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+∞
1 2
X √ converge per il criterio del confronto asintotico, poiché
(d) log 1 + 5n
n
n=1
1 1 1
2 2 2
√ √
∼ →
· per n +∞.
log 1 + = 3/2
5n 5n 5
n n n
+∞ 1
X converge per il criterio del confronto e per quello del rapporto. Si
n! + 1
n=0
osservi che 1 1
≤
0 < .
n! + 1 n!
+∞ 1
X 2
(e) sen cos n converge assolutamente per i criteri del confronto e del confronto
2
n
n=1
asintotico: 1 1
1 2 ≤ ∼ →
sen
cos n per n +∞.
sen 2 2 2
n n n
+∞ 5
n +1
X converge per il criterio del rapporto, poiché
n
2
n=0 5 n+1
5
(n + 1) + 1 /2 1 (n + 1) + 1 1
lim = lim = .
5 n 5
((n + 1) /2 2 n +1 2
n→+∞ n→+∞
+∞ 3 2
n + n + 6
X
(f) converge per il criterio del confronto asintotico poichè
5
n + n + 8
n=0 3 2 3
n + n + 6 n 1
∼ →
= per n +∞.
5 5 2
n + n +8 n n
+∞ n
(−1) arctg n
X converge assolutamente per il criterio del confronto
2
n + 1
n=1 n
(−1) arctg n π 1
≤ .
2 2
n +1 2 n
+∞ 1
X n−1 converge per il criterio di Leibniz.
(g) (−1) log(n + 1)
n=1
+∞
1 1
X − è una serie telescopica convergente. Infatti la sua
log(n + 1) log n
n=2 ≥
somma parziale S , per ogni n 2, è
n 1 1
−
S = ,
n log(n + 2) log 2
−1/
che tende a log 2, somma della serie.
2
√
+∞ n
X
(h) è una serie a termini positivi, convergente per il criterio del con-
2
n + n +3
n=1
fronto asintotico. Infatti
√ √
n n 1
∼ →
= per n +∞.
2 2 3/2
n + n +3 n n
+∞
1 1
X − è una serie telescopica convergente. Infatti la sua somma
2 2
n (n + 1)
n=1 ≥
parziale S , per ogni n 1, è
n 1
−
S = 1 ,
n 2
(n + 1)
che tende a 1, somma della serie.
+∞ n +1
X
(i) diverge per il criterio del confronto asintotico, poichè
2
n + 2n + 3
n=1 n +1 n 1
∼ →
= per n +∞.
2 2
n + 2n + 3 n n
+∞ n sen n
X converge assolutamente, per il criterio del confronto:
4
n + 6
n=1 1
n
n sen n ≤
≤ .
4 4 3
n +6 n +6 n
+∞ 1
2
X −
(j) e 1 è una serie a termini positivi, che converge per il criterio del
n
n
n=1
confronto asintotico:
1 1 2 2
2 − ∼ · →
e 1 = per n +∞.
n 2
n n n n
+∞ n
n +1
X è una serie a termini positivi, che converge per il criterio della
2n + 3
n=1
radice. Infatti n +1 1
lim = < 1.
2n + 3 2
n→+∞
∈
2. Studiare, al variare di x la convergenza delle serie
R, +∞ n
2
1 + x
X .
2
1 + nx
n=1 3
Si tratta di una serie a termini positivi. Conviene applicare il criterio della radice.
Poiché 2 6
1 + x 0 < 1 se x = 0
lim =
2 1 se x = 0;
1 + nx
n→+∞ ∗
∈
la serie converge per ogni x . Se x = 0 la serie ha per termini a = 1, per ogni
R n
≥
n 1, quindi diverge positivamente.
∈
3. Studiare, al variare di x la convergenza della serie
R, +∞ n
X 2
x + x + 1 .
n=0
In caso di convergenza, calcolarne la somma. 2
−1
Si tratta di una serie geometrica. Quindi converge se e solo se < x + x + 1 < 1
−1
cioè se < x < 0. In tal caso la somma vale
1 .
2
−x − x
2 ≥ ≤ −1 ≥
Se x + x + 1 1, cioè se x oppure x 0, la serie diverge positivamente. Non
2 ≤ −1
è mai indeterminata, perché x + x + 1 non ha soluzioni.
∈
4. Studiare, al variare di x la convergenza della serie
R, +∞ n
x
X .
2n
x + 1
n=1
Conviene studiare la convergenza assoluta (non è detto che la serie sia a termini
positivi) usando il criterio del rapporto. Si deve studiare quindi
|x| |x|
se < 1;
n+1 2n+2 2n
|x| /(x + 1) x +1 ±1;
|x| · 1 se x =
lim = lim =
n 2n 2n+2
|x| /(x + 1) x +1
n→+∞ n→+∞ |x|
1/|x| se > 1.
6 ±1.
Dunque si ha convergenza assoluta se x = Se x = 1, la serie ha per termini
≥ −1
a = 1/2, per ogni n 1, quindi diverge positivamente. Se x = la serie ha per
n n ≥
termini a = (−1) /2, per ogni n 1, quindi è indeterminata.
n ∈
5. Studiare, al variare di x la convergenza e la convergenza assoluta della serie
R, +∞ n
x
X n−1
(−1) .
n
n=1
Per l’assoluta convergenza, occorre studiare la serie
+∞ n
|x|
X .
n
n=1
4