Matematica - serie numeriche

+∞

1 2

X √ converge per il criterio del confronto asintotico, poiché

(d) log 1 + 5n

n

n=1

1 1 1

2 2 2

√ √

∼ →

· per n +∞.

log 1 + = 3/2

5n 5n 5

n n n

+∞ 1

X converge per il criterio del confronto e per quello del rapporto. Si

n! + 1

n=0

osservi che 1 1

≤

0 < .

n! + 1 n!

+∞ 1

X 2

(e) sen cos n converge assolutamente per i criteri del confronto e del confronto

2

n

n=1

asintotico: 1 1

1 2 ≤ ∼ →

sen

cos n per n +∞.

sen 2 2 2

n n n

+∞ 5

n +1

X converge per il criterio del rapporto, poiché

n

2

n=0 5 n+1

5

(n + 1) + 1 /2 1 (n + 1) + 1 1

lim = lim = .

5 n 5

((n + 1) /2 2 n +1 2

n→+∞ n→+∞

+∞ 3 2

n + n + 6

X

(f) converge per il criterio del confronto asintotico poichè

5

n + n + 8

n=0 3 2 3

n + n + 6 n 1

∼ →

= per n +∞.

5 5 2

n + n +8 n n

+∞ n

(−1) arctg n

X converge assolutamente per il criterio del confronto

2

n + 1

n=1 n

(−1) arctg n π 1

≤ .

2 2

n +1 2 n

+∞ 1

X n−1 converge per il criterio di Leibniz.

(g) (−1) log(n + 1)

n=1

+∞

1 1

X − è una serie telescopica convergente. Infatti la sua

log(n + 1) log n

n=2 ≥

somma parziale S , per ogni n 2, è

n 1 1

−

S = ,

n log(n + 2) log 2

−1/

che tende a log 2, somma della serie.

2

√

+∞ n

X

(h) è una serie a termini positivi, convergente per il criterio del con-

2

n + n +3

n=1

fronto asintotico. Infatti

√ √

n n 1

∼ →

= per n +∞.

2 2 3/2

n + n +3 n n

+∞

1 1

X − è una serie telescopica convergente. Infatti la sua somma

2 2

n (n + 1)

n=1 ≥

parziale S , per ogni n 1, è

n 1

−

S = 1 ,

n 2

(n + 1)

che tende a 1, somma della serie.

+∞ n +1

X

(i) diverge per il criterio del confronto asintotico, poichè

2

n + 2n + 3

n=1 n +1 n 1

∼ →

= per n +∞.

2 2

n + 2n + 3 n n

+∞ n sen n

X converge assolutamente, per il criterio del confronto:

4

n + 6

n=1 1

n

n sen n ≤

≤ .

4 4 3

n +6 n +6 n

+∞ 1

2

X −

(j) e 1 è una serie a termini positivi, che converge per il criterio del

n

n

n=1

confronto asintotico:

1 1 2 2

2 − ∼ · →

e 1 = per n +∞.

n 2

n n n n

+∞ n

n +1

X è una serie a termini positivi, che converge per il criterio della

2n + 3

n=1

radice. Infatti n +1 1

lim = < 1.

2n + 3 2

n→+∞

∈

2. Studiare, al variare di x la convergenza delle serie

R, +∞ n

2

1 + x

X .

2

1 + nx

n=1 3

Si tratta di una serie a termini positivi. Conviene applicare il criterio della radice.

Poiché 2 6

1 + x 0 < 1 se x = 0

lim =

2 1 se x = 0;

1 + nx

n→+∞ ∗

∈

la serie converge per ogni x . Se x = 0 la serie ha per termini a = 1, per ogni

R n

≥

n 1, quindi diverge positivamente.

∈

3. Studiare, al variare di x la convergenza della serie

R, +∞ n

X 2

x + x + 1 .

n=0

In caso di convergenza, calcolarne la somma. 2

−1

Si tratta di una serie geometrica. Quindi converge se e solo se < x + x + 1 < 1

−1

cioè se < x < 0. In tal caso la somma vale

1 .

2

−x − x

2 ≥ ≤ −1 ≥

Se x + x + 1 1, cioè se x oppure x 0, la serie diverge positivamente. Non

2 ≤ −1

è mai indeterminata, perché x + x + 1 non ha soluzioni.

∈

4. Studiare, al variare di x la convergenza della serie

R, +∞ n

x

X .

2n

x + 1

n=1

Conviene studiare la convergenza assoluta (non è detto che la serie sia a termini

positivi) usando il criterio del rapporto. Si deve studiare quindi

 |x| |x|

se < 1;

n+1 2n+2 2n

|x| /(x + 1) x +1  ±1;

|x| · 1 se x =

lim = lim =

n 2n 2n+2

|x| /(x + 1) x +1

n→+∞ n→+∞ |x|

1/|x| se > 1.



6 ±1.

Dunque si ha convergenza assoluta se x = Se x = 1, la serie ha per termini

≥ −1

a = 1/2, per ogni n 1, quindi diverge positivamente. Se x = la serie ha per

n n ≥

termini a = (−1) /2, per ogni n 1, quindi è indeterminata.

n ∈

5. Studiare, al variare di x la convergenza e la convergenza assoluta della serie

R, +∞ n

x

X n−1

(−1) .

n

n=1

Per l’assoluta convergenza, occorre studiare la serie

+∞ n

|x|

X .

n

n=1

4