Matematica Generale - Grafico di funzioni, derivate e sistemi

P P

1 1

Quindi ≤ . Poichè la seconda serie converge, essendo una serie

3 3

n lg(n) n

armonica di esponente maggiore di 1, converge anche la prima per il criterio del

confronto. Per chi ha usato il criterio della radice, si ricorda il limite notevole

Nota 0.1.5.

p lg(n) → 1.

n

Esercizio 0.1.6. Studiare il grafico delle seguenti funzioni

1−x

1. f (x) = 2

x +1

x−1

2. f (x) = 3

x

√ √

3. f (x) = x +1 − x

Soluzione:

1. (a) (DOMINIO)

In una frazione l’unico problema è dato dal denominatore, il quale non può

essere nullo. In questo caso il denominatore è somma di due quantità positive

e quindi è sempre positivo. Per cui il dominio D coincide con tutto l’asse reale.

(b) (STUDIO DEL SEGNO) - facoltativo

Dal momento che il denominatore è positivo, il segno di f (x) è dato solo dal

numeratore. Quindi f (x) ≥ 0 ⇔ 1 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1.

(c) (LIMITI)

Poichè D = R, bisogna calcolare solo i limiti per x → ±∞. Entrambi sono

evidentemente uguali a 0 in quanto il numeratore è un polinomio di grado

minore del denominatore. 5

(d) (STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA) 2

x −2x−1

0

La regola di derivazione del rapporto di funzioni porta subito a f (x) = .

2 2

(x +1)

Andiamo a studiarne il segno: il denominatore è sempre positivo, mentre

√ √

il numeratore è positivo per x < 1 − 2 e x > 1 + 2, e negativo per

√ √ √ √

1 − 2 < x < 1 + 2. Per cui f (x) è crescente per x < 1 − 2 e x > 1 + 2

√

2 c’è un

e decrescente altrove. Per cui in corrispondenza di x = 1 −

punto di massimo, mentre un punto di minimo è presente in corrispondenza

√

di x = 1 + 2.

(STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA)

(e) La regola di derivazione del rapporto di funzioni porta (con un po’ di calcoli!)

a √ √

3 2 3)(x − (2 − 3)

−2(x − 3x − 3x + 1) −2(x + 1)(x − (2 +

00

f (x) = =

2 3 2 3

(x + 1) (x + 1)

Lo studio del segno porta allora a concludere che la derivata seconda è positiva

√ √

(e quindi f è convessa) per x < −1 e 2 − 3 < x < 2 + 3 ed è negativa (e

√

quindi f è concava) altrove. Per x = 1, 2 ± 3 ci sono dei punti di flesso.

(f) (GRAFICO)

vedere il file grafico prima funzione. Scusate ma non sono riuscito a inserirlo in

questo documento.

2. (a) (DOMINIO)

In una frazione l’unico problema è dato dal denominatore, il quale non può

3

essere nullo. In questo caso il denominatore è x che è diverso da zero se e

soltanto se x 6 = 0. Per cui D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

(b) (STUDIO DEL SEGNO) - facoltativo

Il denominatore è positivo se e solo se x ≥ 0;invece il numeratore è positivo se

e solo se x ≥ 1. Quindi la funzione è positiva per x < 0 e per x > 1 e negativa

per 0 < x < 1.

(c) (LIMITI)

Poichè D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), bisogna calcolare i limiti per x → ±∞ e i limiti

per x → 0 da entrambe le direzioni. Evidentemente si ha

lim f (x) = 0

x→±∞