Esami Metodi Matematici per l'Energetica

E E

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

= ω − ϑ

= ω − ϑ c)

a) I t sen t I t cos t

0 0

Z Z

E E

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

= ω − ϑ = ω − ϑ

b) d)

I t sen t I t cos t

0 0

Z Z

_______________________________________________________________________________

df ( )

( ) ( ) =

+ = δ

4) è:

La soluzione dell’equazione con le condizioni lim f x 0

f x x → ±∞

x

dx

−

( ) x − x

( )

=

f x e

a) =

c) f x e

−

( ) ( ) x d) nessuna delle risposte precedenti

=

b) f x U x e

_______________________________________________________________________________

2

∂ ∂

f f ( )

= =

5) con le condizioni lim f x , t 0 ,

La soluzione dell’equazione → ±∞

x

2 ∂

t

∂

x

( ) ( )

= δ −

f x ,

0 x x è:

0 ( )

2

−

x x

( )

2 0

− −

− t

x x 0 ( )

− + t 4 t

π =

c) 2 t f x , t e

( ) 4 t

π =

a) 2 t f x , t e ( )

2

−

x x 0

− d) nessuna delle risposte precedenti

( ) 4 t

π =

b) 2 t f x , t e

_______________________________________________________________________________

6) Con il metodo Monte Carlo si determini un’approssimazione per l’integrale

1

∫ 3

= +

1

I x dx

0

ξ

utilizzando una variabile aleatoria uniforme su [0,1] avendo a disposizione solo 4 valori

ξ, ξ ξ ξ ξ

di e precisamente i seguenti: = 0.9, = 0.3, = 0.2 et = 0.45

1 2 3 4

a) 1,465 c) 2,274

b) 1,094 d) 1,769

_______________________________________________________________________________

7) Determinare il periodo del seguente generatore di numeri pseudo-aleatori:

= +

(4 1) mod17 con s = 5

s s 0

+

1

n n

a) 3 c) 5

b) 4 d) 6

_______________________________________________________________________________

t − τ − τ ( )

( ) ( ) ∫ t 2 =

+ = τ

8) y 0 0 è:

La soluzione dell’equazione y ' t 2 y t e e d con

0 −

1 3 t

−

( ) 2 t t

+ 1

1 3 t = −

c) e

y t e

−

( ) t 2 t

1

= −

a) y t e e 9 9

9 9 +

1 3 t

−

( ) 2 t t

− 1

1 3 t = −

d) e

y t e

−

( ) t 2 t

1

= −

b) y t e e 9 9

9 9

_______________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ + = = =

9) La soluzione dell’equazione y ' ' t ty ' t y t 0 con y 0 1 , y ' 0 0 è:

2

t

2 −

−

( ) t

=

a) y t e ( ) 2

=

c) y t e

2

t

− d) nessuna delle risposte precedenti

( ) 4

=

y t e

b)

_______________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ = = =

10) La parte della soluzione dell’equazione y ' ' t y t f t con y 0 1 , y ' 0 1 relativa

alle oscillazioni libere è:

( ) ( )

= + = +

y t cosh t senh t c) y t cos t sen t

a) ( ) ( )

= − = −

b) y t cosh t senh t d) y t cos t sen t

_______________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − = = =

11) y ' ' t y ' t 6 y t 2 con y 0 1 , y ' 0 0 non contiene il

La soluzione dell’equazione

termine: −

2 t

12

c) e

3 t

8

a) e 15

15 1

−

d)

t

1

− 3

b) e

3

_______________________________________________________________________________

A fila_______________ colonna_______________

Nome e cognome _________________________________

Metodi Matematici per l’Energetica

25 giugno 2011: III prova 2010/11

in itinere

Testo B

Ogni risposta esatta 4 punti, penalità di –1 punto per ogni risposta errata.

0 punti per le domande senza risposta.

( ) ( )

ω

1) La trasformata di Fourier della funzione i sen x p x è:

0 a

[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

ω − ω ω + ω ω − ω ω + ω

sen a sen a sen a sen a

0 0 0 0

+ +

c)

a) ω + ω ω − ω

ω − ω ω + ω

0 0 0 0

[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

ω − ω ω + ω ω − ω ω + ω

sen a sen a sen a sen a

0 0 0 0

− −

b) d)

ω − ω ω + ω

ω + ω ω − ω

0 0 0 0

_______________________________________________________________________________

( )

ω

2) cos x è:

La trasformata di Fourier della funzione 0 [ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

π δ ω + ω + δ ω − ω π δ ω + ω − δ ω − ω

a) c)

0 0 0 0

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

π δ ω + ω + δ ω − ω π δ ω + ω − δ ω − ω

b) i d) i

0 0 0 0

_______________________________________________________________________________

∞ −

− −

x y x

( ) ( )

∫

1 ϕ = − ϕ +

3) La soluzione dell’equazione x e y dy e è:

4 − ∞

− −

3 x 4 x

( ) ( )

4 4

ϕ = ϕ =

c)

a) x e x e

3 3

− −

3 x 4 x

( ) ( )

3 3

ϕ = ϕ =

x e x e

b) d)

4 4

_______________________________________________________________________________

2

d f ( ) ( ) ( )

− + δ = =

4) con le condizioni

La soluzione dell’equazione f x 2 x 0 lim f x 0 è:

→ ±∞

x

2

dx −

( ) x

− x

( ) =

c) f x e

=

a) f x e −

( ) ( ) x

=

f x U x e

b) d) nessuna delle risposte precedenti

_______________________________________________________________________________

5) Determinare il periodo del seguente generatore di numeri pseudo-aleatori:

= +

(3 7) mod11 con s = 9

s s 0

+

1

n n

a) 3 c) 5

b) 4 d) 6

_______________________________________________________________________________

6) Con il metodo Monte Carlo si determini un’approssimazione per l’integrale

1

∫ 4

= +

5

I x dx

0

ξ ξ,

utilizzando una variabile aleatoria uniforme su [0,1] avendo a disposizione solo 4 valori di e

ξ ξ ξ ξ

precisamente i seguenti: = 0,9 , = 0,3, = 0,2 et = 0,45

1 2 3 4

e) 1,465 g) 2,274

f) 1,094 h) 1,769

_______________________________________________________________________________

( )

( ) ( ) ( ) =

+ = δ − ≥

7) y 0 1 , per è:

La soluzione dell’equazione y ' t y t t t con t 0

0

( ) ( )

− −

− −

( ) ( ) t t

t t t

= +

= y t e e

c)

y t e

a) 0

0

( )

− − −

( ) t t t

= +

y t e e

b) 0 d) nessuna delle risposte precedenti

_______________________________________________________________________________

2

∂ ∂

f f

( ) ( )

− = =

8) con le condizioni

f x , t

La soluzione dell’equazione lim f x , t 0 ,

→ ±∞

x

2 ∂

t

∂

x

( ) ( )

= δ −

f x ,

0 x x è:

0 ( ) ( )

2

2 −

− x x

x x 0

0 − −

− t

( ) ( ) 4 t

4 t π =

π = c)

a) 2 t f x , t e

2 t f x , t e ( )

2

−

x x 0

− + t

( ) 4 t

π =

b) 2 t f x , t e d) nessuna delle risposte precedenti

_______________________________________________________________________________

t − τ − τ ( )

( ) ( ) ∫ t 2

− = τ =

9) La soluzione dell’equazione y ' t y t e e d con y 0 0 è:

0 −

1 3 t

−

( ) 2 t t

+ 1

1 3 t = −

c) y t e e

−

( ) t 2 t

1

= −

a) y t e e 9 9

9 9 +

1 3 t

−

( ) 2 t t

− 1

1 3 t = −

d) y t e e

−

( ) t 2 t

1

= −

b) e

y t e 9 9

9 9

_______________________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+ = = =

10) La parte della soluzione dell’equazione y ' ' t y t f t con y 0 1 , y ' 0 1 relativa

alle oscillazioni forzate è: ∞

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

= − τ τ τ = − τ τ τ

y t sen t f d y t sen t f d

a) a)

F F

0 0

∞

( ) ( ) ( )

∫

= − τ τ τ b) nessuna delle risposte precedenti

b) y t sen t f d

F − ∞

_______________________________________________________________________________

( ) ( )

( ) ( )

− = = =

11) La soluzione dell’equazione y ' ' t y t 0 con y 0 1 , y ' 0 1 è:

( ) ( )

= + = +

y t cosh t senh t c) y t cos t sen t

a) ( ) ( )

= − = −

b) y t cosh t senh t d) y t cos t sen t

_______________________________________________________________________________

B fila_______________ colonna_______________

Metodi matematici per l’energetica

Prova scritta, 22 luglio 2011

Parte di trasformate

1) Si risolva la seguente equazione integro-differenziale col metodo delle trasformate:

x x

dU −

∫ ∫ ax

+ − + =

( x y ) U ( y ) dy U ( y ) dy e U(0)=1

dx 0 0

2) Si risolva il seguente problema differenziale:

2 2

∂ ∂

u ( x , y ) u ( x , y ) ∈ ℜ ∈

+ = δ x y [ 0

, 1

]

p ( x ) ( y )

a

2 2

∂ ∂

x y

= = = ∀

u ( x ,

0

) g ( x ) u ( x ,

1

) h ( x ) ; lim u ( x , y ) 0 y

→ ±∞

x

col metodo delle trasformate.

3) Risolvere con il metodo delle trasformate la seguente equazione differenziale

2 ( ) ( )

d f x df x df ( 0

)

2

− ω + ω = = =

2 f ( x ) 0 f ( 0

) 0 ; 1

2 dx dx

dx

4) Un circuito RLC ha equazio