Metodi Numerici - Raccolta di esercizi vari

Name: Metodi Numerici - Raccolta di esercizi vari
Rating: 4.0 (2 reviews)
Author: Pelle_97

Revisionato il 08/07/2026

di Pelle_97

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Raccolta di numerosi esercizi svolti e corretti relativi all'esame Metodi Numerici sostenuto con il Prof. Emanuele Galligani. Voto 26/30.Esercizi con consegna e svolgimento con l'aggiunta di …

Esame Metodi numerici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Galligani Emanuele

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2020-2021

90 pagine

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Esercitazione

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Estratto del documento

Problema di Cauchy

Problema di Cauchy: _M'(t) - f(t, _M(t)) _t > 0_M(t₀) = _M₀

Metodi numerici

Euler esplicito: _M_n+1 = _M_n + h · f(t_n, _M_n)
Euler implicito: _U_n+1 = _U_n + h · f(t_n+1, _M_n+1)
Trapezi: _M_n+1 = _M_n + ^h/₂ [f(t_u, _U_n) + f(t_u+1, _U_n+1)]
Errore locale di troncamento per Euler: T_n+1 = ^{_M(t_n+1) - _M(t_u)}/_h - f(t_u, _M(t_u))

Problema di Cauchy: M'_t - f(t, M(t)) t >0M(t₀) = M₀

Metodi numerici dettagliati

Euler esplicito: M_n+1 = M_n + h · f(t_n, M_n)
Euler implicito: M_n+1 = M_n + h · f(t_n+1, M_n+1)
Trapezi: M_n+1 = M_n + ^h/₂ · [f(t_n, M_n) + f(t_n+1, M_n+1)]
Errore locale di troncamento per Euler: T_n+1 = ^{M(t_n+1) - M(t_n)}/_h - f(t_n, M(t_n))

Ordine di accuratezza

Euler esplicito: O(h) ₁° ordine
Euler implicito: O(h) ₁° ordine
Trapezi: O(h²) II° ordine

Sistema differenziale lineare

Sistema differenziale lineare:

{ ̇ () = A · ()
(0) = ₀ }

Con A = | ₁₁ ₁₂ | | ₂₁ ₂₂ |
Scelgo la seguente matrice A = | -1 2 | | 2 -1 |

Det A = -1 - 4 = -5 ≠ 0 NON SINGOLARE

A - \lambda I = \(\begin{vmatrix} -1 - \lambda & 2 \\ 2 & -1 - \lambda \end{vmatrix}\)
det (A - \lambda I) = 0

(-1 - \lambda)^2 - 4 = 0
1 + 2\lambda + \lambda^2 - 4 = 0
\lambda^2 + 2\lambda - 3 = 0 \(\quad \begin{cases} \lambda_1 = 1 \\ \lambda_2 = -3 \end{cases}\) \quad \text{INSTABILE}

Considerazioni sulla stabilità

Se fosse risultata ASINTOT. STABILE, ossia Autovalori con Re0 e ε = ^Δt/_Δx²

Errori di discretizzazione

FTCS: O (Δt + Δx²)
BTCS: O (Δt + Δx²)
Crank - Nicolson: O (Δt² + Δx²)

Definizione di matrice riducibile e irriducibile ed esempi

Una matr...

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