Esercizi Metodi numerici

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A = M A = M M P A = M M P A = M M P M P A3 3 2 3 2 3 2 2 1 1(2) (2)Nella precedente si può aggiungere P P , tra M e P , poiché questo prodotto è uguale alla matrice2 2 1 1 −1identità, perché le matrici di permutazioni sono involutorie, quindi P = P . Quindi22(4) (1)A = M M P M P P P A3 2 2 1 2 2 1(1)Ponendo P M P = M , dove A = A. Quindi:2 1 2 1 (4) (1)A = M M M P P A3 2 1 2 18Quindi la matrice di uscita triangolare alta è uguale a quanto scritto sopra. L’equazione si puòriscrivere come: (4) (1)(M M M )A = P P A3 2 1 2 1Dove:ˆ M M M = L3 2 1ˆ (4)A = U , poiché triangolare altaˆ P P è la matrice che tiene conto delle permutazioni fatte per arrivare alla soluzione.2 1IMPORTANTE: Si è fattorizzata P P A in forma LU , non A Quindi, facendo i calcoli1 2 −1−1 −1 (4) (1)M M M A = P P A1 2 11 2Dove:  1 0 0 01 1 0 0 2M =1  1− 0 1 0 20 0 0 1M una elementare di Gauss, nell’inversa cambia il segno dei

moltiplicatori
Essendp 1 
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────γè: m = 12 a22

Quindi si moltiplica per m la seconda riga e la si sottrae dalla terza, comprese le colonne dei termini noti. Si ottiene:

1 3 1 0
0 10 2 1
0 -10 -2 1

A questo punto si può risolvere il sistema ottenuto utilizzando il metodo di Gauss-Jordan o si può continuare con la fattorizzazione LU.: m = = .12 a 222
Quindi si moltiplica per m la seconda riga e la si sottrae dalla prima, comprese le colonne dei termini12noti. Si ottiene 32 −14 −1 00 2 10 1
Quindi i sistemi da risolvere sono: (2)Ax = e1 1(2)Ax = e2 2
Essendo sistemi diagonali il valore delle incognite sarà il risultato della divisione degli elementi delvettore dei termini noti fratto il valore degli elementi nella diagonale.     −14 −141 0 x x =11 11→=0 2 x 10 x = 521 213       − −141 0 x x =1112 2 →=0 2 x 1 x = 522 21
Quindi in definitiva si avrà: 3 −14 −−1 2A = 15 210
Raffinamento Iterativo(Metodi Diretti) →Supponendo di avere Ax = b e risolvendolo con qualche metodo, si ottiene la soluzione x̃ Ax̃ = b.Si può considerare x̃ = x + δxCioè significa avere −→A(x + δx) = b Aδx = δbPer esempio avendo    −52 5 15 2 1 12A = b = (8)   1 2 1 3Supponendo di aver trovato lasoluzione 2(0) - 3x̃ = (9)8
A partire da questo si calcola il valore -3(0) 12 (10)b̃ = Ax̃ 4
Si calcola δb come -2 - 0δb = b b̃ = (11)-1
Quindi si risolve il sistema Aδx = δb
Da cui si ottiene 0,25 - 0,4167δx = (12)-0,4167
Quindi la soluzione raffinata sarà: 2,25(1) (0) - 3,4167x̃ = x̃ + δx = (13)-7,5833
E quindi si può calcolare 11 -5(1) 12b̃ = Ax̃ = (14)3
Di conseguenza si può calcolare 0 - 0δb = b b̃ = (15)0
Si è quindi giunti a soluzione. Fin quando non si raggiunge questo risultato, si continua ad iterare(i) cercando b̃ tramite b̃ = Ax̃ 12
Esercizio Interpolazione:
Data la funzione √3 xf (x ) = 0 e conoscendo la valutazione in x = 8 e x = 27 Si trovi:
1. Polinomio Di Lagrange
2. Polinomio Approssimante Con Differenze Divise
3. Polinomio Approssimante Con Differenze
Finite In Avantiˆ Polinomio Approssimante Con Differenze Finite Indietro
Polinomio Di Lagrange:
Sapendo che il polinomio di Lagrange, per due punti è:
P (x) = f (x )l (x) + f (x )l (x)
0 0 1 1
Bisogna calcolare l e l :
0 1 − −x x x 27
−l = =
0 −x x 190 1
− −x x x 80
l = =
1 −x x 191 0
Quindi si avrà:    −− x 8 x + 30x 27
P (x) = f (x )l (x) + f (x )l (x) = 2 +3 =
0 0 1 1 19 19 19
Valutandolo in t = 25 si ottiene: x + 30 25 + 30 ≈
P (x) = = 2, 89519 19
Polinomio Approssimante Con Differenze Divise:
f (x ) = 20 −f (x ) f (x ) 11 0
f (x ) = 3 f [x x ] = =
1 0 1 −x x 191 0 1 30 25 30 551 ≈
− − = x + P (t) = + = 2, 895
P (x) = f (x ) + (x x )f [x x ] = 2 + (x 8)1 0 0 0 1 19 19 19 19 19 19
Polinomio Approssimante Con Differenze Finite In Avanti:
0∆ f (x ) = 20 1 0 0
− −∆ f (x ) = 3 ∆ f (x ) = ∆ f (x ) ∆ f (x ) = 3 2 =
11 0 1 0
P (x + th) = ∆ f (x ) + t∆ f (x ) = 2 + t1 0 0 0 −
−x x x 80
Sapendo che x = x + th si avrà che t = = . Di conseguenza0 h 19−x 8P (x) = 2 + 19
Valutando in x = 25 si avrà che:17 ≈P (25) = 2 + 2, 89519
Polinomio Approssimante Con Differenze Finite Indietro:0∇ f (x ) = 20 1 0 00∇ ∇ ∇ − ∇ −f (x ) = 3 f (x ) = f (x ) f (x ) = 3 2 = 11 1 1 00 1− ∇ −P (x th) = f (x ) + (−t)∇ f (x ) = 3 t1 1 1 1 − −x x x 271−Sapendo che x = x th si avrà che t = = . Di conseguenza1 h 19−x 27−P (x) = 3 19Valutando in x = 25 si avrà che:2 ≈P (25) = 2 + 2, 89519 13
NOTE:ˆ k k−1 k−1−DFA: ∆ f (x ) = ∆ f (x ) ∆ f (x )i i+1 i − − −1, t, t(t 1), t(t 1)(t 2), ...ˆ k k−1 k−1∇ ∇ − ∇DFI: f (x ) = f (x ) f (x )i i i−1 −t,1, (−t)(−t + 1), (−t)(−t + 1)(−t + 2), ...
140.2 Gauss-Seidel e Jacobi  −23 0−2 4 2
-1(D b)



Il metodo Gauss-Seidel converge se la matrice è simmetrica ed è definita positiva.

A è simmetrica poiché A = A

Per vedere se A è definita positiva, si deve verificare che det(A) > 0

det(A) = 3 > 0

det(A) = 8 > 0

det(A) = 4 > 0

Quindi A è definita positiva. Di conseguenza il metodo Gauss-Seidel converge.

Sappiamo che

x(k+1) = (N-1P)x + N-1b

Per evitare di calcolare N-1P nel caso in cui la matrice è simmetrica e definita positiva, e quindi non si è calcolato ρ(N-1P), allora si può scomporre N come:

N = D - M

D = 

3 0 0

0 2 0

0 0 2

M = 

0 0 0

0 4 0

0 0 0

E quindi risolvere il sistema

x(k+1) = [(D - M) + (D - P)]x + D-1b
Ogni volta che si esegue un prodotto riga per colonna si andrà a sostituire nell'elemento che coincide(k)di x 15
Metodo Jacobi
Il metodo di Jacobi converge se la matrice è a predominanza diagonale
nX|a | |a |
Per Righe > NON VERIFICATA
ii ijj=1 i6 = jnX|a | |a |
Per Colonne > NON VERIFICATA
ii iji=1 i6 =j
Non essendo verificata la predominanza, il metodo di Jacobi converge se -1ρ(N P ) < 1 -1
Cioè la condizione necessaria e sufficiente affinché converga è che il raggio spettrale di N P deve essere minore di 1. Sapendo che: 23     -2 03 0 0 0 0 0-1 12 12--2 00 4 0 0 2 (18)N = P = N P =      -10