Meccanica delle strutture / statica

Meccanica delle struttura

Favata

antonino.favata@uniroma1.it

Regolamento Esoneri-verifiche (70% delle presenze per fare gli esoneri) Voto >= 21 esame orale voto < 21 no esame orale Se si fanno gli esoneri e si prende 21 bisogna fare l’esame orale per alzare il voto, se si prende 21 non si fa l’esame orale ma si prende 21 e così i voti sotto.

Corso diviso in 2 parti, statica e meccanica delle strutture Preliminari prima delle due parti, algebra vettoriale

Libri

• P.podio-guidugli, Lezioni di statica, Aracne, 2014
• Lezioni di scienze delle costruzioni, Aracne, 2010

Statica

Nozione di equilibrio dei corpi, statica del corpo rigido, modello più elementare. Poi si considererà i sistemi dei corpi rigidi. Trave, pilastro.

Travi

Prima le travi singole e poi il sistema di travi, messe insieme tante travi

Meccanica delle strutture

Deformazioni di trave, abbassamento della trave, in modo tale che non sia eccessivo. Possono essere di natura assiale, direzione della dimensione prevalente dell'oggetto, o anche di deformazione flessionale.

Fare modello, prendere un oggetto reale e trasferirlo in un contesto matematico, predicendo il suo avvenire e il suo andamento di deformazione. Non si può rimanere ad osservare in maniera empirica se crolla o no.

Prima lezione

Spazio ambiente

Spazio euclideo,tridimensionale, gli oggetti abitano in questo spazio, diventerà presto bidimensionale per facilitarne la sua rappresentazione (lavagna). Questo spazio si chiama E, gli elementi di E sono P,Q ed E Differenza tra i punti P-Q=v

v minuscola è un vettore (spazio delle traslazioni) O è l’origine, punto scelto. Vettore di posizione P P-O=OP

Sceglo tre vettori unitari di v e1 e e2 e3 ortogonali. OP=tp¹e1 p¹∈ℝ

Rappresentazione del prodotto scalari in una base ortonormale

Il risultato è un numero perché prodotto scalare

Ortogonale

e_i ⋅ e_j = 0

|e_i| = 1

Ortonormale

i = 1, 2, 3

e_i ⋅ e_j = δ_ij = Delta di Kronecker

δ_ij = {

• 1 i = j
• 0 i ≠ j

a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃

b = b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃

a ⋅ b = (a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃) ⋅ (b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃)

= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

ES.

a = 2 e₁ - e₂ + 4 e₃

b = - e₁ + 2 e₂ - 3 e₃

a ⋅ b = 2 × (-1) + (-1) × 2 + 4 × (-3)

Prodotto vettoriale

Il risultato del prodotto vettoriale è un vettore, non un numero

• Proprietà
• Anticommutatività
• a × b = - b × a
• Associatività rispetto al prodotto per scalari
• Distributività rispetto alla somma di vettori
• Identità di Jacobi

Sistemi di forze

Un insieme infinito di forze

P₁, P₂, ..., P_n

R=P_i f_i

Risultante

Σ=_nΣ_i=1 f_i

Momento risultante, rispetto ad un polo Q

μ_Σ(Q)= _nΣ_i=1 QP_i x f_i

Formula di trasporto

Non sono vettori applicati, perché non hanno nessuna informazione riguardo il punto, solo riguardo il vettore.

μ_Σ(Q')= μ_Σ(Q) + Q'Q x Σ

Σ=_nΣ_i=1 f_i

Esercizi

• P₁=(L,L) P₂=(2L,3L) P₃=(4L,2L)
• f₁ = Fe₂
• f₂ = F (e_x - e_z)
• f₃ = -3Fe₁ - Fe₂
• Q = (2L,L)
• Q' = (3L,0)
• Σ = _i=1Σ³ f_i => Fe₂ + Fe_z - Fe_z - Fe_y - Fe_y => -Fe₂
• r_Σ= -Fe₂
• μ_Σ(Q)= Σ³ _i=1 QP_i x f_i = QP₁ x f₁ + QP₂ x f₂ + QP₃ x f₃ = -4FLe₃
• μ_Σ(Q') = μ_Σ Q + Q'Q x Σ => -4FLe₃ + (-Le_u + Le₂) x (-Fe₂) = -3FLe₃

Costruzione grafica dell'asse centrale

Sistemi piani di forze per cui il momento risulta 0

L'asse centrale è parallelo a r

r_c = r₁ + r₂

μ_u(Q) = QP x r_c = 0

Q ∈ asse centrale

Poligonale delle forze

Poligono funicolare

Atto di moto rigido

v(Q) = v(P) + ω × P_Q v_r(Q) = v_o + ω_o × P_Q

Atto di piccoli spostamenti rigidi

Ma prima, cosa è lo spostamento, come si definisce piccolo?

μ_r(P) = P'P → P' - P => p(_r(P')) - p(_r(P))

Per un corpo rigido, il campo di spostamento ha due componenti ovvero la somma tra traslazione e rotazione.

Rotazione rigida

Tutti i corpi che analizziamo sono su di un piano. Q è fisso e il corpo ruota attorno ad esso

μ_r(P) = b_t+ b_r |μ| = 1

a_t = sen φ m × Q_P |b| = |a_t| sin φ |a_t| = |sen φ| |a_t| b_t = (-cos φ -1) Q_P => |a_t| cos φ verso Q_T => Q_P - (1 - cos φ) = (1 - cos φ) Q_P = - b_t b_t = (-cos φ -1) Q_P => μ_r(P) = a_t+ b_t => si μ_r(P) × Q_P + ( -cos φ -1) Q_P se φ è piccolo => sin φ ≈ φ

e cos φ ≈ 1

μ_r(P) = φm × Q_P → Rotazione μ_r(P) = μ_r(Q) + φ_j × a_t → Piccoli spostamenti

4. L'incastro

Non può muoversi È bloccato

Reazioni (tutte): - verticale π Az - orizzontale π An - coppia lettura C

μ = 3

5. Bipendolo, doppio doppio pendolo

w = 0

Reazioni: - coppie reatt. C

μ = 1

Problema statico

Dato un sistema di forze e coppie attive e i vincoli esterni, determinare

1. Se esistono configurazioni di equilibrio (ovvero configurazioni in cui il sistema di forze attive e reattive è bilanciato).
2. Calcolare le reazioni vincolari attraverso:

Ricerca delle configurazioni di equilibrio

• Metodo delle forze

A. caratterizzo il vincolo (introduco i parametri di reazione)

B. individuo i parametri di configurazione

C. impongo il bilancio delle forze attive e reattive

Un corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà (traslazione orizz, verticale e rotazione). Nello spazio ha 6 gradi di libertà (3 traslazioni e 3 rotazioni)

• Metodo delle potenze

F è applicata in un punto P della faccia superiore. Determinare la posizione di P affinché ci sia equilibrio.

D. scrivo l'atto di moto rigido compatibile con i vincoli

E. v(A) = v(B) + ω x BA =

F. (ω₁e₁ + ω₂e₂ + ω₃e₃) x (-h₁e₁ - h₂e₂) = => -ω₃h₁e₃ + ω₂h₂e₃ - ω₃h₂e₂ + ω₁h₁e₂ + ω₃h₁e₁ = ω₃h₂ - ω₃h₂ + (ω₂h₁ - ω₁h₁)e₃

v(A) · e₃ = ω₂h₁ - ω₁h₂ = 0 => ω₁ = ω₂ = ω