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RICHIAMI TEORICI SUL BARICENTRO

DEFINIZIONE:

Dato un sistema meccanico di N punti materiali di masse ms (s=1, ..., N), definiamo baricentro del sistema il punto avente vettore posizione

G = O :

Se invece il corpo e continuo e occupante una regione E dello spazio E¹, definiamo baricentro del corpo il punto avente vettore posizione

G = O :

PROPRIETÀ DEL BARICENTRO:

  • G appartiene all’involucro convesso del corpo
  • Se E è una figura simmetrica rispetto l (o a una asse l), allora G E T (G E l)
  • Se le masse di un sistema materiale sono distribuite lungo una retta o lungo una superficie piana, allora il baricentro appartiene a quella retta o a quella superficie piana
  • Additività dei baricentri: comunque si scomponga un sistema materiale nella somma dei due sistemi rispettivamente di massa mn ed m2 e baricentro G1 e G2, allora il baricentro G di tutto il sistema di massa m coincide con il baricentro del sistema formato dai due punti materiali (G1, m1) e (G2, m2)

G = O :

Casi particolari:

1. Un rettangolo omogeneo coincide con l'intersezione delle diagonali;

2. Un triangolo omogeneo coincide con l'intersezione delle mediane;

3. Una sfera o un cerchio omogeneo coincide con il centro della sfera o del cerchio...

Asta omogenea:

f = cost

AB = L, m

OEA

xG = ∫0L x dx / m = f ∫0L x dx / f L = [x2] 0L / L = L2 / 2 / L = L / 2

G (L / 2, 0)

Arco di circonferenza omogeneo:

→ semicirconferenza (α = π / 2) →

O = [ -α / 2, α / 2 ]

y'sG = ∫α (1 / α) p ∫0α R cosθ dθ = ∫α R cosθ dθ = (LP2 / m) * (sinα-sinθ) =

G = (0, R sinα / α )

Figure Composte

1. ABCD     AB=2l, AD=4l, m1=3m

BFGH     BE=4l, BG=l, m2=m

  1. xG1=l

    yG1=2l

    m1=3m

    xG=xG1m1+xG2m2/m1+m2 = l·3m+4l·m/3m+m = 7/4

    yG=yG1m1+yG2m2/m1+m2 = 2l·3m+l/2·m/3m+m = 6l+l/2/4 = 13/8l

    ⇒ = (7/4 l, 13/8 l)

  1. y₀ = 0 per simmetria

    R = raggio

    R/2 = raggio foro

    G1 = (R/2, 0)

    G2=(0,0)

    m1 = ρπR²/4

    m2 = ρπR²/2 AREA

    xG=xG2m2+xG1m1/m2-m1 = 0·πR²/2+R/2·πR²/4/πR²/2-πR²/4 = R/3/4 = R/6

    G1 = (-R/6,0)

Asta omogenea inclinata:

β = cost

AB = L

xy è piano di simmetria materiale perchè l’asta sta interamente in xy.

J13 = J23 = 0

J11 + J22 = J33 (AB e xy)

J11 = ∫e y2 dℓ = ∫0L (x tanα)2 dν cosα = ∫0L (x tanα)3 ν2 dν

= m sinα2 L2 sin2 α = mL2 sinα2

J22 = - - = mL2 cos2α

J33 = J11 + J22 = mL2 tanα = mL2 cos2 α = mL2

J12 = - ∫-L/2 x y dω = = - m sinα cosα = - mL2 sinαcosα

JG = J0 =

[mL2 sin2α mL2 sinαcosα 0]

[mL2 sinαcosα mL2 cos2α 0]

[0 0 mL2 / 12]

Asta non omogenea:

• Densità lineare

β = kx

m = ∫0L kx dx = k2 => k = 2m/ L2

J11 = 0

J22 = J33 ∫0L L4 / 4 = = = mL5

J12 = J13 = J23 = 0 (xy e x sono di simmetria materiale)

Go

G = ( b⁄2, c⁄2 )

I metodo

Jo → JG

Jo = JG + M ( d2I - Jod )

JG = Jo - M ( d2I - d o d )

J2(G - o) = ( b⁄2 b2, c⁄2 c2 )

J o d =

  • ( b⁄2 b⁄2 c⁄2 )
  • ( b⁄2 b⁄2 c⁄2 )
  • ( c⁄2 c⁄2 c⁄2 )

=

  • ( b2⁄4  bc⁄4  c2⁄4 )
  • ( bc⁄4  a2⁄4  c2⁄4 )
  • 0   0   0

d2I - Jod o d = ... =

  • ( c2⁄4  -bc⁄4  0
  • ( -bc⁄4   b2⁄4  0
  • ( 0   0   b2c2⁄4

JG =

  • ( ml2⁄3  -mlc⁄4  0 )
  • ( -mlc⁄4  ma2⁄3  0 )
  • ( 0  m( b3c2 )⁄3 )

+ m

  • ( c2⁄4  -bc⁄4  0 )
  • ( -bc⁄4  b2⁄4  0 )
  • ( 0  0  cb2c2⁄4 )

=

  • ( nc2⁄12  0  0 )
  • ( 0  nc2⁄12  m a2⁄12 )
  • ( mbc2c2⁄12 )

TEMA ESAME DEL 6/6/14

Ricordando che il momento d'inerzia di una lamina a forma di triangolo rettangolo omogeneo di cateti a e b e di massa m rispetto ad un asse passante per il cateto a vale mb2/6 m2, si calcoli il momento d'inerzia della lamina omogenea di massa m in figura rispetto all'asse indicato.

Innanzi tutto riportare la matrice già scelta del triangolo rettangolo omogeneo secondo il piano:

Jo = [mb2/6-mab/120] [-mab/12ma2/60] [00ma2]

1) Jx1 = m1b2/6

2) Jx2 = m2b2/6

Jx = Jx1 + Jx2 = m1b2/6 + m2b2/6 = b2/6 (m1 + m2) = b2/6 m = mb2/6

Dettagli
Publisher
alicezani96
A.A. 2018-2019
73 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/13 Meccanica applicata alle macchine
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher alicezani96 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica analitica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Padova o del prof Musesti Alessandro.