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14/01/2021

a

EULERO ESPLICITO

Mn+1 = Mn + h·f(tn, Mn)

EULERO IMPLICITO

Mn+1 = Mn + h·f(tn+1, Mn+1)

TRAPEZI

Mn+1 = Mn + h/2 [f(tn, Mn) + f(tn+1, Mn+1)]

b

ERRORE LOCALE TRONCAMENTO x EULERO

Tloc = M(tn+1) - M(tn)/h - f (tn, M(tn))

c) ORDINE ACCURATEZZA

EUELRO ESPLICITO -> O(h) I° ordine

EUELRO IMPLICITO -> O(h) I° ordine

TRAPEZI -> O(h2) II° ordine

* Sistema differenziale lineare

(ut(t) = A . u(t)

u(0) = u0)

con A = | a11 a12 |

       | a21 a22 |

scelgo la seguente matrice

A = | -1  2 |

    |  2 -1 |

det A = -1 - 4 = -5 ≠ 0

NON SINGOLARE

DEF matrice riducibile e irriducibile ed esempi

Una matrice A si dice RIDUCIBILE se ῧ una matrice P di permutazione tale che

PAPT = B11 B12 0 B22

con B11 e B22 sottomatrici quadrate

Se → A è IRRIDUCIBILE

es. Matrice RIDUCIBILE

A = 2 0 0 3 2 1 0 4 1

es. Matrice IRRIDUCIBILE → basta scrivere una matrice che ha TUTTI gli elementi ≠ 0

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Es. Problema programmazione quadratica 3 incognite, 2 vincoli uguaglianza

Min   1/2   x̄T Q x̄   +   c̄T x̄

sogg a   A x̄ = b̄

con

  • x̄ = (x1, x2, x3)T
  • c̄ = (c1, c2, c3)T
  • b̄ = (b1, b2)T

A = ⎠ d11   d12   d13 ⎡      ⎠ d21   d22   d23 ⎡

Q = ⎪ q11   q12   q13 ⎫      ⎪ q21   q22   q23 ⎫      ⎪ q31   q32   q33 ⎫

  1. Metodo separazione variabili:
  2. Mt + 2Mx = 0

Si tratta dell'eq. del TRASPORTO 1D

a cui devo associare una condizione iniziale del tipo

M(x,0) = f(x) per x ∈ ]−π, π[

M(x,0) = f(x) per x ∈ ]−∞, ∞[

Curve caratteristiche → t = 1/2 x + c (rette)

Soluzione su curve caratt. → M(x,t) = Σk=-∞∞ Ck eiK(x-αt)

Eq alle differenze lineare del IIo ordine NON omogenea

Mn+2 - Mn+1 - Mn = 2 + n

  • P0 = -1 relativo a Mn
  • P1 = -1 relativo a Mn+1
  • P2 = 1 relativo a Mn+2

NB

  • se P0 + P1 + P2 ≠ 0 ⇒ ψn stesso grado g(n)
  • se P0 + P1 + P2 = 0 ⇒ ψn : grado g(n) +1
  • se P0 + P1 + P2 = 0 e P1 + 2P2 = 0 ⇒ ψn : grado g(n) +2

g(n) = 2 + n ⇒ β0 = 2 termine numerico

GRADO 1

β1 = 1 termine 1o grado

ψn GRADO 1 → ψn = α0 + α1·n

2b

Sistema lineare sottodeterminato

(x1 - x2 + 2x3 = 4

2x1 - 4x2 + 4x3 = 6

n. incognite → 3

m. equazioni → 2

(uCw) = u!⁄w! (u-w)!

(3C2) = 3!⁄2! (3-2)! = 3

| 1   -1   2 | | x1 | | 4 |

| 2   -4   4 | | x2 | | 6 |

                                              A

N2(x) = C1 + C2x

N2(1) = C1 + C2 = 0 → C1 = -C2

N2(x) = -1 + x → N2' = 1

K = 1

[x · 1 - 1 · (-1 + x)]

= 1

G(x,t)

{

-1 · t · (x-1)   0 < t < x

-1 · x    (t-1)   x ≤ t ≤ 1

}

u(x) =

∫0x -t · (x-1)² · t ⁡ dt + ∫x1 -x · (t+1)² ⁡ dt

= (1-x) [⟨t4/4⟩0x] - x ⟨⟨t4/4⟩x1 - ⟨t3/3⟩x1⟩

H =

| 2 0 -1 |

| 0 2 -2 |

| -1 -2 0 |

det H = 2 ⋅ (-4) + (-1)(2) = -10 ≠ 0

(1,2) P.to critico non degenere

∇H(x) = | 1 |

          | 2 |

| 1 2 | | d1 | = 0

             | d2 |

d1 + 2d2 = 0

d1 = -2d2

d̅ = | -2d2 |

       | d2 |

  • u1(x) = C1 + C2x
  • U(0) - U(0) = 0
C1 - C2 = 0 ⇒ C1 = C2Scelgo C2 = 1 ⇒ C1 = 1

u1(x) = 1 + x

  • u2(x) = C1 + C2x
  • U(1) + U'(1) = 0
C1 + C2 + C2 = 0 ⇒ C1 = −2C2Scelgo C2 = 1 ⇒ C1 = −2

u2(x) = −2 + x

Per capire la stabilità, avendo una matrice FROBENIUS, posso fare così:

  1. Calcolo Raggio spettrale ρ(A) = max |λi|
  2. Mn è STABILE SSE ρ(A) < 1

ρ(A) = 1/2 < 1 ⇒ Mn STABILE

ρ(A) = 1/2 < 1 ⇒ Mn CONVERGENTE

Mn → 0 per n → ∞

(SSE ρ(A) < 1)

* -u''(x) + u'(x) + u(x) = 1

u(0) - u(1) = 0

x∈(0,1)   h=0.2

p(x) = 1   q(x) = 1   f(x) = 1

li = 1/h2 (1 + h/2 · p(xi))

  = 1/0.22 (1 + 0.2/2 · 1)

  = 27.5

di = 2/h2 + q(xi)

  = 2/0.22 + 1

  = 51

ei = 1/h2 (1 - h/2 · p(xi))

  = 1/0.22 (1 - 0.2/2 · 1)

  = 22.5

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Publisher
Pelle_97
A.A. 2020-2021
90 pagine
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SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/08 Analisi numerica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Pelle_97 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi numerici per l'ingegneria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Galligani Emanuele.