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3

−1

3. Dal momento che l’esponente converge a −1 il limite richiesto è e .

1/n

4. Dal momento che e è una successione positiva e decrescente, abbiamo

1/n 1

0 < e ≤ e = e

Dunque 1/n

e e

0 < ≤

n n

Dal momento che l’ultimo membro converge a 0, dal teorema dei carabinieri segue

che anche il limite richiesto è nullo.

Dire quali delle seguenti serie è convergente. In caso affermativo calcolare

Esercizio 0.1.5.

la somma.

P ∞ 1

1. n

n=0 3

P ∞ 3 n

(

2. )

n=0 4

P n−1

∞ π

3. n

n=0 e

P n−1

∞ e

4. n

n=1 π

Soluzione: si tratta di serie geometriche. Dunque bisogna capire volta per volta quale è la

ragione q. Ci sarà allora convergenza se e solo se |q| < 1 e la somma sarà data dalla nota

1

formula . Vediamo allora cosa succede caso per caso.

1−q

1. Chiaramente q = 1/3 < 1. Quindi la serie converge a

1 = 3/2

1 − 1/3

2. Chiaramente q = 3/4 < 1, dunque la serie converge a

1 =4

1 − 3/4

3. Si ha ∞ ∞ ∞

X X X

n−1 n

π π π

1 1 n

(

= = )

n n

e π e π e

n=0 n=0 n=0 π

Quindi, a meno del fattore 1/π si tratta della serie geometrica di ragione q = > 1.

e

Quindi la serie diverge. 4

4. Analogamente al punto 3) la serie in questione equivale a

X

1 e n

( )

e π

n=1

Questa volta la ragione è q = π/e < 1. Quindi, tenendo conto che bisogna sottrarre

1 in quanto l’indice di sommatoria parte da 1, la serie converge a

1 1 e 1

1 − − 1) =

e ( π π − e

Esercizio 0.1.6. Determinare il carattere delle seguenti serie

P ∞ 1+n

1. n=1 2

n

P ∞ n!

2. n

n=1 n

P n

∞ 5

3. n=0 (2n+1)!

Soluzione:

1. Abbiamo X X

1+ n 1 = ∞

2

n n

Dunque la serie è divergente per il criterio del confronto. n!

2. Applichiamo il criterio del rapporto. Ricordiamo che, ponendo a = , il criterio

n n

n

a n+1

del rapporto consiste nello studiare il limite della successione . Se tale limite

a n

è < 1 ci sarà convergenza, se invece è maggiore di 1 ci sarà divergenza, se infine è

uguale ad 1 bisogna ricorrere ad altri metodi. Si ha

n n n

a (n + 1)!n (n + 1)n n n

n+1 n

= = = =( ) =

n+1 n+1 n

a n!(n + 1) (n + 1) (n + 1) n +1

n 1 n

=( ) → 1/e < 1

1

1+ n

Quindi la serie converge.

3. Applichiamo nuovamente il criterio del rapporto. Abbiamo

n+1

a (2n + 1)!5 5

n+1 = = → 0 < 1

n

a (2(n + 1) + 1)!5 (2n + 3)(2n + 2)

n

Quindi la serie converge.


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vipviper

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DESCRIZIONE ESERCITAZIONE

Esercitazione del corso di Matematica Generale (tenuto dal prof. Cacciafesta) della facoltà di Economia e Commercio su:
- risoluzione di un sistema lineare attraverso il metodo di Cramer
- vettori che formano una base
- determinazione di una base per lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo
- calcolo di limiti di funzione
- calcolo del carattere della serie (anche di serie che comprendono numeri fattoriali)


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in economia e management
SSD:
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher vipviper di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica Generale e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Tor Vergata - Uniroma2 o del prof Cacciafesta Fabrizio.

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