Meccanica delle strutture / statica

Meccanica delle strutture

Email: favataantonino.favata@uniroma1.it

Regolamento

• Esoneri e verifiche: È richiesto il 70% delle presenze per partecipare agli esoneri.
• Voto >= 21: È previsto un esame orale.
• Voto < 21: Non è previsto l'esame orale.
• Se si superano gli esoneri con un punteggio di 21, si deve comunque sostenere l'esame orale per migliorare il voto.

Struttura del corso

Il corso è diviso in due parti: statica e meccanica delle strutture. Prima di queste due parti, si affrontano i preliminari di algebra vettoriale.

Libri consigliati

• P. Podio-Guidugli, Lezioni di statica, Aracne, 2014
• Lezioni di scienze delle costruzioni, Aracne, 2010

Statica

Si studiano le nozioni di equilibrio dei corpi, la statica del corpo rigido e i modelli più elementari. In seguito, si considereranno i sistemi dei corpi rigidi, come travi e pilastri.

Travi

Si inizia con lo studio delle travi singole per poi passare ai sistemi di travi, costituiti da molte travi insieme.

Meccanica delle strutture

La meccanica delle strutture si concentra sulle deformazioni delle travi. L'obbiettivo è che l'abbassamento della trave non sia eccessivo. Le deformazioni possono essere di natura assiale, lungo la direzione prevalente dell'oggetto, o di deformazione flessionale.

Si costruisce un modello matematico trasferendo un oggetto reale in questo contesto per predire il suo comportamento e le sue deformazioni. Non ci si può limitare ad osservare empiricamente se un oggetto crolla o meno.

Prima lezione

Si introduce lo spazio euclideo tridimensionale, dove abitano gli oggetti. Questo spazio viene presto semplificato a bidimensionale per la rappresentazione alla lavagna. Gli elementi di questo spazio sono P, Q ed E. La differenza tra due punti, P-Q, è un vettore nello spazio delle traslazioni.

L'origine viene scelta come punto O. Il vettore di posizione P è dato da P-O = OP. Si scelgono tre vettori unitari e ortogonali e1, e2, e3.

Spazi vettoriali

La somma di due vettori a e b appartiene a V: (a + b) → a + b. Le proprietà della somma sono commutatività (a + b = b + a), esistenza del vettore nullo (a + o = a) e associatività ((a + b) + c = a + (b + c)).

Prodotto per uno scalare

Per qualsiasi a appartenente a V e per qualsiasi α, β appartenenti a ℜ, le proprietà sono associatività (α(β a) = (α β) a), distributività rispetto alla somma (α(a + b) = αa + αb) e distributività rispetto al prodotto (α + β) a = αa + βa.

Operazioni tra vettori

Prodotto scalare: (a₁, b₁) · (c₁, d₁) = a₁c₁ + b₁d₁ ∈ ℜ. Proprietà: commutatività (a · b = b · a), distributività rispetto alla somma (a · (b + c) = a · b + a · c), distributività rispetto al prodotto per uno scalare (α(a · b) = (αa) · b), e a · a ≥ 0 (a · a = 0 ↔ a = 0).

Definizioni

• Ortogonalità: Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è 0.
• Modulo di un vettore: La lunghezza del vettore stesso, |a| = √(a · a).
• Versore di un vettore: vers a = a / |a|.
• Angolo tra vettori: θ = arccos (a · b) / (|a| |b|).

Dimostrazione del teorema di Pitagora

c² = a² + b² - b = -bc = a/(a-b)c²: c = a/(a-b): 1 (a-b) → a² - ab - ba + b² → a = |a|, c = |c|, b = |b|, a |_| b per costruzione, a: b > 0 → c² = a² + b².

Esercizio sul teorema di Carnot

Per triangoli scaleni qualsiasi: b² = a² + c² - 2ac cos β. b² = b·b, β = arccos (a²: b²)/(|a| + |b|).

Rappresentazione del prodotto scalare in una base ortonormale

• Il risultato è un numero perché il prodotto scalare è ortogonale: e_i · e_j = 0.
• Ortonormale: |e_j, e_l| = 1, e_i · e_j = δ_ij (Delta di Kronecker), δ_αβ = { 1 se α = j; 0 se i ≠ j}.
• e_n · e_l = δ_μl = 1, e₁ · e₂ = δ₁₂.

a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃, b = b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃. a · b = (a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃) · (b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃). a₁e₁ · b₁e₁ = a₁b₁, e₁ = 1 ortonormale.