Metodi matematici - Foglio 3 - Esercizi classificazione singolarità e calcolo residui

FOGLIO 3

CLASSIFICAZIONE SINGOLARITÀ, RESIDUI, SVILUPPI DI LORENTZ

1. CLASSIFICARE LE SINGOLARITÀ DELLE FUNZIONI F ( Z ) E CALCOLARNE I RESIDUI

RetC(f,z₀) = 0

(f_zc F(sing. elim., parte singolare vuota))

Ret_z>0(f, z₀,z_m) = 0

(f_zc sing. elim, parte sing. vuota)

Ret(f,z₀) = 0

(f olomorphic, parte singolare finita)

2. DETERMINARE LE SINGOLARITÀ E CALCOLARE I RELATIVI RESIDUI DELLA FUNZIONE

f(z) = ...

FOGLIO 3

CLASSIFICAZIONE SINGOLARITÀ: RESIDUI, SVILUPPI DI LAURENT

1. Classificare le singolarità delle funzioni f(z) e calcolare i residui.

_{f(z) ≠ 0} ^{lim g(z)}

• x = 0
• z = 0

• Res _{f, z = &infty;} = 0 (integrale nulla, parte singolare vuota)
• Res _{f, z = 1} = 0 (sing corea, parte sing vuota)

• ∑ Res _{f, zm} + Res _{f, z ≠ 1} = 0

Res_{f, z = 0} = 0 (sing corea, parte singolare infinita)

2. Determinare le singolarità e calcolare i relativi residui della funzione

^{f(z) = x} / _{g(x) f(x)}

• x = 0
• σ ⊃ infinity

• polinomio / lemma

Residui

• Res (f, 0) =
  • = lim_z→0 d^3-1 (z³f(z)) / (3-1)! = (z³f(z))⁽³⁾
  • = lim_z→0 d² z²(zln(z)) / 2!
  • = ∫ 2-2 zln(z)
  • = ∫ -2+ln(z)
  • = z = 0
  • = π³(zcotg(πz))⁽³⁾+z³ln(z) f(z)= 1-cos(πz)
  • = z = 0
  • π³cos(πz)=4
  • cos(πz)=4
  • π³/2

• Res (f, z=k) =
  • = lim_z→k (z-z_k)f(z) = z³(zcotg(πz))
  • d/dz = [0
  • 1 0 0]
  • d (z-z_k)/dz ][z³cos(πz)]

L'Hospital

• lim_z→0 d
• z³ ln(z)
• = lim_z→k d
• z = 1
• π = 0 z³cotg(πz)

Sviluppo Integrale F = ∑ Cn(z-z₀)ⁿ +∑ C_n(z-z₀)

Determinare il coefficiente _c23 dello sviluppo in serie dx coincidente nel punto interno

• lim_0<|z|<2
• f(z) =
• zln(z)
• z(2-z)

1)

Data la funzione classificare le singolarità

f(z) = (z - 1) cotg (1/z²)

Singolarità:

z = 1 :

lim_z→1 (z - 1)cotg(1/z²)

= lim_z→1 (cos(1/z²)) / (z²(z - 1)sen(1/z²))

lim_z→1 (z - 1) = 0

=

Derivata

d/dz (sen(1/z²)) = lim_z→1 (1/z²(z - 1))

sen(1/z²)

h(z)

lim_z→1 (2/z³) sen(1/z²) = 0

z - 1

C

Res(f, z₀) = 0

z = ∞ :

lim = +∞ SINGOLARITÀ ELIMINABILE

sin(1/z²))

funzione estendibile

(z - 1) ≠ 0

= 0 SINGOLISTICO SEMPLICE

1/z²z = 0

Calcolo residui

• Res(fₖ, f, z₀) = 0 , (z₀, )
• Res(f, f_ₖ₊₁) = lim_z→ₖ (z - ₖ) (f(z)) = z - ₖ cotg
• 1/z(cos(1/z²)) / (z - ₖ)
• lim_z→ₖ 1/z(ₖ)

5.

Considerata la funzione in variabile complessa

1. Determinare e classificare le singolarità
2. Calcolare i residui
3. Scienze gli interni in maniera negativa (A = 1) 2 z = 2∞ riportando in quali numeri valutano gli intervalli indicati>

f(z) = ^z3-2z/_(z+1)(z-2)

Disuguaglianze

z = -1

• _lim^{z<-1 z3-2z}/_(z+1) = ∞ → Polo ordine 1

z = 2

• ^z-2/_(z-2) = ... ; → Polo ordine 1

z = z₀

• _lim^{z<z₀ z3-2z}/_(z+1)(z-2) ← → Polo ordine 2

Residuati

Res(f, z₀) = Calcolo residuum in geom

• Res(f,1,2) _lim^{z<z₀ z3-2z}/_(2z) = 16-4 = 4
• Res(f,1,1) _lim^{z-z₀ z3-2z}/_(1z) = x+2
• Res(f,1,0) _lim^{z₁ z3-2z}/_(1z) = -3

• ∑_k=0 Res(f,z_k) = Res(f,z₀) -> Res(f,z₀) = -3

Sviluppo Mario

z = 0

• (Polo ... c₀) | c_n ≠ 0 ∀n(k)
• F(z) = ∑_n=0 (a)z^z₀ + ∑_n=q (b)_m(c-z₀)^-m