Meccanica dei robot - calcolo di posizione e velocità di un polso di robot

Università degli studi di Napoli

Federico II

Corso di laurea magistrale in Ingegneria

dell’Automazione

Elaborato di meccanica dei robot:

“Assegnato un polso di robot, individuare le terne secondo la

3

convenzione D-H, calcolare la matrice [T ] e la matrice di

6

velocità.”

Miriam Manganiello M 58/78

Posizionamento delle terne

Si supponga di avere un polso di robot del tipo mostrato in figura 1, in

cui sono presenti tre giunti rotazionali:

Figura 1: Modello del polso. [1]

utilizzando la convenzione di Denavit-Hartemberg è possibile posizionare

le terne come mostrato in figura 2 (dove si è utilizzato un modello schema-

tico che approssima il polso)

Figura 2: Scelta delle terne.

1

E’ stato possibile sovrapporre le terne 3, 4 e 5 in quanto gli assi 4, 5 e 6

sono incidenti, con una conseguente semplificazione nella compilazione della

tabella dei parametri, come sarà esposto in seguito.

Tabella dei parametri

Dalla figura precedente si possono ricavare i seguenti valori:

a α d θ

i i i i

o o o

÷ −180

giunto 4 0 90 0 0

o o o

−90 ÷

giunto 5 0 0 0 180

o o o

÷

giunto 6 0 0 d 0 180

6

Tabella 1: Tabella dei giunti

3 ]

Calcolo della matrice [T

6 3

Per calcolare la matrice di trasformazione omogenea [T ] è necessario in-

6

nanzitutto calcolare le matrici di cui è prodotto, secondo la relazione:

3 34 45 56

[T ] = [A ][A ][A ]

6

i−1

dove le matrici [A ] sono date da :

i

 

−

cos(θ ) sin(θ ) cos(α ) sin(α ) sin(θ ) a cos(θ )

i i i i i i i

−

sin(θ ) cos(θ ) cos(α ) sin(α ) cos(θ ) a sin(θ )

i i i i i i i

i−1  

[A ]=  

i 0 sin(α ) cos(α ) d

i i i

 

0 0 0 1

Nel caso in analisi, le matrici suddette valgono:

 

cos(θ ) 0 sin(θ ) 0

4 4

−

sin(θ ) 0 cos(θ ) 0

4 4

34  

[A ] =  

0 1 0 0

 

0 0 0 1

 

−

cos(θ ) 0 sin(θ ) 0

5 5

sin(θ ) 0 cos(θ ) 0

5 5

45  

] =

[A  

−1

0 0 0

 

0 0 0 1

2 

 −

cos(θ ) sin(θ ) 0 0

6 6

sin(θ ) cos(θ ) 0 0

6 6

56 



[A ] = 

 0 0 1 d

6 

 0 0 0 1

E quindi, avendo indicato per brevità cos(θ ) = Cθ e sin(θ ) = Sθ

i i i i 

 − −

(Cθ Cθ Cθ Sθ Sθ ) (−Cθ Cθ Sθ Sθ Cθ ) (−Cθ Sθ ) (−Cθ Sθ d )

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 4 5 6

−

(Cθ Sθ + Sθ Cθ Cθ ) (Cθ Cθ Sθ Cθ Sθ ) (−Sθ Sθ ) (−Sθ Sθ d )

4 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 5 4 5 6

3 



[T ] = 



6 (Sθ Cθ ) (−Sθ Sθ ) Cθ Cθ d

5 6 5 6 5 5 6 

 0 0 0 1

Calcolo della matrice delle velocità

Per arrivare ad ottenere la matrice delle velocità del polso nel sistema

3

di riferimento solidale alla terna 3, ovvero la matrice [V ] , è necessario

(3)

6

calcolare preliminarmente le matrici di cui è somma:

3 3 4 5

[V ] = [V ] + [V ] + [V ]

(3) (3) (3) (3)

6 4 5 6

A loro volta tali matrici si possono vedere come:

˙

 

−

0 θ 0 0

4

˙

θ 0 0 0

3 4

 

[V ] =

(3)  

4 0 0 0 0

 

0 0 0 0

˙

 

−

0 θ 0 0

5

˙

θ 0 0 0

4 34 4

5

 

[V ] = [A ] [A ]

(3)  

5 3

0 0 0 0

 

0 0 0 0

˙

 

−

0 θ 0 0

6

˙

θ 0 0 0

5 34 45 5 4

6

 

[V ] = [A ][A ] [A ][A ]

(3)  

6 4 3

0 0 0 0

 

0 0 0 0

34 43

dove [A ] = inv([A ])  

Cθ Sθ 0 0

4 4

0 0 1 0

43  

[A ] =  

−Cθ

Sθ 0 0

4 4

 

0 0 0 1

3