Metodi matematici - Foglio 2 - Esercizi condizioni di Cauchy - Riemann

Foglio 2: Cauchy - Riemann

f(t) = x(t), y(t)

f' = ^df/_dt = x'(t), y'(t)

Funzione olomorfa

f(z) olomorfa ⇒ _∂u/_∂y = _∂v/_∂x
∂u/_∂x = -_∂v/_∂y

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

f'(z) = _∂u/_∂x + i_∂v/_∂x = _∂v/_∂y + i(-_∂u/_∂y)

_∂u/_∂x = _∂v/_∂y ⇒ y = A(x)

_∂u/_∂y = -_∂v/_∂x ⇒ x = B(y)

_∂u/_∂x = 2 ⇒ 2_ux = 2_vx ⇒ 2x - 2y

_∂v/_∂y = 2 ⇒ 2_uy = 2_vy ⇒ 2xy - 2x

∫_∂v/∂x dx = ∫(x_y) dx = ^x2/2 - yx + A(y)

∫_∂u/∂y dy = ∫(xy) dx = xy - ^y2/2 + B(x)

⇒ u(x,y):   ^x2/2 - yx + k₁

⇒ v(x,y):   ^y2/2 + yx + k₂

Funzione u(x,y)

Sia u(x,y) = ¹/₂ ln(x²+y²)

Ci resta che x

f continua: f: U ⊆ m open interval &exists; R, f horizontal, balls, eccetto y con m R x R − R.

Verifica olomorfia

Cercare Foglio 2: Cauchy - Riemann

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) verificare se ∀f(z)

u(x,y) = v(x,y) = e^-p

f(z) olomorfa ⇒ ^∂u/_∂x = ^∂v/_∂y
^∂u/_∂y = -^∂v/_∂x

∂f/_∂z = 1
∂f/_{∂&overline;z} = 0

⇒ ^∂u/_∂x = 2
^∂v/_∂x = 2
^∂u/_∂y = 2x - 2y

^∂u/_∂y = -^∂v/_∂x

^∂y/_∂x = x(∇u = (x-x/y) / (x-y))

^∂y/_∂y = 2x / 2x = x - y(∇v ∉ (x-x/y))

∫∂u/dx = (∫xyz/x dx = x²/2 dx) + ∫(yx)x dx + A(_y)

∫dxy ∫∂ydx = ∫(xyyx) dx = xy = y²/2 + B(x)

∫∂x dx = (x²/2)x = 4(yx) + C(_y)

&∫ydy = ∫(xydy) = xy = y²/2 + D(_y)

==> u(x,y)= x²/2 - xy + K₁

= v(x,y)= x²/2 - y²/2 = yx + K₂

Determinare polinomio olomorfo

Sia u(x,y) = 1/2 ln(x² + y²) w recta ∃ w R x w R -> R. concorate R(x)∂(xv)/xc= K c=f= u+iv con provenienza in una nuova regione ∂anno connesso

f(z)= u(x,y)+i v(x,y)

f(x) olomorfa → y∂xU = ∂yV
∂yU = -∂xV
∂U/∂x

• 2 arctg(x²/y) ∙ (x²+4y²) = x
• 2emp3(x²y³) = xx
• 1/2x(2y³)² - x(tg-1)(x/y)²
• 1/2x(y²) - 4/x ∙ 2x ∙ y
• x2+4y² = x(ψ = arctg(y/x))

∂V/∂y

• - 3/2 ∙ yU ∙ arctg(y/x) = ± 42
• √4/x
• - x ∙ arctg(y/x)√x² + y²/2
• - x ∙ arctg(x/2) * - x(sqrt(x)y²)
• x(2/y²) = 2/arctg(y/x)

3. BX/BY = √x²+y²

∫(∂U/∂x) dx = ∫ arctg(x/2)dx = - R ∙ 1/2 arctg(2xv²) * x ∙ arctg(y/x) + k₁

∂(∂/∂) dy = ∫ (arctg(x/y)*x) + 4dy ∙ 1/2 loge(x²2 (e^7x) * 1/2 arctg(y/x)) + k₂

dU/(x,y) = o ≠ (1/2x) + ∫(ψ dy)= m² * x * y + 1/2lee(x²y²)/2x * | arctg(y/x)

Determinare un polinomio olomorfo

Determinare un polinomio olomorfo f = U+IV sapendo che f(0,0) = O e v(x,y) = x cos(xy) cos(x) + y sin(x)sin(xy).

F(U) = x(xμ;yμ;1 μ)(xμ;yμμ)- u(xμ;yμ)-

f(u) olomorfo → ∂xU = ∂yV
∂yU = -∂xV

Condizioni ottobre-riemann

∂U/∂x = cos(xy)cos(x) = x cos(xy) cos(x) + y sin(x) cos(y)cos(x) ∙ (x/x) + y sin(x)sin(y)

VF = ∂x/∂y

∂U/∂y = x cos(x)sin(x(y))x sin(x)sin(y) + ysin(x)cos(x) + x cos(x)