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Sol ℜ ℜ
2 2
S
Tale sottoinsieme di contiene i punti (1,1) e (1,-1); se fosse sottospazio di dovrebbe
contenere anche la loro somma, cioè (2,0) , ma ciò non accade.
∈ ℜ
5)Determinare per quali il sistema è risolubile.
k
− + =
⎧ 2
x ky
⎪ − = −
⎨ 2
kx y
⎪ − =
⎩ 2 2
x y k
Sol
La CN di compatibilità è:
−
⎛ ⎞
k
1 2
⎜ ⎟
− − = + − = − + + =
3 2
⎜ ⎟ la cui unica soluzione reale è k=1. Per
k k k k k k
det 1 2 7 8 ( 1
)( 8
) 0
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
k
2 2
ogni altro valore di k il sistema è ovviamente incompatibile.
Per k=1 si ha:
− + =
⎧ x y 2
⎪ =
=
− = −
⎨ quindi poiché e Rg ( M ) 2 anche in tale caso il sistema non è
Rg ( M ) 1
x y 2 C
I
⎪ − =
⎩ x y
2 2 1
compatibile. ∈ ℜ
6)Determinare il rango di A al variare di .
k
−
⎛ ⎞
k 1 1 2
⎜ ⎟
= − − −
⎜ ⎟
A 1 1 k 2
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
2 0 2 k
Sol −
⎛ ⎞
1 1
⎜ ⎟ che è non
Scelgo il minore dato dalle ultime due righe e dalle prime due colonne, cioè ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 0
nullo. Orlando nei due modi possibili si ottiene:
−
k 1 1
− − ≡
1 1 k 0
−
2 0 2
−
k 1 2
− − = − =
1 1 2 k ( k 1
) 0
2 0 k
Poiché entrambi i minori si annullano per k=0 o k=1, per tali valori il rango di A è 2, per tutti gli
altri è 3.
7)Verificare che i punti (1,3), (2,5), (3,7) giacciono sulla stessa retta.
Sol
Poiché
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