = αq βq γq

Ex: 2

− −

Π = 7q q 3q

E massimizziamo ∂Π i → − −

= 0 α 2βq γ = 0

q

i

Ex: − −

7 2q 3 = 0

Da cui troviamo un certo valore di q∗ = A = 2, p∗ = B = 5 = p (prezzo

e

di equilibrio) e Π∗ = D = 4. Definiamo, inoltre, il prezzo p = α come il

max

prezzo massimo che il consumatore è disposto a pagare per il prodotto (dato

→ −

dalla funzione di produzione quando la quantità q = 0 p = 7 0 = 7). Il

max

surplus del consumatore è dato da:

1 ∗ −

q (p p )

max e

2

Mentre il surplus del produttore è pari al profitto D (poiche in condizioni di

monopolio).

Da cui ricaviamo w = SC + SP

m

6.3 Monopolio esempio

Date 100 imprese abbiamo la curva di offerta aggregata (collegata al produttore)

1

S(p) = 200p, da cui p = Q; mentre la curva di domanda aggregata (collegata

200 1

− −

al consumatore) è D(p) = 6000 1000p, da cui p = 6 Q.

1000

Uguagliando domanda e offerta otteniamo p*=5, prendiamo anche il valore mas-

simo del prezzo a cui il consumatore a disposto a comprare p = 6, ricavato

max

dalla curva di domanda (poiche la domanda viene dal consumatore) quando la

quantità Q=0.

Il surplus del produttore è dato da:

p∗ 5

Z Z

SP = S(p) dp = 200p dp = 2500

0 0

Mentre il surplus del consumatore:

p 6

Z Z

max −

SC = D(p) dp = 600 1000p dp = 500

p∗ 5

13

6.4 Concorrenza perfetta

Ricorda che in concorrenza si ha RMG=CMG=p.

∂C

In questo caso p∗ = CM G = da cui troviamo q*.

∂q

Il surplus del consumatore è dato da:

1 ∗ −

q (p p∗)

max

2

. Mentre il surplus del produttore è nullo (per la concorrenza perfetta). Quindi

otteniamo w = SC + 0

c

6.4.1 Perdita netta di monopolio

−

E’ data da w w

c m

7 Strutture verticali

7.1 Due imprese in monopolio

7.1.1 Generale

Ho un’impresa a valle [A] ed una a monte [B] entrambe in monopolio, con due

funzioni di costo ciascuna. Ho anche due gruppi di acquirenti del prodotto B

[G , G ] con due diversi tipi di domanda su cui è applicata la discriminazione

1 2

di terzo tipo.

Ricordiamo che per il calcolo del profitto di un’impresa a monte I si usa la

seguente formula: −

Π = (p CM G )q

i i i

Senza integrazione (imprese indipendenti) Devo trovare il profitto della

struttura non integrata, quindi definisco i profitti di B rispetto ai due mercati

2

1 −

− = (p CM G )q .

= (p CM G )q e Π

Π B 2

B 1 B

B 2

1 ) trovo p , q e p , q in funzione di p . A questo

) e max(Π

Dai max(Π 1 1 2 2 A

B B

punto definisco Q = q + q poiché c’è discriminazione e calcolo Π =

tot 1 2 A

−

(p CM G )Q . Da qui massimizzo e trovo p con cui poi scopro gli al-

A A tot A

tri parametri.

Con integrazione Prima di tutto definisco un costo marginale integrato

come CM G = CM G + CM G in cui vengono considerati solo i coefficenti

int A B

fissi, questo perché i costi a monte vengono trasferiti a valle. Poi seguo lo stesso

procedimento di prima: 1 2

− −

Definisco i due profitti Π = (p CM G )q e Π = (p CM G )q ,

1 int 1 2 int 2

int int 1 2

massimizzo entrambi per trovare i valori ottimi di p , q , p , q , Π , Π e trovo

1 1 2 2 int int

1 2

il profitto totale come Π = Π + Π .

int int int

Da ricordare che Π > Π + Π , p > p

int A B int

14

7.1.2 Restrizioni verticali

Per poter imporre delle restrizioni verticali l’ambiente deve essere determin-

istico, ovvero l’impresa a monte deve conoscere le funzioni di domanda e di

costo delle imprese a valle. Inoltre nel caso avessi l’impresa A a monte in mo-

nopolio ed n imprese a valle in concorrenza perfetta non ci sarebbe bisogno di

restrizioni verticali poiché il profitto di A risulta pari al profitto che si avrebbe

nella struttura verticale integrata (almeno che le imprese a valle non facciano

sforzo promozionale).

Tariffa in due parti Per determinare la tariffa in due parti imponiamo:

T = F + p q

A

Oppure (in caso di input) T = F + p x

A A

L’impresa a monte deve determinare F = Π e p = CM G in modo tale

int A

da conseguire un profitto pari a quello con integrazione. Inoltre p = p , e

B int

abbiamo il sistema −

Π = Π F = 0

B int

Π = F = Π

A int

Prezzo imposto Se A volesse conseguire un profitto pari a quello che si

avrebbe in una struttura verticale integrata senza averla, allora deve imporre il

prezzo di vendita p .

B

Dato il profitto Π massimizziamo e troviamo i valori Π , q , p , poiché

int int int int

A impone il prezzo di vendita a B avremo p = p . Adesso devo trovare il

int B

valore di p (contenuto dentro C funzione di costo di B) per cui si verifica

A B

∗ −

Π = p q C = 0.

B B B

Quantità imposta L’impresa a monte A conosce la funzione di domanda

q = D(p) e quindi impone il livello di output q = D(p ) con p = p = p .

int int A int B

7.1.3 Esempio

Abbiamo un impresa a monte A in monopolio che vende il prodotto intermedio

ad un impresa a valle B anch’essa in condizioni di monopolio.

Gli acquirenti di B si dividono in due gruppi su cui viene fatta discriminazione

di terzo tipo.

Dati:

• Funzioni di costo : c = 3q c = (p + 2)q

A B A

• − −

Funzioni di domanda dei due gruppi: q = 60 p q = 50 2p

1 1 2 2

Calcola il profitto di entrambe le imprese con e senza integrazione verticale

15

Senza integrazione Ricordando che si parte sempre dal basso (impresa B),

calcoliamo il profitto massimo (derivata parziale rispetto a p ) dell’impresa B

i

per entrambi i gruppi di acquirenti:

B −

Π = 60 2p + p + 2 = 0

1 A

1

Da cui otteniamo due valori collegati alla variabile p :

A

12

p + 31

p = A

1 12

− p

q = 29 A

1

Facciamo lo stesso per il gruppo 2 e otteniamo:

12

p = p + 13.5

2 A −

q = 23 p

2 A

Il profitto totale di A è composto da entrambi i gruppi di acquirenti, quindi

32

− p e calcoliamo il profitto di A:

definiamo Q = q + q = 52 A

1 2 3

− − −

Π = (p 3)q = (p 3)(52 p )

A A A A

2

Massimizzando otteniamo i valori p = 18.8 e Π = 376.04 con cui possiamo

A A

trovare anche i restanti valori.

Con integrazione Anche a