Meccanica teorica e applicata - Esercizio svolto

Meccanica IIIº Esercizio

Sia dato il seguente sistema articolato, disposto in un piano verticale, costituito da cinque membri rigidi collegati solo da coppie elementari od inferiori, e precisamente:

1. la manovella AO₁ incernierata da un lato nel punto O₁ a telaio, e da un altro, nel punto A, con il pattino del glifo;
2. il pattino A traslante nella guida del glifo;
3. il glifo rotante intorno al punto fisso O₂;
4. l'asta BC incernierata da un lato nel punto B del glifo, e da un altro, nel punto C, di un pattino;
5. il pattino C traslante verticalmente ed al quale è applicata una forza resistente F_r passante per C;
6. il telaio, rappresentato dalle sedi fisse delle due cerniere O₁ ed O₂.

Pertanto, essendo il sistema dotato di moto piano, si può applicare la formula per la determinazione del numero di gradi di libertà già riportata nell'Esercizio 1, che nel nostro caso diventa:

I = 3 ∙ (6 - 1) - 2 ∙ 7 - 0 = 1

Come parametro lagrangiano indipendente si può scegliere l'angolo che l'asta AO₁ forma con l'asse X.

L'asta AO₁ è dotata di velocità angolare Ω e di

accelerazione angolare Ω̇ entrambe antiorarie; sono inoltre note le masse dei due pattini o corsoi (mₐ e m_c) ed i momenti d'inerzia dell'asta AO₁ (J₁) rispetto al punto O₁ e del glifo (J_g) rispetto al punto O₂ che coincide con il baricentro; viene considerata la presenza dell'attrito solo nell'accoppiamento tra il pattino C e la guida fissa, indicando con f_r il relativo coefficiente d'attrito cinetico o radente.

Si richiede la coppia C_m da applicare all'asta AO₁ per ottenere l'equilibrio dinamico del cinematismo in questa configurazione del sistema.

Per l'analisi cinematica la terna cartesiana fissa è stata posta con origine in O₁ ed assi orizzontale e verticale, rispettivamente X ed Y; si è posta, inoltre, una prima terna mobile, di assi x ed y ed origine nel punto fisso O₂, rotante solidalmente con il glifo ed una seconda terna mobile, di assi x' ed y', con origine nel punto B, dotata, al contrario, di moto puramente traslatorio.

Si può, innanzitutto, applicare il bilancio energetico a tutto il sistema in esame al fine di determinare l'incognita coppia motrice:

W_m + W_r + W_p + W_i = 0

Nel nostro caso risulta:

W_m = C_m x Ω̇ = C_m · Ω

W_r = F_r x v_C + m_a g x v_A + m_c g x v_C

W_p = T x v_C = - T · v_C

W_i = - J₁ Ω̇ x Ω̇ - m_a a_A x v_A - J_g Ω̇_g x Ω̇_g - m_c a_C x v_C

¹ Nel seguito le grandezze vettoriali verranno sempre riportate in neretto.

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La manovella O₁A, oltre alla velocità angolare Ω, è soggetta anche ad una accelerazione angolare ∠ antioraria; pertanto ciascun punto della manovella possiede sia la componente normale, o centripeta, che quella tangenziale dell'accelerazione.

Per quanto riguarda il punto A la sua accelerazione normale è un vettore diretto lungo il raggio cinematico O₁A, con verso diretto da A ad O₁ e modulo dato da:

a_An = Ω^2 · O₁A = ½^v_A/_O1A

quella tangenziale, invece, è ortogonale alla precedente, e perció ad O₁A, con modulo uguale a:

a_At = ∠ · O₁A

L'accelerazione assoluta è, ovviamente, la somma vettoriale delle due componenti il cui modulo vale:

a_Aa = √^{(Ω^2 · O₁A)^2 + (∠ · O₁A)^2}

Per quanto riguarda il punto A per il principio dei moti relativi si può scrivere la seguente equazione vettoriale:

a_n + a_t = a_tn + a_tt + a_rn + a_rt + a_c

che nel nostro caso, diventa:³

³ Si ricorda che la componente a_ARn è, ovviamente, nulla in quanto il moto relativo è solo di traslazione.

C_m = ¹⁄_Ω (F_r ⋅ v_c - m_a g ⋅ v_AA ⋅ cos α + m_c g ⋅ v_c + T ⋅ v_c + J₁ ⋅ Ω ⋅ Ω + m_a v_AA ⋅ cos β + J_g ⋅ Ω_g ⋅ Ω_g + m_c ⋅ ac ⋅ v_c)

Avendo a disposizione una sola equazione nelle due incognite C_m e T, per risolvere il problema si deve necessariamente accoppiare alla precedente un'altra equazione che può essere ricavata isolando il pattino e scrivendo le sue equazioni di equilibrio dinamico, una alla traslazione lungo l'asse X, una alla traslazione lungo Y ed una alla rotazione intorno a C. Avendo fissato, per i vettori, come verso positivo quello riportato in figura, avendo indicato con L la larghezza del pattino C e ricordando la relazione che lega le due componenti della reazione d'attrito che sorge nel contatto di strisciamento tra il pattino C e la guida fissa, T = f_r N, si può, pertanto, scrivere il seguente sistema di tre equazioni:

1. L'asta BC è definita ‘pendolo’: infatti essa è un corpo rigido vincolato
2. solamente tramite due coppie rotoidali ed è considerato privo di massa
3. propria e non soggetto ad alcun sistema di forze esterne. Su di esso,
4. pertanto, agiscono solo le reazioni vincolari delle due cerniere, e se
5. quest'ultime sono considerate perfette e prive d'attrito, le reazioni
6. devono passare per l'asse delle cerniere stesse. Un sistema di forze così
7. fatto, due sole, per essere in equilibrio deve necessariamente risultare
8. una ‘coppia di braccio nullo’. In definitiva le due reazioni vincolari
9. sull'asta BC devono avere la stessa retta d'applicazione, coincidente con
10. la congiungente i centri delle due cerniere (B e C), e verso opposto.
11. L'asta risulterà un ‘tirante’ se le reazioni hanno verso tendente ad
12. allontanare i punti di applicazione delle forze, ‘puntone’ se tende ad
13. avvicinarli. Ritornando all'equilibrio del pattino C, la reazione vincolare
14. nella coppia rotoidale C, se l'asta non fosse stata un pendolo, doveva
15. essere sostituita da due vettori ortogonali ed indipendenti tra di loro, e
16. perciò da due incognite; essendo, invece, BC un ‘pendolo‘ la direzione
17. della reazione vincolare nella coppia rotoidale C è completamente nota
18. coincidendo con la direzione della congiungente gli assi delle cerniere B
19. e C.

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